級數(shù)求和方法的研究與應(yīng)用

1、南 陽 理 工 學(xué) 院 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 學(xué)院（部）： 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生： 劉振山 指導(dǎo) 教師： 許洪范 完成日期 2014 年 05 月南陽理工學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）級數(shù)求和方法的研究和應(yīng)用 Research and application of series summation method總 計：畢業(yè)設(shè)計（論文）23頁表 格： 0 個附 錄： 0 個插 圖： 0 幅南 陽 理 工 學(xué) 院 本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計（論文）級數(shù)求和方法的研究和應(yīng)用 Research and application of series summation method學(xué) 院（

2、系）： 應(yīng)用數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姓 名： 劉振山 學(xué) 號： 指 導(dǎo) 教 師（職稱）： 許洪范（教授） 評 閱 教 師： 完 成 日 期： 南陽理工學(xué)院 Nanyang Institute of Technolo級數(shù)求和方法的研究和應(yīng)用 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 劉振山摘 要級數(shù)是分析數(shù)學(xué)的一個重要組成部分.不僅對數(shù)學(xué)理論的研究起著至關(guān)重要的作用，對現(xiàn)代實際生活也有著廣泛的影響.關(guān)于級數(shù)求和方法的研究是很有必要的.本文主要探討級數(shù)求和的一些具體方法，從級數(shù)的斂散性判定開始，再從一般級數(shù)的收斂到特殊級數(shù)的收斂，然后再系統(tǒng)歸納的介紹級數(shù)求和的方法，從初等的求和方法到特殊的求和方法，最

3、后介紹級數(shù)求和在一些領(lǐng)域的應(yīng)用，并給出若干MATLAB程序案例.關(guān)鍵詞收斂；級數(shù)求和；冪級數(shù)；matlab；應(yīng)用.Research and application of series summation methodMathematics and Applied Mathematics Major liu zhen shan Abstract: The series is an important part of mathematics. Not only the study of mathematics plays an important role, also has a wide inf

4、luence on modern practical life. Study of series summation method is necessary. This paper mainly discusses some concrete methods of series summation, starting from the decision in series of divergence, then from the general convergence of the series to the special series of convergence, and then th

5、e system induction of this paper introduces the method of series summation, from elementary summation method to special method of summation, finally introduces the application of series summation in some areas, and several MATLAB application case is given.Key words: Convergence; Power series; Series

6、 summation; matlab; application目錄1引言12級數(shù)的一般概念12.1數(shù)項級數(shù)12.2函數(shù)項級數(shù)23一些級數(shù)的收斂及證明方法23.1等比級數(shù)23.2 P級數(shù)23.3比較判別法23.4柯西判別法33.5達(dá)朗貝爾判別法33.6萊布尼茲判別法43.7狄利克雷判別法43.8阿貝爾判別法43.9冪級數(shù)44級數(shù)求和的方法54.1據(jù)定義用極限法求和54.2初等方法求數(shù)值級數(shù)的和5等差數(shù)列求和6等比數(shù)列求和6子序列法7裂項相消法8方程式法94.3根據(jù)冪級數(shù)理論求和9逐項積分求和104.4利用復(fù)數(shù)求和114.5函數(shù)項級數(shù)求和12利用傅里葉級數(shù)理論求和12逐項微分求和13逐項積分求和1

7、4將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)再求和14微分方程式法145運用matlab求級數(shù)的和156級數(shù)的應(yīng)用16結(jié)束語17參考文獻(xiàn)18致謝18級數(shù)求和方法的研究和應(yīng)用1引言級數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要工具，主要用來表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行逼近計算等.所以，對級數(shù)基本理論于級數(shù)求和問題的研究便成了基礎(chǔ)而又重要的課題.可以說，級數(shù)求和的研究舉足輕重、意義非凡.數(shù)學(xué)分析研究級數(shù)時，級數(shù)求和是一個基礎(chǔ)而又重要的問題.級數(shù)求和的方法多，需要靈活轉(zhuǎn)換，很難找到它的一般規(guī)律，級數(shù)求和便成了數(shù)學(xué)分析走向應(yīng)用的難點.當(dāng)前，對級數(shù)求和的見解不少，但大多繁雜羅列，有的不易理解.查閱相關(guān)資料后，此文給出了一些通用思路的方法以及

8、一些特殊方法，相對比較有條理.收斂的級數(shù)才能求和，證明級數(shù)的收斂是首要，隨后給出級數(shù)求和的方法，求和方法是主要內(nèi)容，最后給出其matlab的應(yīng)用程序以及其在數(shù)學(xué)，經(jīng)濟等領(lǐng)域的實際應(yīng)用.2級數(shù)的一般概念級數(shù)是數(shù)學(xué)的一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)本身，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，級數(shù)的研究有非常重要的意義，級數(shù)可分為數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，數(shù)項級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的基礎(chǔ)，函數(shù)項級數(shù)又是研究函數(shù)性質(zhì)的重要手段，級數(shù)求和都是在級數(shù)概念這個基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以研究級數(shù)求和首先研究級數(shù)的定義和性質(zhì).2.1數(shù)項級數(shù)1給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達(dá)式 （1）這便是數(shù)項級數(shù)，其中稱為它的通

9、項.數(shù)項級數(shù)（1）也常記為或?qū)懗?數(shù)項級數(shù)（1）的前n項和，記=， （2）稱它為數(shù)項級數(shù)（1）的前n項和，也簡稱部分和.如果數(shù)項級數(shù)（1）的部分和數(shù)列收斂于，那么數(shù)項級數(shù)（1）是收斂的，記為數(shù)項級數(shù)（1）的和，記為或若是發(fā)散數(shù)列，則數(shù)項級數(shù)（1）是發(fā)散的.2.2函數(shù)項級數(shù)設(shè)是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)列，表達(dá)式 （3）稱作定義在上的函數(shù)項級數(shù)，記為，稱=， （4）為函數(shù)項級數(shù)（3）的部分和函數(shù)列2.若，數(shù)項級數(shù) （5）收斂，即當(dāng)時,部分和=極限存在，稱級數(shù)（3）在點收斂，如果級數(shù)（5）是發(fā)散的，稱級數(shù)（3）在點發(fā)散.如果級數(shù)（3）在的某個子集D上每點是收斂的，那么級數(shù)（3）在D上收斂.3一些級數(shù)的

10、收斂及證明方法只有收斂的級數(shù)才能求和，在對級數(shù)求和時需判斷其斂散性，下面介紹一些判別級數(shù)斂散性常用的方法.3.1等比級數(shù)也稱幾何級數(shù)，一般形式為a+aq+aqn+ ,sn=a(1-qn)1-q(q1)3.2 P級數(shù) 一般形式為3.3比較判別法有兩個正項級數(shù)與,且.1） 如果級數(shù)收斂，那么級數(shù)收斂；2）如果級數(shù)發(fā)散，那么級數(shù)發(fā)散.（極限形式）有兩個正項級數(shù)與（），且1） 如果級數(shù)收斂，當(dāng)時，那么級數(shù)收斂;2） 如果級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時，那么級數(shù)發(fā)散.3.4柯西判別法 有正項級數(shù).1）有則級數(shù)收斂.2）若純在無數(shù)個n,有則級數(shù)發(fā)散.（極限形式） 有正項級數(shù)，若，則1)當(dāng)時，級數(shù)收斂；2)當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.

11、3.5達(dá)朗貝爾判別法 有正項級數(shù).1）若有則級數(shù)收斂.2）若有則級數(shù)發(fā)散.（極限形式） 有正項級數(shù)，若，則1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.3.6萊布尼茲判別法有交錯級數(shù).若1）,2）,則級數(shù)收斂.3.7狄利克雷判別法若級數(shù)滿足1） 數(shù)列單調(diào)遞減，且=0,2） 級數(shù)的部分和有界,則級數(shù)收斂.3.8阿貝爾判別法若級數(shù)滿足1）數(shù)列單調(diào)有界,2）級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.3.9冪級數(shù)冪級數(shù)的形式為，其中都是常數(shù)，是冪級數(shù)的系數(shù)3.冪級數(shù)，若 或,則其收斂半徑為 .4級數(shù)求和的方法級數(shù)求和的方法繁多，初等的求和方法在研究特殊以及復(fù)雜級數(shù)求和中處于基礎(chǔ)地位，借助它們可以解決不少級數(shù)求和問題，但一些特殊

12、的級數(shù)就需要特殊的方法才能解決，初等的級數(shù)求和便需首要介紹，進(jìn)而總結(jié)出一般級數(shù)求和的規(guī)律，最后介紹一些特殊的級數(shù)求和方法，從而對級數(shù)求和的方法做出系統(tǒng)的歸納和分類.4.1據(jù)定義用極限法求和從定義來中看到，求級數(shù)的和就是求級數(shù)部分和數(shù)列的極限.由于，則的項數(shù)就會有無限多個，想要求其極限，就需要把逐步簡化，來一步步求出級數(shù)的和.例1 設(shè)，求級數(shù)的和.解 因，則，于是,可得原級數(shù)的和 .4.2初等方法求數(shù)值級數(shù)的和求解級數(shù)的和時，一些常見數(shù)列的求和公式，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等求和公式能夠很容易求出其和，巧妙運用這些常見求和公式的四則運算能夠求出一些復(fù)合級數(shù)的和.4.2.1等差數(shù)列求和等差級數(shù)是簡單的

13、級數(shù)，首先比較各項得到它的公差，找到首項或尾項，再運用公式可求和.，其中為首項，為公差,此外,兩式相加得，因為等差級數(shù)，所以，由此導(dǎo)出“首尾相加法”，使復(fù)雜級數(shù)化為一簡易級數(shù)求和.例2 求.解 ，兩式相加得，即.故原級數(shù)的和 .4.2.2等比數(shù)列求和等比級數(shù)為簡單級數(shù)類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)1，其中為首項，為公比.此外當(dāng)=1，易得，當(dāng)1， ， 兩式相減，得.由此導(dǎo)出“錯位相減法”，用這種方法適用于解決等比級數(shù)和等差級數(shù)的復(fù)合型問題，通過乘以等比級數(shù)的公比，結(jié)合原級數(shù)進(jìn)行四則運算后，可以將其轉(zhuǎn)化為等差或等比級數(shù)的求和問題.例3 計算.解 ， 兩式相減得 ，=3.

14、原級數(shù)的和 .4.2.3子序列法 1）對于一些級數(shù)，當(dāng)時，其通項，只需找到它的部分和的某一收斂子列（是某個正整數(shù)，=1,2），再求出極限，就可求得級數(shù)的和為.例4 求級數(shù)的和解 原級數(shù)=,，設(shè)其部分和數(shù)列的子列為.又有已知公式 , 其中=0.577216稱為歐拉常數(shù)，且.對于原級數(shù)，可得.所以，原級數(shù)收斂，其和為. 2）若級數(shù)與二者皆收斂，則=.例 5計算.解 由級數(shù)斂散性證明方法，可知原級數(shù)收斂，記其和.對進(jìn)行分類討論，記， ， .則 ，所以，故原級數(shù)的和 .4.2.4裂項相消法某些是分?jǐn)?shù)形式的級數(shù)，且滿足分母為多項乘積，各項之間相差一個相同的整數(shù).這樣的級數(shù)拆項后有相同的部分，這類級數(shù)求和

15、時，可以先拆分級數(shù)各項再整體逐項相消，從而化簡級數(shù)求和.裂項一般形式，此處.例6 計算.解 由于而所以， ，故原級數(shù)的和 .4.2.5方程式法此法關(guān)鍵在于運用特殊技巧構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解除的具體表達(dá)式.例7計算解 比較與，可知，這樣，所以，即此級數(shù)的和為.4.3根據(jù)冪級數(shù)理論求和若收斂，則有=，將轉(zhuǎn)化成，對求兩種常用方法即逐項微分求和及逐項積分求和.4.3.1逐項微分求和，如果容易求和，那么運用逐項微分容易求和. 例8 求數(shù)項級數(shù)的和.解 構(gòu)造冪級數(shù)，求得收斂半徑.收斂區(qū)間是.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級數(shù)可逐項可導(dǎo)，有.，有.因為，所以.即.令，有.4.3.2逐項積分求和，當(dāng)為多項式時，應(yīng)

16、分解為等式子的組合.如果冪級數(shù)的收斂半徑，那么冪級數(shù)在閉區(qū)間上都一致收斂.要求級數(shù)的和，只需求在內(nèi)的和函數(shù)，令，取極限，則.例9 計算解 由于,而的收斂半徑為1，在時，其收斂，令，在等式兩端取極限，有 即.于是，.4.4利用復(fù)數(shù)求和由于三角函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為負(fù)數(shù)域函數(shù)，因此在求三角級數(shù)的和時，可以用公式將三角型級數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)級數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的實部對應(yīng)于此數(shù)項級數(shù)，從而求得級數(shù)的和.歐拉公式 ： ，.棣莫弗公式：.設(shè)為復(fù)數(shù)，記，是實數(shù)有 例10 計算解 因為復(fù)數(shù)級數(shù)，令，有 而 于是，.4.5函數(shù)項級數(shù)求和4.5.1利用傅里葉級數(shù)理論求和4 傅里葉級數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，利用它可以求一些特殊級數(shù)的和.若函

17、數(shù)fx在區(qū)間-,可積，則稱 ， ，是函數(shù)的傅里葉系數(shù).以函數(shù)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱作函數(shù)的傅里葉級數(shù)，記傅里葉展開的基本方法1.按系數(shù)公式計算系數(shù)其中.2.將算出的系數(shù)代入級數(shù).3.根據(jù)收斂定理，判定“”可改為“=”的范圍.如果上分段光滑，則級數(shù)的和函數(shù)例11 設(shè)函數(shù)，.試求的值.解 將函數(shù)在上展開成Fourier級數(shù)，于是，因為在內(nèi)連續(xù)，所以，由Parseval等式有 所以.例12 計算，其中滿足.解 任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因為級數(shù)收斂，所以題目中級數(shù)在（0，1）上一致收斂.，由于，帶入上式可得級數(shù)和為.4.5.2逐項微分求和5某些級數(shù)微分后容易求和，從而求原級數(shù)

18、和時，先對其逐項微分求和，然后再利用積分公式.例13 計算解 計算得出其收斂半徑為1，設(shè)為其和函數(shù)，即，有，逐項微分有，對上式從到積分，得 .4.5.3逐項積分求和6例14 計算.解 記，對其逐項積分得=，其中 所以=.4.5.4將原級數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級數(shù)再求和7通過分解，將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為已知的知識，可以利用已知的方法求解.例15 計算.解 記，利用的麥克勞林展式得8=.4.5.5微分方程式法基本思想主要是構(gòu)造級數(shù)的和的微分方程式，然后求解微分方程，函數(shù)項級數(shù)的和便能求出.例16 計算.解 設(shè)，逐項微分所以，并且有.解此微分方程的初值問題，得 .5運用matlab求級數(shù)的和 對于收斂的級數(shù)，可以

19、借助數(shù)學(xué)軟件matlab進(jìn)行快速求和，不但計算速度快，而且精確度高.用matlab對級數(shù)求和主要是知道它的運算格式，運用一些運算命令.求級數(shù)的和時，只需在窗口輸入運算命令并運行，格式如下9.>>syms n;s=symsum(,n,1,inf)例17 求下列級數(shù)的和（1）；（2）；（3）.輸入>>syms n;s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)>>syms n;s=symsum(1/n2,n,1,inf)>>syms n;s=symsum(-1)(n+1)/n,n,1,inf)輸出>>1>>pi2/6&

20、gt;>log(2)6級數(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)這一學(xué)科的數(shù)值計算亦或其他學(xué)科的研究計算方面，級數(shù)起著廣泛又重要的作用.在日常生活生產(chǎn)發(fā)展中，級數(shù)也起著非常大的作用：幾何級數(shù)可以判斷其他級數(shù)的收斂性，解釋經(jīng)濟中的乘數(shù)效應(yīng)；冪級數(shù)在函數(shù)值及定積分的近似計算中發(fā)揮著獨到的作用，它可以精確的計算其近似數(shù)值；它也是處理一些經(jīng)濟投資問題的關(guān)鍵；在物理工程中，利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行數(shù)字信號處理，1）對數(shù)的近似計算例18 已知函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是， (1)應(yīng)用冪級數(shù)（1）計算自然對數(shù)的近似值，的變化范圍小，收斂的速度慢.故它沒有實用價值.因此需要對冪級數(shù)（1）進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造一個新的級數(shù)，使的變化范圍擴大，收斂速度得

21、到提高.在冪級數(shù)（1）中以代替，有 （2）冪級數(shù)（1）和（2）等號兩端分別相減，有 （3）令，有將代入冪級數(shù)（3）中，有 （4）由級數(shù)（4）看到，新級數(shù)的構(gòu)造既能求出任意正整數(shù)的自然對數(shù)，又使級數(shù)的收斂速度得到提高.例如，已知有級數(shù)（4），有只計算括號內(nèi)寫出來的4項部分和，即其誤差不超過2）級數(shù)求和在經(jīng)濟問題中的運用10例19 假設(shè)銀行存款的年利率為，并可以依年復(fù)利計算.某公司希望通過存款萬元，預(yù)計第一年提款19萬元，第二年提款28萬元，第年提款萬元.根據(jù)上述規(guī)則一直提款下去，試確定至少應(yīng)為多少萬元？解 設(shè)開始時刻為，記.由題設(shè)知應(yīng)滿足在第1年末時存款余額在第2年末時存款余額如此繼續(xù)下去，在第年末時存款余額不難看出，能夠使取款一直繼續(xù)下去的應(yīng)滿足在已知的冪級數(shù)和函數(shù)公式中，令即得所以（萬元），的最小額為3980萬元.結(jié)束語總之級數(shù)求和的方法有很多，上述給出一般收斂級數(shù)求和的普遍方法，又有根據(jù)題目特點的特殊方法，可以求出一些收斂級數(shù)的和.但還有一些級數(shù)的求和無法求出，還需進(jìn)一步研究，級數(shù)求和的應(yīng)用領(lǐng)域也很廣泛，在數(shù)學(xué)，經(jīng)濟，物理，化學(xué)等一些問題的解決都需用到它，一些隱藏領(lǐng)域也有待發(fā)現(xiàn)，這些問題的解決都是基于級數(shù)求和的一般理論和方法，相信在未來能夠找到收斂性快，精確度高的方法，以此領(lǐng)域的發(fā)展