級數的收斂速度與正項級數判斂法的關系

1、級數的收斂速度與正項級數判斂法的關系數學與統(tǒng)計學院、數學與應用數學、0701班，湖北，黃石，4350021.引言級數斂散的速度問題，無論對于理論研究者或是實際工作者都具有意義。在做理論研究判斷正項級數斂散性時，利用比較判別法必須事先選擇好具有適當斂散性的級數，而利用d'Alembert判別法或Cauchy判別法總有一些級數不能判斷其斂散性，如，其原因在于作為“標尺”的幾何級數收斂得不夠慢，因此想要得到更好的判別法就必須尋找收斂得更慢的級數作為比較的“標尺”。通過探究達朗貝爾判別法、拉貝判別法產生缺陷的原因以及幾項正項級數收斂速度的比較，得出級數的收斂速度與正項級數判斂法的關系。2.級數

2、收斂速度的定義在關于級數的論著中對正項級數斂散快慢問題，通常有下列三種定義。(分別由下面的定義1、2與3、4以及定義5組成）定義1 設正項級數與都收斂，分別是它們的余式，如果，就稱比收斂較慢。定義2 設正項級數與都發(fā)散， ，分別是它們的部分和，如果，就稱比發(fā)散較慢。定義3 設正項級數與都收斂，如果，就稱比收斂較慢。定義4 設正項級數與都發(fā)散，如果，就稱比發(fā)散較慢。定義5 設正項級數與都收斂（發(fā)散），并有自然數N,使時，有（），則說比收斂（發(fā)散）較慢。3幾種常用判斂法定理1（比較判別法）（1）（2）是兩個正項級數，如果當n充分大時，總有不等式成立，則由級數（2）收斂可推出級數（1）收斂，而由級數

3、（1）發(fā)散可推出（2）發(fā)散。定理2 如果存在自然數N，對一切有（3）則由級數（2）收斂可知級數（1）收斂，而由級數（1）發(fā)散可知級數（2）發(fā)散。定理3（達朗貝爾比值判別法）若為正項級數，且（4）則當時級數收斂，而當時級數發(fā)散。定理4（柯西根值判別法）設為正項級數，且則當時級數收斂，而當時級數發(fā)散。定理5（拉貝判別法）設為正項級數，且則當時級數收斂，而當時級數發(fā)散。定理6（高斯判別法）對正項級數，如果有 （5）式中有界：，則當或者而時級數收斂;當或者而時級數發(fā)散。定理7（柯西積分判別法）如果 是非負的不增函數，則級數與積分同斂散。以下幾個主要的判別法大致可分為三類：第一類是把所論正項級數的項與一

4、個已知其斂散性的正項級數的項加以比較后得到原級數的斂散性，這一類包括定理1、2中的判別法。第二類從形式上看是考察所論正項級數通向或相鄰項的量值與變化趨勢，其本質仍是把所給級數與某些典型而基本的收斂（發(fā)散）級數（幾何級數、P-級數等）加以比較。定理3、4、5、6屬于這一類，定理7屬于第三類，是通過建立正項級數與無窮積分的聯(lián)系把問題轉化為廣義積分的計算與斂散性判定。4探究達朗貝爾判別法、拉貝判別法產生缺陷的原因其中達朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法在其形式及證明上有諸多相似，并且都存在著自身的不足，但它們的適用范圍卻是逐漸擴大的。下面從這三種判別法出發(fā)，探究產生缺陷的根本原因。對于正項級數，首

5、先看達朗貝爾判別法的極限形式，當的極限值等于1時達朗貝爾判別法就失效了，對于簡單的級數，如也不能用此法來判定，我們就來分析一下產生這種缺陷的根源。通過達朗貝爾判別法和柯西判別法的證明過程，知道這兩者實際上是用等比級數來同給定的級數進行比較的。這里主要以達朗貝爾判別法為例（由于柯西判別法簡單，其比較級數是）。當時，給定的正項級數的一般項小于某一收斂得等比級數的對應項，其中，是與1之間的某一實數，于是判斷收斂。由上可知：；而；由此可知比收斂得快。那么，反過來，如果給定的正項級數雖然收斂，但比任何收斂得等比級數收斂的都慢。這時，達朗貝爾判別法及其極限形式對的斂散性判斷就無能為力了。例如：.對于任意的

6、等比級數，其中，（）收斂得快。此時，不能用達朗貝爾判別法。其次，若，給定的級數的一般項不趨于0，于是判斷發(fā)散?？墒侨绻o定的正項級數雖然發(fā)散，但一般項趨于0。這時，達朗貝爾判別法對也無能為力。例如：。綜上所述，凡是比任何收斂的等比級數收斂的速度都慢的收斂的正項級數，以及一般項趨于0的發(fā)散的正項級數，都不能用達朗貝爾判別法及其極限形式來判斷其收斂或發(fā)散?？梢?，用達朗貝爾判別法、柯西判別法來判定級數收斂時，都受到幾何級數收斂速度的嚴格限制。再分析拉貝判別法的證明過程，不難發(fā)現是用廣義調和級數（p>0）來作為比較級數。對于任何及任何，考慮 收斂即:可見任何收斂的（）的一般項比任何收斂的（）的一

7、般項在趨于0時要慢得多。此外，對于，廣義調和級數雖然發(fā)散，但它的一般項卻趨于0。如果設、是滿足定理2中（3）式的兩個收斂級數，由前面定理1、2容易知道，對于任何正項級數，如果用作標準能判定它收斂，那么用作標準時也一定能判定它收斂。但反過來則不一定。5幾項正項級數收斂速度的比較另外我們又知道，正項級數斂散性判別法中著名的比值判別法、拉貝判別法、高斯判別法實際正是分別以下列級數 ，（）（1）作為比較標準由比較原則導出的，現在利用上述后兩種定義證明下面結論：當（1）中三類級數都收斂時，在收斂速度上是后一個總比前一個慢。命題一 設 ，則p級數總比幾何級數收斂得慢。 證明：（利用定義3）設，則為求上式右

8、邊極限，可先求相應連續(xù)變量時的極限，而利用洛必達法則不難求得該極限值為0，從而，由定義3，命題得證。命題二 設，則級數總比級數收斂得慢。證法1：（利用定義3）設，顯然只需就情形證明，先設，于是與以上類似，先求時極限，應用洛必達法則q次得當時，有 =···· 如果q>p>1,而，則利用剛才證明的結論，此時有 同樣可得，因此由定義3，命題2成立。證法2 （利用定義5）設，要證對任意的p>1及q>1，當n 充分大時總有也即證明或證明 （2） 為此設，（） 對和在區(qū)間（）上應用柯西中值定理得 因此只要，即當時就有（2）式成立，從而由定義5

9、，命題2得證。由知級數又比p級數收斂得慢。 從而我們有：以P級數為標準建立的判別法（如d'Alembert判別法、Cauchy判別法）有效；而以級數為標準建立的判別法（Gauss判別法、擬對數判別法）又較以P級數為標準建立的判別法有效。沿著這種思路下去，我們又有級數較級數斂散得慢，從而可以建立更精密、更有效的判別法。這一過程還可以繼續(xù)下去。一般地，級數串（），·····收斂的速度漸慢；下面證明沒有收斂得最慢的級數。設是收斂得最慢的正項級數，現構造級數，其中是的第n-1項余式，即：先證是收斂的。由積分中值定理，有 ，故： 可見級數收斂，由

10、比較原則，有：也收斂。其次，由，知較收斂得慢。同理可證，也無發(fā)散得最慢的級數。因此，無法找到一個最有效的正項級數判斂法。根據上面的分析不難知道，以上判別法都是基于把所要判斷的級數與某一收斂級數相比較而得到的，只有那些級數的通項收斂于0的速度比某一收斂級數收斂快的級數，這些判別法才有效，如果級數的通項收斂速度較慢，這些判別法就無能為力，但可以尋求通項收斂速度更慢的收斂級數作比較，獲得判別范圍更大的正項級數判別法。選擇收斂（發(fā)散）較慢的級數作比較標準，相應的判別法所能判定的級數就比較廣泛（即該判別法應用范圍較廣）。這時，我們也該說該判別法比采用收斂（發(fā)散）較快的級數為比較標準的判別法更強或更精確。

11、在上面判別法中，高斯判別法強于拉貝判別法，而后者又強于比值判別法，并且較弱判別法又是較強判別法的特殊情形，或者說后者是前者的推廣，例如，拉貝判別法的極限式可寫為因此，當時，顯然當時有，而時，這兩種情形下，分別收斂與發(fā)散。由此可見，比值判別法僅是拉貝判別法當時的特例，但是一般來說，較弱判別法未必是較強判別法的特例。例如比值判別法并非是根值判別法的特例，后者也不是拉貝判別法的特例。例：討論級數當時的斂散性。解：無論哪一值時，對此級數的比式極限都有 所以用比式判別法無法判斷級數的斂散性，現在利用拉貝判別法來討論當時，由于 可知此級數發(fā)散當時，由于 可知此級數發(fā)散從上面可以看到，比式判別法有其局限性，

12、拉貝判別法雖然判別的范圍比它更廣泛，但當時仍無法判斷，我們還可以建立比拉貝判別法更有效的方法，但是這個過程是無限的。6.正項級數的其他一些斂散性判別法定理8（對數判別法）設是正項級數，如果則當時級數收斂；當時級數發(fā)散。定理9（隔項比值判別法）設正項級數的項遞減，如果則當時級數收斂；當時級數發(fā)散。定理10（雙比值判別法）對正項級數，如果則當時級數收斂；當時級數發(fā)散。定理12（厄爾馬可夫判別法）設為遞減的正值連續(xù)函數，又設如果，則收斂；，則發(fā)散。定理13（推廣厄爾馬可夫判別法）設為遞減的正值連續(xù)函數，為遞增可導函數，并滿足，如果若，則收斂；，則發(fā)散。例：判斷級數的斂散性解：令， 故級數發(fā)散。例：判

13、斷級數 的斂散性解：令， 故當時，收斂，當時，發(fā)散7.結束語正因為不能找到一個斂散得最慢的級數，使得級數斂散性的判別法靈活多變。即任何收斂的正項級數都存在著比它收斂得慢的正項級數，任何發(fā)散的正項級數都存在著比它發(fā)散得慢的正項級數。因此，企圖用選擇級數作為“比較標準”的方法，來建立對所有的正項級數斂散性判別都有效的判別法是不可能的。因此，對于級數斂散性的判別還在于靈活運用。8.致謝經過半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)論文已經接近尾聲，在這里首先要感謝我的指導老師胡松林教授。胡老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)論文的每個階段，從初次選題到查閱資料，論文初稿的確定和修改，中期檢查，后期詳細設計等整個過程中都給予了我悉心的指導，還不惜把自己的研究成果讓我參考、借鑒，細心地糾正論文中的錯誤并給予指導。如果沒有他的大力支持，此次論文的完成將變得非常困難。除了敬佩胡老師的專業(yè)水平外，他的治學嚴謹和科學研究的精神也是我永遠學習的榜樣，并將積極影響我今后的學習和工作，然后還要感謝大學四年來所有的老師，為我們打下堅實的專業(yè)知識的基礎。最后祝各位評審老師身體健康，工作順利！9.參考文獻:1 華東師范大學數學系.數學分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2 吉米多維奇，李榮凍譯.數學分析習題集M.北京：高等教育出版社，1958.3 關紅鈞.正項級數判斂法