第10章_曲線積分和曲面積分

1、第十章 曲線積分和曲面積分一、 基本內(nèi)容（一）第一型曲線積分與曲面積分1. 第一型曲線積分（1）第一型曲線積分的定義若是封閉的，則記作(2) 第一型曲線積分的計(jì)算2. 第一型曲面積分（1）第一型曲面積分的定義（2）第一型曲面積分的計(jì)算（二）第二型曲線積分1. 第二型曲線積分的定義設(shè)，當(dāng)，都存在時(shí)，其中是的單位切向量， 稱為一般形式的第二型曲線積分.2. 第二型曲線積分的計(jì)算3. 格林公式及其一些命題（1）格林公式（2）若、在單連通域上均連續(xù)，則下列四個(gè)命題等價(jià)：1) 只依賴于區(qū)域內(nèi)的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與連結(jié)、的積分路徑無關(guān)；2) 在區(qū)域上，是某一個(gè)函數(shù)的全微分，且其中點(diǎn)是內(nèi)的某一定點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)

2、；3) 在區(qū)域上的每一點(diǎn)處都成立；4)，其中是內(nèi)的任意一條逐段光滑的閉曲線（三）第二型曲面積分1. 第二型曲面積分的定義稱為一般形式的第二型曲面積分，當(dāng)是閉曲面時(shí)，積分號(hào)將寫成2. 第二型曲面積分的計(jì)算,同理計(jì)算,3. 奧-高公式與斯托克斯公式（1）（2）4. 向量場(chǎng)的散度與旋度稱為散度,稱為旋度二、練習(xí)題10.1計(jì)算下列第一型曲線積分：（1）計(jì)算,其中為連接，的直線段所圍成的圍線解：如圖10-1，；O11ABxy 圖10-1；（2），其中為擺線，的第一拱解：擺線的第一拱，則（3），其中是解：是關(guān)于的奇函數(shù),而是關(guān)于軸對(duì)稱.由第一型曲線積分的對(duì)稱性知：(x,y)a/2axyOt圖10-2（4）

3、，其中為圓周解：如圖10-2，方程為：，其中原式 （5），其中為圓周解：的參數(shù)方程為：z OBaxACyaa圖10-3（6）計(jì)算球面在第一象限上的邊界曲線的形心解：不妨假設(shè)，如圖10-3， 其中； ； 故又由于圖形的對(duì)稱性知（7）設(shè)的方程為，其線密度，求對(duì)于原點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力解：的極坐標(biāo)方程為， 由對(duì)稱性知10.2計(jì)算下列第二型曲線積分：（1），為拋物線解：原式 （2），其中為拋物線段，為直線解：原式（3），為沿參數(shù)增加的方向進(jìn)行的曲線z OB1xACy11圖10-4解：原式 （4），為球面的第一象限中的部分的邊界，從z軸正向向負(fù)向看去，L為逆時(shí)針方向解：如圖10-4，由對(duì)稱性知原積分為

4、，從到原積分 （5），是從沿曲線到點(diǎn)的曲線解：設(shè)，有，故積分與路徑無關(guān)， 原積分 （6），其中為域的正方向的圍線解：由格林公式，圖10-5（7），為沿正向進(jìn)行，而不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線解：（1）若原點(diǎn)不在所圍的區(qū)域內(nèi)，直接應(yīng)用格林公式 （2）若原點(diǎn)在所圍成的區(qū)域內(nèi)，如圖10-5，在原點(diǎn)附近作一個(gè)充分小的圓周，其方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，設(shè) 與所圍成的復(fù)連域?yàn)?，則 （8）解：，故積分與路徑無關(guān)設(shè)，選取路徑計(jì)算積分， （9）1OB(1, ) xy圖10-6A解：，故積分與路徑無關(guān)， 如圖10-6，選取路徑計(jì)算積分原積分2圖10-710.3計(jì)算下列第一型曲面積分：（1），是在第一象限的部分解：，如圖10

5、-7，a圖10-8（2），是的表面解：如圖10-8，取取， 則 （3）設(shè)曲面的面密度為，求其質(zhì)心坐標(biāo)及對(duì)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：由對(duì)稱性知： 故質(zhì)心坐標(biāo)為 由對(duì)稱性知 10.4計(jì)算下列第二型曲面積分：（1）,是由與所圍成的立體的表面內(nèi)側(cè)解：由高斯公式知（2），是由，及所圍成立體表面外側(cè)解：由高斯公式（3），為球面的外側(cè)解：由對(duì)稱性知故原積分設(shè)，則仍有（4）求向量穿過曲面為的全表面流向外側(cè)的流量解：三、測(cè)驗(yàn)題1. 填空（1）是曲線，其周長(zhǎng)為，則等于 解：由積分的對(duì)稱性知，又即：，故（2）是順時(shí)針方向的光滑封閉曲線，所圍成的平面圖型的面積為，則 解：由格林公式，（3） .解：由第一、二型曲面積分的關(guān)

6、系，應(yīng)填.（4） 解：由第一、二型曲面積分的關(guān)系，應(yīng)填.2. 選擇（1）設(shè)曲線段從沿到點(diǎn)，已知，則等于（ ）.A. B. C. D.A,B,C全不對(duì)解：設(shè)，滿足，故積分與路徑無關(guān)，又因?yàn)樵跓o定義，應(yīng)選B.（2）設(shè)是在第五象限且通過點(diǎn)及的右側(cè)的光滑曲面，的方程為，且的一階偏導(dǎo)數(shù)不為零，有等式則等于（ ）.A. B. C. D. 解：的法向量為，單位化后為，又已知為右側(cè)，所以符號(hào)為正，應(yīng)選C.（3）設(shè)曲線積分其中閉曲線為逆時(shí)針方向，則等于（ ）A. B. C. D. 解：利用格林公式，應(yīng)選C.（4），其中是平面被柱面所截得部分的上側(cè)，則等于（ ）A. B. C. D.解：，故，有， 選取坐標(biāo)：，則，應(yīng)選B3. 計(jì)算下列各題（1），其中是從沿，到的一段弧解：補(bǔ)充直線段，（設(shè)L的參數(shù)方程為） （2）求擺線， 的弧的重心解： 故，（