第九章作業(yè)題解答(詳解)

1、曲線積分與曲面積分習題詳解 習題9-11 計算下列對弧長的曲線積分：（5），其中為折線段，這里,的坐標依次為,；解 如圖所示，線段的參數(shù)方程為 ，則，故線段的參數(shù)方程為，則故，線段的參數(shù)方程為，則，故所以2 設一段曲線上任一點處的線密度的大小等于該點橫坐標的平方，求其質量解 依題意曲線的線密度為，故所求質量為，其中則的參數(shù)方程為 ，故 ， 所以習題9-22 計算下列對坐標的曲線積分：（4）是從點沿上半圓周到點的一段?。唤?利用曲線的參數(shù)方程計算的參數(shù)方程為:，在起點處參數(shù)值取，在終點處參數(shù)值相應取0，故從到0則 =（6），其中是螺旋線：,從到上的一段；解習題9-51. 利用曲線積分求下列平面曲

2、線所圍成圖形的面積: (1) 星形線()；）解 。(2) 圓，（）； 解 設圓的參數(shù)方程為,從變到.那么。2 利用格林公式計算下列曲線積分:(1),其中是圓,方向是順時針方向；解 由格林公式，于是其中是圓域。設，則。(2) ，其中是圓，方向是逆時針方向； 解 設閉曲線所圍成閉區(qū)域為，這里，由格林公式，得。(3) ，其中是依次連接三點的折線段，方向是順時針方向。解 令，則，且線段，由1變化到-1，故有其中為所圍成的閉區(qū)域(4) ，其中為常數(shù)，為圓上從點到點的一段有向?。唤?如右圖所示，設從點到點的有向直線段的方程為，從變到。則與曲線構成一閉曲線，設它所圍成閉區(qū)域為，令，由格林公式，得。而，故。(

3、5) ，其中，為圓周取逆時針方向，是沿的外法線方向導數(shù)。解 由于，其中是在曲線上點處的切線的方向角，故根據(jù)兩類曲線積分之間的聯(lián)系及格林公式，有因為為圓周，所以所圍成的圓的面積，因此。3. 計算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時針方向；(2) 平面內任一光滑的不經(jīng)過坐標原點的簡單正向閉曲線.解 (1)令，則當時，但積分曲線所圍區(qū)域包含點，在該點不具有連續(xù)的偏導數(shù)，因此不能直接應用格林公式計算，需要將奇點去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內部，如圖右所示的參數(shù)方程為，取逆時針方向于是， 其中表示的負方向由格林公式則有，其中為與所圍成的閉區(qū)域故 (2) 分兩種情況計算。 閉曲線內部不包含坐標原

4、點，設它所圍成的閉區(qū)域為，那么由格林公式得； 閉曲線內部包含坐標原點，仿（1）可得.習題9-61求曲線積分，其中是圓的上半圓周，取順時針方向. 解 令，則在整個面內恒成立，因此，曲線積分在整個面內與路線無關。故可取沿軸上的線段（如右圖所示）積分，即，于是，有.3 驗證下列在整個面內為某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個：（3）。解 令，則在全平面上有，滿足全微分存在定理的條件，故在全平面上，是全微分下面用2種方法來求原函數(shù)：解法1 運用曲線積分公式，為了計算簡單，如圖910所示，可取定點，動點與，于是原函數(shù)為取路徑: ，得 解法2 從定義出發(fā)，設原函數(shù)為，則有，兩邊對積分（此時看作參數(shù)），得 （

5、*）待定函數(shù)作為對積分時的任意常數(shù)，上式兩邊對求偏導，又，于是，即 ，從而 （為任意常數(shù)），代入（*）式，得原函數(shù)總習題A一、 填空題1設為柱面與平面的交線，從軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分. (2011 考研 數(shù)學一) 2設曲線為圓周,則3設為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分 4設是以原點為球心,為半徑的球面,則5設為球面的下半部分的下側,則曲面積分 6向量場的旋度二、 選擇題1設是從原點沿折線至點的折線段,則曲線積分等于（ C ） A B C D 2若微分為全微分，則等于（ B ） A B C D 3空間曲線的弧長等于（ D ） A B C D 4設為上半球面，為在第一卦限的部分，

6、則下列等式正確的是（ D ） A B C D 5設為球面的外側，則積分等于（ A ） A B C D三、計算題 1計算其中為拋物線和直線所圍成的閉曲線；解設，其中，于是。2計算,其中為右半圓以點為起點,點為終點的一段有向??；解法 設曲線的參數(shù)方程為，其中從變到，故。解法2 作有向線段，其方程為，其中從變到，則有向曲線與有向線段構成一條分段光滑的有向閉曲線，設它所圍成的閉區(qū)域為，由格林公式，有，即，而，故。3計算,其中為平面在第一卦限中的部分；解 將曲面投影到面上，得投影區(qū)域為，此時曲面方程可表示為，于是，。4. 計算,其中是球面的上半部分并取外側；解 作有向曲面，并取下側，設兩曲面和所圍成的閉

7、區(qū)域為，由高斯公式，得。5驗證：在整個面內,是某一函數(shù)的全微分,并求出一個這樣的函數(shù).。解因為,所以在整個面內恒成立,因此,在整個面內,是某一函數(shù)的全微分,即有.于是就有 （1） （2）由（1）式得 （3）其中是以為自變量的一元函數(shù)，將（3）式代入（2）式,得 （4）比較（4）式兩邊,得 于是 （其中是任意常數(shù)）,代入（3）式便得所求的函數(shù)為.四、計算曲線積分,其中為閉曲線，若從軸正向看去,取逆時針方向.解 曲線的參數(shù)方程為從變到，于是。五、計算曲面積分,其中是線段繞軸旋轉一周所得的旋轉曲面 解 的方程為，在面上的投影區(qū)域為，且，。六、計算曲面積分,其中為上的拋物線繞軸旋轉一周所得的旋轉曲面介

8、于和之間的部分的下側解 的方程為，取下側。作有向曲面，并取上側，設兩曲面和所圍成的閉區(qū)域為，由高斯公式，得，這里。七、設一段錐面螺線上任一點處的線密度函數(shù)為,求它的質量解 依題意，錐面螺線在點處的線密度函數(shù)為，故錐面螺線的質量為。八、設具有一階連續(xù)導數(shù),積分在右半平面內與路徑無關,試求滿足條件的函數(shù)解 令，依題意，有，即，故，其中是任意常數(shù)。再由條件可得，故為所求的函數(shù)。九、設空間區(qū)閉域由曲面與平面圍成,其中為正常數(shù),記表面的外側為,的體積為,證明： 證明 這里，由高斯公式得。另一方面，（或）在面上的投影區(qū)域為，故，所以。十、已知曲線的方程為，起點為，終點為，計算曲線積分. (2010 考研

9、數(shù)學一)解 設曲線，則。于是總習題B一、填空題1設是的方程的上側,則(2008 考研 數(shù)學一) 2設的方程,則3設為正向圓周，則曲線積分的值為4設是曲面介于和之間的部分,則曲面積分的值為5設是由錐面與半球面圍成的空間閉區(qū)域,是的整個邊界的外側,則6設, 則矢量場通過曲面上半部分的流量二、計算題1設空間曲線為曲面與的交線，（1）若曲線的線密度為，試計算曲線的質量; 解: 顯然，曲線是空間圓，由曲線的方程消去，得到曲線在面上的捕風投影是橢圓，其參數(shù)方程為 其中。故 (2) 計算解: 同理可算得， ，故 。2計算, 其中為橢圓,其周長為 解: 。3計算,其中為正的常數(shù),為從點沿曲線到點的弧解 .4計

10、算曲面積分,其中是圓柱面介于平面與之間的部分.解：將分成兩部分，即 ，則, 且和在面上的投影區(qū)域都為，于是.5計算曲面積分,其中是球面的外側解：，再利用高斯公式可求得.三確定常數(shù),使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求解: 依題意，有由，得。故，由此可得.四、計算,其中為曲面的上側解: 令則，于是，。為了應用高斯公式，補充兩個曲面 以原點為球心，1為半徑的上半球面的下側，介于圓和橢圓之間，取下側，在所圍成的空間閉區(qū)域上應用高斯公式，得，而，對積分，再補充一個曲面，這里，取上側，則圍成一個空間閉區(qū)域，設其為，在上應用高斯公式，得，故 。五、設具有二階連續(xù)偏導數(shù),是閉曲面的外法線向量,所圍成的閉區(qū)域為,試證明證明：令，則方向導數(shù)，而 ，于是由高斯公式，得。六、設曲面為球面,試證明.證明：顯然有，球面與平面相切于點并且球面在該平面的上方，即球面上的點都滿足，故根據(jù)第一類曲面積分的計算方法有。七、設為橢球面上一動點，