高等數(shù)學(xué) 格林公式及其應(yīng)用（課堂PPT）

1、 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用110.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)格林格林(Green)(Green)公式公式平面上曲線積分與路徑無關(guān)的平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件條件全微分方程全微分方程格林格林 Green.G. (17931841) 英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家第第1010章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用2DD1. 區(qū)域連通性的分類區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域,復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域一、格林公式一、格林公式否則稱為否則稱為則稱則稱D為

2、平面為平面復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域. .成的部分都屬于成的部分都屬于D,如果如果D內(nèi)任一閉曲線所圍內(nèi)任一閉曲線所圍單連通區(qū)域單連通區(qū)域, , 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用3定理定理10.4(10.4(格林公式格林公式) ) 設(shè)設(shè)閉區(qū)域閉區(qū)域D由分段光滑由分段光滑的曲線的曲線L圍成圍成, LDyQxPyxyPxQdddd)(函數(shù)函數(shù)P(x, y)及及Q(x, y)在在D上具有上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有2. 格林公式格林公式其中其中L是是 D的取的取正向正向的邊界曲線的邊界曲線.一階一階 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用4DLl當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走

3、時(shí),(1) P、Q在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo); (2) 曲線曲線L是封閉的是封閉的, 并且取正向并且取正向. .注注規(guī)定規(guī)定 邊界曲線邊界曲線L的的正向正向. .區(qū)域區(qū)域D總在他的總在他的左邊左邊. .DL D:記為記為 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用5),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD (1)先對(duì)簡單區(qū)域證明先對(duì)簡單區(qū)域證明:證明證明 LDyQxPyxyPxQdddd)(若區(qū)域若區(qū)域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐標(biāo)軸的直線即平行于坐標(biāo)軸的直線

4、和和L至多交于兩點(diǎn)至多交于兩點(diǎn).xyOabdcD)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用6D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),(2 CBEyyxQd),(同理可證同理可證 LDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 LDyQxPyxyPxQdddd)( yyxQd),( EACyyxQd),( dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 CBECAE yyxQd),( LDyQxPyxyPxQdddd)( LyyxQd),(xyOdcABCE化為二次積分化為二次積分化為

5、第二類曲線積化為第二類曲線積分分 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用7DL(2) 再對(duì)一般區(qū)域證明再對(duì)一般區(qū)域證明: :1L1D2D3D DyxyPxQdd)(若區(qū)域若區(qū)域D由按段光滑由按段光滑(如圖如圖)將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是型型 X又是又是型型 Y的區(qū)域的區(qū)域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D的閉曲線圍成的閉曲線圍成.xyO積分區(qū)域的可加性積分區(qū)域的可加性 LDyQxPyxyPxQdddd)( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用8 LyQxPdd DyxyPxQdd)( 321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)( yxyPxQ

6、dd)( yQxPdd yQxPdd LDyQxPyxyPxQdddd)( yxyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D(L1, L2, L3對(duì)對(duì)D來說為正方向來說為正方向) 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用91L2L3L(3) 對(duì)復(fù)連通區(qū)域證明對(duì)復(fù)連通區(qū)域證明: : DyxyPxQdd)(若區(qū)域不止由一條閉曲線若區(qū)域不止由一條閉曲線 LyQxPdd 所圍成所圍成. .)dd(yQxP 2L( 3L 1L)D格林公式格林公式且邊界的方向?qū)^(qū)且邊界的方向?qū)^(qū)的曲線積分的曲線積分,右端應(yīng)包括沿區(qū)域右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都

7、是正向來說都是正向. LDyQxPyxyPxQdddd)(對(duì)復(fù)連通區(qū)域?qū)?fù)連通區(qū)域D, (L1, L2, L3對(duì)對(duì)D來說為正方向來說為正方向) 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用101L2L3L(3) 對(duì)復(fù)連通區(qū)域證明對(duì)復(fù)連通區(qū)域證明: :由由(2)知知 DyxyPxQdd)( 3L)0, 0( CEECABBA若區(qū)域不止由一條閉曲線若區(qū)域不止由一條閉曲線添加直線段添加直線段,AB.CE則則D的邊界曲線由的邊界曲線由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及構(gòu)成構(gòu)成. LyQxPdd 所圍成所圍成. . AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQ

8、xP 2L( 3L 1L)GFDCEAB(L1, L2, L3對(duì)對(duì)D來說為正方向來說為正方向)對(duì)復(fù)連通區(qū)域?qū)?fù)連通區(qū)域D, 格林公式格林公式且邊界的方向?qū)^(qū)且邊界的方向?qū)^(qū)的曲線積分的曲線積分,右端應(yīng)包括沿區(qū)域右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都是正向來說都是正向. 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用11 便于記憶形式便于記憶形式:.dddd LDyQxPyxQPyx格林公式的實(shí)質(zhì)格林公式的實(shí)質(zhì)之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與溝通了沿閉曲線的積分與二重積分二重積分 LDyQxPyxyPxQdddd)( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用12 Lxyyx

9、dd(1) 計(jì)算平面的面積計(jì)算平面的面積3. 簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式.dd21 LxyyxAy x得得 Dyxdd2閉區(qū)域閉區(qū)域D的的面積面積 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用13Oxy 例例 求橢圓求橢圓解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 .ab D所圍成的面積所圍成的面積. LxyyxAdd2120,sin,cos ttbytax 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用14對(duì)對(duì)平面閉曲線平面閉曲線上的對(duì)坐標(biāo)曲線積分上的對(duì)坐標(biāo)曲線積分,yPxQ 當(dāng)當(dāng)比較簡單時(shí)比較簡單時(shí), 常?？紤]通過常?？紤]通過格林格

10、林公式公式化為化為二重積分二重積分來計(jì)算來計(jì)算. . DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用15D計(jì)算計(jì)算.d)(d)3( LxyxyyxL是圓周是圓周: :如把如把圓周寫成參數(shù)方程圓周寫成參數(shù)方程: :,cos31 x再將線積分化為定積分計(jì)算再將線積分化為定積分計(jì)算,用用格林公式格林公式易求易求.分析分析 sin34 y)20( 則過程較麻煩則過程較麻煩.9)4()1(22 yx解解, )(yxP 設(shè)設(shè)yxQ 3由格林公式由格林公式3 xQ, 1 yP Dyxdd2.18 Lxyxyyxd)(d)3(Oxy(2) 簡化曲線積分的計(jì)算簡化曲線積分的計(jì)算

11、例例 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用162.1 LyyyyxxyxI,d)2e(de3計(jì)算計(jì)算其中其中L為圓周為圓周xyx222 解解,eyP yxxyQy2e3 ,eyyP yyxQe3 3yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 DLyxyPxQyQxPdd)(dd I對(duì)稱性對(duì)稱性的的正向正向.Oxy yxyDdd3. 0D 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用17則曲線積分則曲線積分為取正向的圓周為取正向的圓周設(shè)設(shè), 922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(218 解解,22yxyP 設(shè)設(shè)xxQ42 由格林公式由格林公式

12、42 xxQ, 22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242( Dyxdd2.18 DLyxyPxQyQxPdd)(dd 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用18例例 計(jì)算計(jì)算 ,d)cose (d)sine (ymyxmyyxAOx .22axyx 分析分析但由但由myQx cose xQ yP可知可知 yPxQ非常簡單非常簡單.m,coseyxmyx cose,sinemyyPx 其中其中AO是從點(diǎn)是從點(diǎn)A(a,0)到到點(diǎn)點(diǎn)O(0,0)的上半圓周的上半圓周此積分路徑此積分路徑AO不是閉曲線不是閉曲線! !Oxy )0 ,(aA 10.3 格林公式及其應(yīng)

13、用格林公式及其應(yīng)用19Oxy為應(yīng)用為應(yīng)用格林公式格林公式再補(bǔ)充一段曲線再補(bǔ)充一段曲線,因在補(bǔ)充的曲線上還要算曲線積分因在補(bǔ)充的曲線上還要算曲線積分,補(bǔ)充的曲線要簡單補(bǔ)充的曲線要簡單,使之構(gòu)成使之構(gòu)成閉曲線閉曲線.所以所以因而這里補(bǔ)加直線段因而這里補(bǔ)加直線段直線段直線段.通常是補(bǔ)充與坐標(biāo)軸平行的通常是補(bǔ)充與坐標(biāo)軸平行的 L不閉合不閉合 + 邊邊L, 使使L+ L閉合閉合, 再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyxmyyxOAAOxd)cose (d)sine ( 281am 解解.OAaxy 0, 0OA的方程為的方程為 ax0d0故故0所以所以, I.812am

14、0812am AO OA OA000myPxQ ymyxmyyxOAxd)cose (d)sine ( )0 ,(aA 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用20 Lxyyxd2d則曲線積分則曲線積分222 yx設(shè)設(shè)L為正向圓周為正向圓周在第一象限中的部分在第一象限中的部分,的值為的值為( ).23解解 Lxyyxd2d 2121LLLLL00dd3 Dyx3 yPxQ4)2(32 .23 LOxy222L1L DLyxyPxQyQxPdd)(ddD 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用210(3) 二重積分化為線積分計(jì)算二重積分化為線積分計(jì)算則則 yPxQ解解 令令, 0 P2ey

15、xQ 例例為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的 Dyyx,dde2計(jì)算計(jì)算是是其中其中D)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO以以 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 Dyyxdde2 BOABOAyyxde2 OAyyxde2 AByyxde2 BOyyxde22ey ).e1(211 10de2xxx0 0 0Oxy11ABD三角形閉區(qū)域三角形閉區(qū)域. 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用22解解記記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)樗鶉傻拈]區(qū)域?yàn)镈,其中其中L為一條無重點(diǎn)為一條無重點(diǎn),分段光滑且分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)槔?Lyxx

16、yyx,dd22計(jì)算計(jì)算令令,22yxyP 22yxxQ ,022時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) yx有有 xQyP 22222)(yxxy 逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向. 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用23L Lyxxyyx22dd即即L為為不包圍原點(diǎn)不包圍原點(diǎn)的任一閉曲線的任一閉曲線.即即L為為包圍原點(diǎn)包圍原點(diǎn)在內(nèi)的任一在內(nèi)的任一閉曲線閉曲線.由格林公式由格林公式,)0 , 0()1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)D ,)0 , 0()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)D 應(yīng)用由應(yīng)用由格林公式格林公式, 得得 LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ 作位于作位于D內(nèi)圓周內(nèi)圓周222:ryxl DLxyOD1DrlxyOP、Q在閉區(qū)域在閉區(qū)

17、域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo);曲線曲線L是封閉的是封閉的, 并且取正向并且取正向. .記記D1由由L和和l所圍成所圍成, Lyxxyyx,dd22計(jì)算計(jì)算 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用24 Lyxxyyx22dd 2022222dsincos rrr Lyxxyyx22dd.2 yxyPxQdd 所以所以 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPxQ lyxxyyx22dd222:ryxl 其中其中l(wèi) 的方向取的方向取逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向L1DrlxyO注意格林公式的條件注意格林公式的條件對(duì)復(fù)連通區(qū)域?qū)?fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿格林公式右端

18、應(yīng)包括沿且邊界的方向且邊界的方向區(qū)域區(qū)域D的的全部邊界全部邊界的曲線積分的曲線積分,對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域D來說都是正向來說都是正向. 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用25解解記記L與與l 圍成的閉區(qū)域?yàn)閲傻拈]區(qū)域?yàn)镈1.設(shè)設(shè)L為圓周為圓周在在L內(nèi)部作有向橢圓內(nèi)部作有向橢圓l:順時(shí)針方向順時(shí)針方向.例例 LyxyxxyI.4dd22求求,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxxQyP .422的正向的正向 yx4:22 yxLlxyO,4222 yxl的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)?D I Lyxyxxy224ddl lyxyxxy224dd 而而 lLyxyxxy224dd格林公式格林公式y(tǒng)xyPxQDdd)(1 00

19、lyxyxxy224dd cos2 x sin y 202)sin(dcos2)cos2(dsin 法一法一 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用26 lyxyxxy224dd 202)sin(dcos2)cos2(dsin dcos2sin22022222 20d21 221 I所以所以0 . 法二法二 lyxyxxy224dd lyxxydd12 yxDdd)11(122 2)2(122 4:22 yxLlxyO1DD2是由是由l 所圍區(qū)域所圍區(qū)域2224 yx2224: yxl格林公式格林公式2D lyxxydd2 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用27Oxy 0sinde

20、yyD 研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)(10分分)已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx證證左邊左邊 =L 0sindeyy,)dee (0sinsin xxx右邊右邊 = 0sindexx,)dee (0sinsin xxx法一法一 0sindexxxxxx(1) 2eesinsin xx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyxdedededesin

21、sinsinsin 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用28.2dede)2(2sinsin Lxyxyyx 0sinsin)dee (xxx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx證證(2) 由于由于, 2eesinsin xx故由故由(1)得得 Lxyxyyxdedesinsin .22研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)(10分分) 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用29證證 法二法二 (1) 根據(jù)根據(jù)格林公式格林公式, 得得左邊左邊 =右邊右邊

22、 =,d)ee (sinsin xDy ,d)ee (sinsin xDy 因?yàn)橐驗(yàn)镈關(guān)于關(guān)于xy 對(duì)稱對(duì)稱, 所以所以 d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDy OxyDL LDyQxPyxyPxQdddd)(研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)(10分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyyx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx LxyLxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin 10.3 格林公式及其應(yīng)用格

23、林公式及其應(yīng)用30證證 法二法二由由(1)知知 Lxyxyyxdedesinsin d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDx d2 D.22 Lxyxyyxdedesinsin d)ee (sinsinxDy d)ee (sinsinxDy Lxyxyyxdedesinsin+研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)(10分分).2dede)2(2sinsin Lxyxyyx已知平面區(qū)域已知平面區(qū)域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dededede)1(sinsinsinsin LxyLxyxyyxxyyx 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公

24、式及其應(yīng)用31G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件的條件AL1L21. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).則稱曲線積分則稱曲線積分 LyQxPdd在在G內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),xyO 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用322. .平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理10.510.5的各分量在區(qū)域的各分量在區(qū)域D上有上有一階一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則以下三個(gè)則以下三個(gè)(1)對(duì)對(duì)D中任意分段光滑的中任意分段

25、光滑的閉閉曲線曲線L, 總有總有; 0d),(d),( yyxQxyxPL(2)曲線積分曲線積分yyxQxyxPLd),(d),( 在在D內(nèi)與內(nèi)與(3)yyxQxyxPd),(d),( 在在D內(nèi)是某個(gè)二元內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的全微分函數(shù)的全微分, 即存在即存在u(x, y), 使得使得路徑無關(guān)路徑無關(guān);.d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu ),(),(),(yxQyxPyxF 設(shè)向量函數(shù)設(shè)向量函數(shù)命題命題等價(jià)等價(jià)： 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用33證證 定理中的三個(gè)條件互為定理中的三個(gè)條件互為充要條件充要條件. 證明方式證明方式:)2()1(0d),(d),( yyxQx

26、yxPL在在D內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).DABL1L2如圖如圖, 在在(1)的條件下的條件下yyxQxyxPLd),(d),( 0yyxQxyxPd),(d),( yyxQxyxPd),(d),( 1L 2LyyxQxyxPLd),(d),(2 于是于是,yyxQxyxPLd),(d),(1 .d),(d),(2yyxQxyxPL yyxQxyxPLd),(d),( )1()3()2()1( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用34:)3()2(由條件由條件(2)yyxQxyxPABd),(d),( yyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yx),(yxu只需證只需證xu

27、yu 由偏導(dǎo)定義由偏導(dǎo)定義lim xu),(),(yxuyxxu x 0 x ),(yxxuyyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yxx 在在D內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)yyxQxyxPLd),(d),( yyxQxyxPyxud),(d),(),(d 設(shè)設(shè)A(x0, y0), B(x, y)是是D內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn), 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用35),(yxx xyOD ),(yxxM yyxQxyxPd),(d),( ),(yxyyxQxyxPd),(d),( ),(yx),(yxPxu 于是于是, ),(yxxu),(yxu xyxPd),(xyxxP )

28、,( 積分中值定理積分中值定理0lim xxu),(yxxP ),(yxP P連續(xù)連續(xù)同理可證同理可證),(yxQyu 所以所以, ),(yxxuyyxQxyxPd),(d),( ),(00yx),(yxx .d),(d),(),(dyyxQxyxPyxu xx x),(00yx),(yxu),(yxB),(00yxA 0）（10 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用36:)1()3(不妨設(shè)封閉曲線不妨設(shè)封閉曲線其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為),(),(tyytxx ,10ttt ),(),(00tytx)(),(11tytx都對(duì)應(yīng)都對(duì)應(yīng)A點(diǎn)點(diǎn), 則則 ACBAyyxQxyxPd),(d),(

29、 10d)()(),()()(),(ttttytytxQtxtytxP易證易證)()(),()()(),()(),(tytytxQtxtytxPtytxu 是是原函數(shù)原函數(shù).)(),()(),(0011tytxutytxu )()(AuAu . 0 yyxQxyxPyxud),(d),(),(d . 0d),(d),( yyxQxyxPLACBA是光滑的是光滑的,化為定積分化為定積分 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用37推論推論10.1(10.1(曲線積分的基本定理曲線積分的基本定理) )積分積分 LrFd區(qū)域區(qū)域G內(nèi)的一個(gè)向量場內(nèi)的一個(gè)向量場,),(),(),(yxQyxPyxF

30、設(shè)向量函數(shù)設(shè)向量函數(shù)續(xù)續(xù),是平面是平面P(x, y)及及Q(x, y)都在都在G內(nèi)連內(nèi)連且存在一個(gè)數(shù)量函數(shù)且存在一個(gè)數(shù)量函數(shù)f (x, y),使得使得,fF 則曲線則曲線在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), 且且).()(dAfBfrFL 其中其中L為位于區(qū)域?yàn)槲挥趨^(qū)域G內(nèi)起點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為A、終點(diǎn)為、終點(diǎn)為B的任意分的任意分分段光滑曲線分段光滑曲線. 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用38定理定理10.610.6下兩個(gè)命題下兩個(gè)命題等價(jià)等價(jià)：(1)曲線積分曲線積分yyxQxyxPLd),(d),( 在在D內(nèi)與內(nèi)與xQyP (2)在在D內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立.路徑無關(guān)路徑無關(guān);的各分量在的各分量在單

31、連通單連通區(qū)域區(qū)域D上有上有一階一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),),(),(),(yxQyxPyxF 設(shè)向量函數(shù)設(shè)向量函數(shù)則以則以證證在在D內(nèi)任取一條內(nèi)任取一條閉閉曲線曲線C, 都有都有. 0dd yQxPC格林公式格林公式 CGyQxPyxyPxQdddd閉閉曲線曲線C所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域G完全位于完全位于D內(nèi)內(nèi),:)2()1(0 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用390dd yxyPxQGxQyP ,由于由于的連續(xù)性的連續(xù)性,在在D內(nèi)恒內(nèi)恒可以得到可以得到xQyP 成立成立.:)1()2(在在D內(nèi)任取一條內(nèi)任取一條閉閉曲線曲線C, 單連通的單連通的, 因?yàn)橐驗(yàn)镈是是閉閉曲線曲線C所包

32、圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域G完全位于完全位于D內(nèi)內(nèi),格林公式格林公式y(tǒng)xyPxQyQxPGCdddd 0 所以所以, 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān). 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用40例例 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分,d)(d)21(22yyxxyxyL 其中其中L是是)1 , 1()0 , 0(222到到上上從從yyx 的一段有向弧的一段有向弧.xyO)1 , 1(B解解,21),(2yxyyxP ,)(),(2yxyxQ yP)(2yx xQ 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).L上述定理的簡單應(yīng)用：上述定理的簡單應(yīng)用： (1) 簡化曲線積分簡化曲線積分 10.3 格林公式及

33、其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用41曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).xyO)1 , 1(BL所以所以可以用有向折線可以用有向折線代替有向弧代替有向弧L.如圖如圖. 于是于是,d)(d)21(22yyxxyxyL yyxxyxyd)(d)21(22 yyxxyxyd)(d)21(22 10dx0000 102d)1(yy.34 ,d)(d)21(22yyxxyxyL ).1 , 1()0 , 0(2:22到到上從上從yyxL ABOAL 10ABOA)0 , 1(A1 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用42xyO 解解.1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy

34、 d)1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422計(jì)計(jì)算算為為其其中中L.2sin)1 , 1()0 , 0(xyBO 的的曲曲線線弧弧到到點(diǎn)點(diǎn)由由點(diǎn)點(diǎn)xQyP )0 , 0()1 , 1()1 , 1(B )0 , 1( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用43考慮表達(dá)式考慮表達(dá)式如果存在一個(gè)函數(shù)如果存在一個(gè)函數(shù)yyxQxyxPd),(d),( ),(yxu使得使得 ),(dyxu則稱則稱yyxQxyxPd),(d),( 并將并將的的一一個(gè)個(gè)稱稱為為yyxQxyxPyxuud),(d),

35、(),( yyxQxyxPd),(d),( 全微分式全微分式, ,為一為一原函數(shù)原函數(shù). .yyxQxyxPd),(d),()2( 求求的原函數(shù)的原函數(shù).定理的簡單應(yīng)用：定理的簡單應(yīng)用： 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用44 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分別是上面的分別是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函數(shù)原函數(shù). .全微分式全微分式. . 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用45 下面說明一般怎樣下面說明一般怎樣 判斷全微分式判斷全微分式求原函數(shù)求原函數(shù)xQ

36、yP 由定理由定理,yyxQxyxPd),(d),( 是一個(gè)是一個(gè)全微分式全微分式,即即 ),(dyxuyyxQxyxPd),(d),( (1) 判斷全微分式判斷全微分式 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用46xQyP 若若 ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPxyxPxxd),(00 ),(0yxC ),(yxB yyxQyyd),(00 D(x0, y)yyxQyyd),(0 xyxPxxd),(0 或或則則Oxy),(00yxA (2) 求原函數(shù)求原函數(shù) ),(yxu ),(yxu ),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPACBADB 10.3

37、 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用47例例?d)2e(d)e (是是否否為為全全微微分分式式問問yyxxxyy 用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù)用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù).如是如是,解解 在全平面成立在全平面成立.exQyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. .e222yxxy 因而一個(gè)原函數(shù)是：因而一個(gè)原函數(shù)是：全平面為單連通域全平面為單連通域,yyxxxyxuyyxyd)2e(d )e (),(),()0 ,0( yyxyyd )2e(0 xxxd )e (00 xyO法一法一 )0 ,(x(x,y) 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用48這個(gè)原函數(shù)也可用下法這個(gè)原函數(shù)也可用下法“分

38、組分組”湊出湊出: 222edyxxy.e2),(22yxxyxuy yyxxxyyd)2e(d)e ( )dede (yxxyy )e(dyx )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用49因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)u滿足滿足Pxxuy e故故yy2)( 從而從而所以所以,.2e),(22Cyxxyxuy 問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxxxyyd)2e(d)e ( 用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù)用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù).如是如是, xxuyd)e (2e2xxy )(y 由此得由此得yxy2e y的待定函數(shù)的待定函數(shù)法三法三 )(eyxy y

39、uCyyyy 2d2)( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用50解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計(jì)算計(jì)算即即xyxy2)( 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用51xyO 10d0 x.21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx 2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 設(shè)曲線積分設(shè)曲線

40、積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計(jì)算計(jì)算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用52xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x .21 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0(

41、 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計(jì)算計(jì)算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用53),()( 在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xf內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,為為(a, b), 終點(diǎn)為終點(diǎn)為(c, d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 記記(1) 證明證明曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關(guān)無關(guān);(2) 當(dāng)當(dāng)ab = cd 時(shí)時(shí), 求求I 的值的值.證證)(112xyfyyyyP 因?yàn)橐驗(yàn)?1)(22 xyfyyxxxQ

42、)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面內(nèi)所以在上半平面內(nèi)曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關(guān)無關(guān).(1)例例其起點(diǎn)其起點(diǎn) 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用54.badc 解解(2)由于由于曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關(guān)無關(guān),yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點(diǎn)起點(diǎn)(a, b), 終點(diǎn)終點(diǎn)(c, d).),(dc 所以所以xbxfbbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbaccad)( bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbc

43、bcabd)(d)( (2) 當(dāng)當(dāng)ab = cd 時(shí)時(shí),求求I 的值的值.0tt法一法一xyO ),(ba),(bc 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用55解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內(nèi)的有向分段光滑曲線內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點(diǎn)起點(diǎn)(a, b), 終點(diǎn)終點(diǎn)(c, d).(2) 當(dāng)當(dāng)ab = cd 時(shí)時(shí),求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(yxyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyxyxL 設(shè)設(shè)F(x)為為f (x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 則則 yxyxfxxyyfLd)(d)( )

44、()(abFcdF.badcI 由此得由此得 Lyxd),(),(dcbayx, 0)d()(xyxyfL )dd( )(yxxyxyfL 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用56例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的逆運(yùn)有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的逆運(yùn)xyy (是可分離、是可分離、解解 將方程寫成將方程寫成因?yàn)樽蠖耸侨⒎质揭驗(yàn)樽蠖耸侨⒎质剿苑匠套兂伤苑匠套兂傻猛ń獾猛ń?Cxy 三、全微分方程三、全微分方程又是齊次方程又是齊次方程 )(d xy算解出算解出. xyyxdd0dd xyyx0)(d xy 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用571. 定義定

45、義0d),(d),( yyxQxyxP則則若有全微分形式若有全微分形式如如0dd yyxx)(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程yyxxddd 是全微分方程是全微分方程.xQyP 所以所以0dd yyxx),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 全微分方程全微分方程 10.3 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用582. .解法解法0d),(d),( yyxQxyxP(1) 應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān);xQyP 通解為通解為yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 ,d),(d),(000 xyxPyyxQxxyy Cyxu ),(2) 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法;全微分方程全微分方程(3) 用不定積分的用不定積