線性代數(shù)知識框架版

1、線性代數(shù)知識框架注：全體維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.注： 關(guān)于：稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；線性無關(guān)；任意一個維向量都可以用線性表示.行列式的定義行列式的計(jì)算：行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣（不必同階）,則上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.關(guān)于副對角線：范德蒙德行列式：矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣，為中各個元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: 注： 方陣的冪的性質(zhì)：設(shè)的列向量為

2、,的列向量為，則 ，為的解可由線性表示. 同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.用對角矩陣左乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對角矩陣右乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣：分塊對角陣相乘：分塊對角陣的伴隨矩陣：矩陣方程的解法()：設(shè)法化成與同解（列向量個數(shù)相同）,則： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列向量組等

3、價（右乘可逆矩陣）.判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 都是的解； . 一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)；維列向量組線性無關(guān). . 若線

4、性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對施行一次初等行變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣左乘；對施行一次初等列

5、變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣右乘.矩陣的秩 如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作矩陣等價經(jīng)過有限次初等變換化為. 記作：向量組等價和可以相互線性表示. 記作： 矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價矩陣與等價. 向量組可由向量組線性表示有解. 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價. 向量組的

6、極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定. 若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無關(guān)；若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān).矩陣的秩的性質(zhì)： 若且在矩陣乘法中有左消去律；若 且在矩陣乘法中有右消去律. 初等矩陣的性質(zhì)：注：線性方程組的矩陣式向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）線性方程組解的性質(zhì)：設(shè)為矩陣,若,一定有解， 當(dāng)時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān).是的上限.標(biāo)準(zhǔn)正交基個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.是單位向量.內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對稱性： 雙線性：的特征矩陣.的特征多項(xiàng)

7、式.是矩陣的特征多項(xiàng)式的特征方程.，稱為矩陣的跡.上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量.一定可分解為=、,從而的特征值為：, . 若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:的全部特征值為； 若滿足,則的任何一個特征值必滿足.設(shè)，對階矩陣規(guī)定：為的一個多項(xiàng)式.的特征向量不一定是的特征向量.與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.與相似 （為可逆矩陣） 記為：與正交相似 （為正交矩陣）可以相似對角化與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形）可相似對角化為的重?cái)?shù)恰有個線性無關(guān)的特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主

8、對角線上的元素為的特征值.設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. 注：當(dāng)為的特征值時，可相似對角化的重?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的個數(shù). 若可相似對角化,則其非零特征值的個數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）. 若階矩陣有個互異的特征值,則可相似對角化. 若=， 相似矩陣的性質(zhì)： 從而同時可逆或不可逆； （若均可逆）； （為整數(shù)）；，,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 數(shù)量矩陣只與自己相似. 對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交； 注：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實(shí)二次型

9、可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 與對角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 一定有個線性無關(guān)的特征向量,可能有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=）.正交矩陣為正交矩陣的個行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣的性質(zhì)： ； ；正交陣的行列式等于1或-1；是正交陣,則，也是正交陣；兩個正交陣之積仍是正交陣；的行（列）向量都是單位正交向量組.二次型，即為對稱矩陣，與合同. 記作： （）正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)；負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)；符號差. (為二次型的秩) 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù). 兩個矩陣合同的充分條件是： 兩個矩陣合同的必要條

10、件是：經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)形. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由 唯一確定的. 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為-1或0或1時,為規(guī)范形 . 實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個數(shù). 慣性定理：任一實(shí)對稱矩陣與唯一對角陣合同. 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: 求出的特征值、特征向量； 對個特征向量正交化、單位化； 構(gòu)造（正交矩陣）,作變換,則新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.施密特正交規(guī)范化線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。例如：取，.正定二次型不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣.為正定二次型（之一成立）： ，； 的正慣性指數(shù)為； 的特征值全大于； 的所有順序主子式全大于； 與合同，即存在可逆矩陣使得； 存在正交