【金學案】高中數(shù)學（北師大版選修12精品學案第四章 數(shù)系的擴充與復 數(shù)的引入 章末小結(jié)

1、章末小結(jié)1.復數(shù)的概念及主要代數(shù)性質(zhì)(1)復數(shù):形如z=a+bi(a,bR)的數(shù)叫作復數(shù),其中i是虛數(shù)單位,i2=-1,a,b分別叫它的實部和虛部. (2)復數(shù)的分類:設復數(shù)z=a+bi(a,bR),當b=0時,z為實數(shù); 當b0時,z為虛數(shù); 當a=0,且b0時,z為純虛數(shù). (3)復數(shù)相等的條件:在復數(shù)集中任意兩個復數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dR),規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d,換句話說,如果兩個復數(shù)實部和虛部分別相等,那么就說這兩個復數(shù)相等. (4)兩個實數(shù)可以比較大小,但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù),就不能比

2、較它們的大小.(5)共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù). 2.對復平面與復數(shù)的幾何性質(zhì)的理解(1)復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作復平面,x軸叫作實軸,y軸叫作虛軸. (2)復數(shù)z=a+bi(a,bR)與復平面上的點Z(a,b)建立了一一對應的關系.(3)復數(shù)的模:因為z=a+bi(a,bR)與復平面內(nèi)的向量一一對應,所以向量的模就叫作復數(shù)z=a+bi的模,因此有|z|= ,且有 z·=a2+b2. 3.復數(shù)的四則運算及運算律(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算按以下法則進行:設z1=a+bi,z2=c+

3、di(a,b,c,dR),則z1±z2=(a±c)+(b±d)i; z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i; = +i(z20). (2)結(jié)論:在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中,加法、減法、乘法運算都可以按多項式運算法則進行,只是在運算過程中把i2換成-1,然后實、虛部分別合并;除法法則需分子分母同乘分母的共軛復數(shù),使分母實數(shù)化. 記住一些常用的結(jié)果,如i的有關性質(zhì),可簡化運算,提高運算速度.若z為虛數(shù),則|z|2z2.(3)運算律復數(shù)的加法運算滿足交換律、結(jié)合律. 復數(shù)的乘法運算滿足交換律、結(jié)

4、合律、乘法對加法的分配律. 復數(shù)的減法是加法的逆運算,復數(shù)的除法是乘法的逆運算. 4.復數(shù)與其他知識的聯(lián)系與區(qū)別(1)復數(shù)事實上是一對有序?qū)崝?shù)對,因此復數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來解決,復數(shù)z=a+bi(a,bR)與復平面內(nèi)的向量=(a,b)一一對應,故復數(shù)與平面解析幾何、平面向量聯(lián)系密切. (2)復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算與平面向量的加、減運算是一致的,復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法運算與多項式的加法、減法、乘法運算是類似的. 題型1:復數(shù)的基本概念和運算已知復數(shù)z=(2+i)m2-2(1-i),當實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z是:(1)零;(2)虛數(shù);(3)純

5、虛數(shù);(4)復平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點對應的復數(shù)?【方法指導】得結(jié)果結(jié)合條件確定m對復數(shù)z進行化簡【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)當即m=2時,z為零.(2)當m2-3m+20,即m2且m1時,z為虛數(shù).(3)當即m=-時,z為純虛數(shù).(4)當2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2時,z為復平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點對應的復數(shù).【小結(jié)】本題考查了復數(shù)的四則運算、復數(shù)的分類、復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)的幾何意義等知識點.題型2:復數(shù)的幾何意義已知z是復數(shù),z+2i、均為實數(shù),且復數(shù)(z+ai

6、)2在復平面上對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.【方法指導】a的范圍解不等式組列不等式組化簡(z+ai)2求出z列方程組設z=c+di【解析】根據(jù)題意,設復數(shù)z=c+di(c,dR),則z+2i=c+(d+2)i為實數(shù),即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.又=為實數(shù),即=0,解得c=4,所以z=4-2i.(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16-(2-a)2-8(2-a)i對應的點在第一象限,解得2<a<6.實數(shù)a的取值范圍是(2,6).【小結(jié)】復數(shù)的幾何意義使復數(shù)及復平面內(nèi)的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成一系列的實數(shù)問題.因而,需熟記各種轉(zhuǎn)化的條件和實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)滿足的條件

7、.題型3:復數(shù)的綜合應用設z是虛數(shù),=z+是實數(shù),且-1<<2.(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;(2)設u=,求證:u為純虛數(shù);(3)求-u2的最小值.【方法指導】先設出z的代數(shù)形式,然后利用=z+是實數(shù)為突破口求出|z|,結(jié)合-1<<2的范圍求出z的實部的取值范圍.證明u為純虛數(shù)只需求出u的代數(shù)形式后,說明它的實部為0,虛部不為0即可.求-u2的最小值,這里可利用重要不等式.【解析】(1)設z=a+bi(a,bR,b0),則=a+bi+=(a+)+(b-)i.是實數(shù),b0,b-=0,a2+b2=1,|z|=1,=2a,又-1<<2,z的實部的取值范

8、圍是(-,1).(2)u=-i.又a(-,1),b0,u為純虛數(shù).(3)-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2(a+1)+-3.a(-,1),<a+1<2,-u21,當且僅當a+1=時,即a=0時等號成立.故-u2的最小值為1.【小結(jié)】沒有給定復數(shù)的具體形式時,要注意首先設出其代數(shù)形式z=a+bi(a,bR),這是解決復數(shù)問題時的一般思路,本題將復數(shù)與不等式相結(jié)合考查,具有一定的綜合性.1.(2022年·全國新課標卷)下面關于復數(shù)z=的四個命題:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共軛復數(shù)為1+i;p4:z的虛部為-1.其中的真命題為().A.p2,p3

9、B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】由題意得z=-1-i,則=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虛部為-1,所以p2,p4是正確的.【答案】C2.(2022年·全國卷)設復數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則z=().A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【解析】z=i(1+i)=-1+i.【答案】A3.(2022年·安徽卷)設i是虛數(shù)單位,若復數(shù)a-(aR)是純虛數(shù),則a的值為().A.-3B.-1C.1D.3【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,所以a=3.【答案】D一、選擇題1.復數(shù)的虛部是().A.-1B.1C.iD.-

10、i【解析】=-1+i.【答案】B2.i為虛數(shù)單位,復平面內(nèi)表示復數(shù)z=的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】因為z=-i,所以其在復平面上對應的點為(-,-),在第三象限.【答案】C3.已知復數(shù)z滿足(3+4i)z=25,則z=().A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z=3-4i.(法二)設z=a+bi(a,bR),則(3+4i)(a+bi)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.【答案】D4.已知集合M=1,2,zi,i為虛數(shù)單位,N=3,4,MN=4,則復數(shù)z=().A.

11、-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】MN=4,4M,zi=4,z=-4i.【答案】C5.已知復數(shù)z滿足(1-i)z=2,則|為().A.1+iB.1-iC.D.2【解析】z=1+i,=1-i,所以|=|1-i|=.【答案】C6.若復數(shù)(aR,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為().A.2B.4C.-6D.6【解析】=,根據(jù)已知條件a=-6.【答案】C7.若復數(shù)z滿足方程z2+2=0,則z3等于().A.±2 B.-2 C.±2 iD.-2 i 【解析】z2+2=0z=±iz3=±2i.【答案】C8.已知=b+i(a,bR),其中i為虛數(shù)單位,則a

12、+b等于().A.-1B.1C.2D.3【解析】由已知條件a+2i=-1+bi,則a=-1,b=2,a+b=1.【答案】B9.若純虛數(shù)z滿足(2-i)z=4+bi,則實數(shù)b等于().A.-2B.2C.-8D.8【解析】(法一)設z=ai(aR且a0),則ai(2-i)=4+bi,即2ai-ai2=4+bi,a+2ai=4+bi,即b=8.(法二)由(2-i)z=4+bi,得z=+i,則=0,b=8,選D.【答案】D10.定義運算=ad-bc,則符合條件=0的復數(shù)z的共軛復數(shù)對應的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】由題意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,

13、即z=2-i,所以=2+i,對應點(2,1)在第一象限,選A.【答案】A二、填空題11.復數(shù)=. 【解析】=-2i.【答案】-2i12.復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的實部等于. 【解析】=-3-i,-3-i的實部等于-3.【答案】-313.設復數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=. 【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.【答案】2+3i14.若(x+i)i=-1+2i(xR),則x=. 【解析】由題意,得x+i=2+i,所以x=2.【解析】215.若z=,則z100+z50+1=. 【解析】z=,z1

14、00+z50+1=()100+()50+1=()50+()25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.【答案】i三、解答題16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.【解析】=+=,則z=5-i.17.已知復數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,且z1·z2是實數(shù),求z2.【解析】(z1-2)(1+i)=1-i,z1=2-i.設z2=a+2i,aR,則z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.z1·z2R,a=4,z2=4+2i.18.已知復數(shù)z=(3+bi)(1+3i)(bR)是純虛數(shù)

15、.(1)求b的值;(2)若w=,求復數(shù)w的模|w|.【解析】(1)z=(3+bi)(1+3i)=(3-3b)+(9+b)i.z是純虛數(shù),3-3b=0,且9+b0,b=1.(2)w=-i,|w|=.19.已知復數(shù)z=1-2i(i為虛數(shù)單位).(1)把復數(shù)z的共軛復數(shù)記作,若·z1=4+3i,求復數(shù)z1;(2)已知z是關于x的方程2x2+px+q=0的一個根,求實數(shù)p,q的值.【解析】(1)由題意得=1+2i,所以z1=2-i.(2)由題意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,化簡得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0.根據(jù)復數(shù)相等的條件,有-6+p+q=0且-8-2p=0,解得

16、p=-4,q=10.20.已知z為復數(shù),z+2i和均為實數(shù),其中i是虛數(shù)單位.(1)求復數(shù)z;(2)若復數(shù)(z+ci)2在復平面上對應的點在第一象限,求實數(shù)c的取值范圍.【解析】(1)設復數(shù)z=a+bi(a,bR),由題意知,z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)iR,b+2=0,即b=-2.又=+iR,2b+a=0,即a=-2b=4.z=4-2i.(2)由(1)可知z=4-2i,(z+ci)2=(4-2i+ci)2=4+(c-2)i2=16-(c-2)2+8(c-2)i,其對應的點在復平面的第一象限,解得2<c<6,即c的取值范圍為(2,6).21.已知動點P在復平面上對應的復

17、數(shù)為z=t+3+3i,其中t是使為純虛數(shù)的復數(shù),求點P的軌跡方程.【解析】設t=x1+y1i(x1,y1R),則=為純虛數(shù),得+=9.設z=x+yi(x,yR),則t=z-3-3i,x1+y1i=x+yi-3-3i,代入+=9,得(x-3)2+(y-3)2=9.選修1-2模塊測試評估卷一、選擇題1.下列兩變量中具有相關關系的是().A.球的體積與半徑B.勻速行駛車輛的行駛距離與時間C.正方體外接球的表面積與正方體的棱長D.日照時間與棉花的產(chǎn)量【解析】A、B、C項都是具有確定性的函數(shù)關系.本題只有D項才具有相關關系.【答案】D2.i為虛數(shù)單位,()2=().A.-1B.1C.-iD.i【解析】(

18、)2=-1.【答案】A3.某藥廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的工藝過程如下:從上圖可以看出藥品生產(chǎn)過程需要檢驗().A.1次B.2次C.3次D.4次【答案】C4.把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序,則從2021到2022的箭頭方向依次為().A.B.C.D.【答案】B5.設f(z)=,z1=3+4i,z2=-2-i,則f(z1-z2)等于().A.1-3iB.-2+11iC.-2+iD.5-5i【答案】D6.已知回歸直線斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為點(4,5),則回歸直線的方程為().A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23【解析】回歸直線必過點(

19、4,5),故其方程為y-5=1.23(x-4),即y=1.23x+0.08.【答案】C7.下列有關回歸的說法,正確的是().相關關系的兩個變量不一定是因果關系;散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關程度;回歸直線能代表線性相關的兩個變量之間的關系;任何一組數(shù)據(jù)都有回歸直線方程.A.B.C.D.【答案】B8.在一次對性別與吃零食是否有關的調(diào)查中,得到如下數(shù)據(jù):吃零食不吃零食合計男6713女8917合計141630根據(jù)此表,得到如下結(jié)論,其中正確的是().A.在此次調(diào)查中有90%以上的把握認為吃零食與性別有關B.在此次調(diào)查中有95%的把握認為吃零食與性別有關C.在此次調(diào)查中有99%的把握認為吃零食與性別有關

20、D.在此次調(diào)查中沒有充分的數(shù)據(jù)證明吃零食與性別有關【解析】2=0.00242<2.706,選D.【答案】D9.在所給的四個選項中,選擇最合適的一個填入問號處,使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,選項為().A.B.C.D.【解析】本題考查學生對圖形類問題歸納的能力.在第一行中,第一個圖疊加第二個圖為第三個圖,第二行也滿足此規(guī)律,所以第三行也應滿足此規(guī)律.又第三行的前兩個圖疊加為A項,故選A.【答案】A10.對任意復數(shù)1,2,定義1*2=1,其中是2的共軛復數(shù).對任意復數(shù)z1,z2,z3有如下四個命題:(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z

21、3);(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);z1*z2=z2*z1.則真命題的個數(shù)是().A.1B.2C.3D.4【解析】由題意得(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=z1*z3+z2*z3,故正確;z1*(z2+z3)=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故正確;(z1*z2)*z3=(z1)=z1,而z1*(z2*z3)=z1z3,故不正確;z1*z2=z1,而z2*z1=z2,故不正確.故選B.【答案】B二、填空題11.已知i是虛數(shù)單位,實數(shù)x,y滿足(x+i)i+y=1+i,則x-y的值為. 【解析】(x+i)i+y=1+i,y-1+xi

22、=1+i(x, yR),y=2,x=1,x-y=1-2=-1.【答案】-112.已知復數(shù)z1=1-i,z1·z2=1+i,則z2=. 【解析】由z1·z2=1+i,知z2=i.【答案】i13.觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律,第n個等式為. 【答案】n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)214.已知命題“若數(shù)列an是等比數(shù)列,且an>0,則數(shù)列bn=(nN*)也是等比數(shù)列”,類比這一性質(zhì),你能得到關于等差數(shù)列的一個性質(zhì)是. 【解析】設等差數(shù)列an的公差為d,

23、則bn=a1+(n-1),所以數(shù)列bn是以an為首項,為公差的等差數(shù)列.【答案】若數(shù)列an是等差數(shù)列,則數(shù)列bn=也是等差數(shù)列15.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入n的值為9,則輸出S的值為. 【解析】根據(jù)程序框圖閱讀判斷并求解,注意程序終止的條件.由題意,程序運行如下:k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;S=147+27+7=282,k=

24、8<9;S=282+28+8=546,k=99;S=546+29+9=1067,k=10>9,輸出S=1067,程序結(jié)束.【答案】1067三、解答題16.為了研究性格與血型的關系,抽取80名被試驗者,他們的血型與性格匯總?cè)缦?試判斷性格與血型是否相關.血型性格O型或A型B型或AB型總計型181634型172946總計354580【解析】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到:2=2.030<2.706.故沒有充分的證據(jù)顯示“血型與性格有關系”.17.對于直線l:y=kx+1,是否存在這樣的實數(shù)k,使得l與雙曲線C:3x2-y2=1的交點A、B關于直線y=ax(a為常數(shù))對稱?若存在,求出k的值

25、;若不存在,請說明理由.【解析】假設存在實數(shù)k,使得A、B關于直線y=ax對稱,設A(x1,y1)、B(x2,y2).則由(3-k2)x2-2kx-2=0,由有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2,由知x1+x2=,代入整理得:ak=3與矛盾.故不存在實數(shù)k,使得A、B關于直線y=ax對稱.18.已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0,求點P(x0,y0)到直線l的距離d,寫出其算法并畫出算法框圖.【解析】算法如下:第一步,輸入P點的坐標(x0,y0)及直線方程的系數(shù)A,B,C;第二步,計算z1=Ax0+By0+C;第三步,計算z2=A2+B2;第四步,計算d=;第五步,輸出d.

26、程序框圖如圖所示.19.已知w=-+i.(1)求w2及w2+w+1的值;(2)若等比數(shù)列an的首項為a1=1,公比q=w,求數(shù)列an的前n項和Sn.【解析】(1)w2=(-+i)2=-i-=-i.w2+w+1=(-i)+(-+i)+1=0.(2)由于w2+w+1=0,wk+2+wk+1+wk=wk(w2+w+1)=0,kZ.Sn=1+w+w2+wn-1=Sn=20.某地區(qū)2022年至2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2022202220222022202220222022年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸方程;(2)利用(1)中的回歸方程,分析2022年至202