高中數(shù)學(xué)專題講座數(shù)列

1、高中數(shù)學(xué)專題講座 數(shù)列數(shù)列，一直是安徽省高考中的重點內(nèi)容之一。自實行自主命題以來， 我省數(shù)學(xué)文理科試卷均考“一小一大”兩個題目。 “一小”即一道選擇題或填空題，“一大”即一道解答題。分值為18分左右。在命題思想上，體現(xiàn)“能力立意”的創(chuàng)新精神，在命題形式上，體現(xiàn)“穩(wěn) 中求變，穩(wěn)中求進”。一.考點一：等差數(shù)列、等比數(shù)列1.重點知識歸納等差數(shù)列(AP.)等比數(shù)列(GP.)定義an 1 an d (d 為常數(shù)，n N )an 1 / an q ( q 為常數(shù)，q 0 , an 0 ,n N )通項公式ana1 (n 1)dn 1anaq中項公式a,A,b成AP. A a b A2A a bc G b

2、a,G,b成 GP.a G_ 2_G ab (ab 0)an是 AP.2an an 1 an 1(n 2, n N )2bn是 GP.bnbnbn 1(bn0, n 2, n N )前n項和Sn"a、an)na1 1n(n 1)d當(dāng) q 1 時，sn " qn)物 anq1 q1 q當(dāng) q 1 時，Sn na1性質(zhì)(1)單調(diào)性：當(dāng)d 0時，an遞增，當(dāng)d 0時，an為常數(shù)歹U,當(dāng)d 0時，%遞減 an am (n m) d(3)若 m n st (m,n,s,t N )則 am an as at(1 )單調(diào)性：當(dāng)a1 0,q 1或a1 0,0 q 1 時，an遞增；當(dāng)a1

3、0,q 1 或 a1 0,0 q 1 時，an遞減；當(dāng)q 1 ,烝為常數(shù)列；當(dāng)q 0,an 為擺動數(shù)列(2) an amqn m(3)若 m n s t (m,n,s,t N )則 am an as at5)P若an是等差數(shù)列ak,ak m, ak 2m,也是等差數(shù)列（k, m N）若an , bn是 AP ,則qbn也是AP。（p, q為常數(shù)）（6）若Sn是等差數(shù)列an的前n項（4 ）若an是等比數(shù)列ak ,ak m, ak 2m,也是等比數(shù)列，一1(k,m N )； an , , an| an |也是等比數(shù)列(5)若2門 , bn均為是 GP,貝Umanbn與man也是GP。（ m 0為常

4、數(shù)） bn（6）若Sn是等比數(shù)列an的前n項和，且Sn 0,則 Sm,S2m S成等比數(shù)列。和，則 Sm,S2m Sm, S3m $2m,，也成等差數(shù)列。2.思想方法總結(jié)anpn q (p, q（1）函數(shù)思想。等差數(shù)列的通項公式形如：等差數(shù)列的通項公式形如:2為常數(shù)），當(dāng)p 0時，an是n的一次函數(shù)。等差數(shù)列的前n項和公式形如：Sn An Bn,（A、B為常數(shù)），當(dāng)A 0時，Sn是n的二次函數(shù)。等比數(shù)列的前 n項和與指數(shù)函數(shù)有關(guān)。在解決有關(guān)最值或取值范圍等問題時，可考慮構(gòu)造函數(shù)。（2）基本量與方程思想。等差數(shù)列的基本量是首項與公差；等比數(shù)列的基本量是首項與公比。在通項公式與求和公式中，涉及五個

5、量a1、an、Sn、n、d （或q）,知道其中三個，可求剩余二個，這就是“知三求二”的方程思想。（3）整體思維。當(dāng)已知條件較少時，求解問題可使用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，或者將a1 與d （或a1與q）的關(guān)系視為一個整體代入求解。（4）轉(zhuǎn)化與化歸思想。非等差數(shù)列與等比數(shù)列問題可轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列。注意：（1）證明一個數(shù)列是等差（比）數(shù)列，只能用定義或廣義的中項公式。（2）使用等比數(shù)列前n項求和公式時，要注意 q 1, q 1兩種情形。3.典型例題展示例1（10全國）如果等差數(shù)列an中，a3a4a512,那么aa?.a7（）A. 14B. 21C. 28D. 35例2例3例4A. 4B. 5(

6、14皖)數(shù)列an是等差數(shù)列,(12遼寧)已知等比數(shù)列anC.若 a11 , a3 3 一2為遞增數(shù)列，且a5D.a5 5構(gòu)成公比為aio, 2(anan 2 )q的等比數(shù)歹U,5an i,則數(shù)列(12皖)公比為2等比數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且a3ali 16JUa5()an 1的通項公式an例5(13新課標(biāo)全國2)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S0,S1525,則nSn的最小值為例6設(shè)數(shù)列an是首項為的等比數(shù)-是等差數(shù)列，則12a a22 a2a32 a20121)的值為 a2013)A.2013B.2014C .3018D.3019二考點二.數(shù)列的通項與求和1.求數(shù)列通項的方法(1)已知

7、數(shù)列的前n項，求數(shù)列的一個通項公式，用觀察歸納法。如求數(shù)列11,102,1003,10004,，的一個通項公式；求數(shù)列 8,88,888,8888,，的一個通項公(2)對等差數(shù)列，等比數(shù)列，用公式求通項公式。(3)已知遞推公式求通項公式，可采取化為等差數(shù)列，等比數(shù)列的方法求。主要掌握以下幾種模式。遞推公式形如an 1 an f (n)的數(shù)列an,用累加法求an ;遞推公式形如an 1an f (n)的數(shù)列烝,用累乘法求an ；遞推公式形如an 1pan q(p 1, p 0,q 0)的數(shù)列an,可將遞推公式化為an 1p(an -q-), (an -q-)是等比數(shù)列。1 p1 p1例如：已知數(shù)

8、列an中，a1 - , an 4an 1 1(n 2),則 an 對形如an 1AanBan A(A0,B 10)的遞推公式，可化為1an-,是等差數(shù)Aan列。對形如an 1Aa 一一 .-(A 0,B 0,C A),可化為Ban C1 C B an ,再構(gòu)造形如an 1A Aan 1A an，一一 1)的等比數(shù)列一 。an2.數(shù)列求和方法公式法：對等差數(shù)列或等比數(shù)列。倒序相加：當(dāng)數(shù)列an滿足ak an 一4使用。分組求和：通項公式形如% bj ,數(shù)列an、bn是等差或等比數(shù)列。錯位相減法：通項公式形如an bn,數(shù)列an、 bn中一個是等差數(shù)列，一個是等比數(shù)列裂項相消法：將通項公式裂成兩項(

9、或幾項)，求和時能相互抵消。如：an-(1 n(n k) k n；ann1k .1nk亦)；an11(- (2n 1)(2n 1)2 2n! (n1)! n!n并項求和：通項公式形如an ( 1)f(n)型。例如:Sn 1002 992 982 97222.21(100 99)(98 97)(21) 5050公式是an =3 .已知an與Sn的關(guān)系，求an的方法。S n 1(2)已知an與依據(jù)：an。包括三種類型：(1)已知Sn f (n),求an ；n S S 1n 2nnSn的關(guān)系，求an； (3)已知Sn的遞推式，求an。4 .歸納、 猜想、證明的方法求通項與和。(理科)5 .典例展示(

10、A)例1 (08江西)在數(shù)列an中，a1 2,an1 an lnB. 2 n 1 ln n C. 2nln nD.1 n In n例2 (1) (13全國新課標(biāo))若數(shù)列an的前n項和為2Sn= 3 an1-,則數(shù)列 an的通項 33Sn (n 1),則 a6()(2)(11四川)數(shù)列%的前n項和為Sn,若4 1, an 14455.A. 3 4B. 3 41C. 4 D. 41例3 (12全國)已知數(shù)列卬中，a, 1,前n項和& -*。(1)求 a2, a3;(2)求an的通項公式。例 4 (14 加又)數(shù)列 an 滿足 a1 1,nan 1 (n 1)an n(n 1),n N .(

11、1)證明：數(shù)列 an是等差數(shù)列； n(2)設(shè)bn 3n廊,求數(shù)列bn的前n項和Sn.bn例5 (14浙江理)已知數(shù)列an和bn滿足a1a2an22n N .若an為等比數(shù)列，且a1 2, b3 6 b2.(1)求 an 與 bn；一一 11(2)設(shè)cn n N ，記數(shù)列cn的刖n項和為Sn.求Sn ； anbn2 2a例6已知數(shù)列an的首項a1 一，且an1 -(n N )3 an 1(1)求 an ；(2)求數(shù)列 - 的前n項和Sn. an三 考點三、數(shù)列的綜合應(yīng)用1 .數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。11年安徽高考理科第18題(文21題)，12年安徽高考文 科第21題等。例1 (14陜西) ABC的

12、內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, C.(1)若 a, b, c成等差數(shù)列，證明： sin A sin C 2sin A C ；(2)若a, b, c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.【解析】 證明：(1)Qa,b, c成等差數(shù)列a c 2b由正弦定理得sin A sin C 2sin BQsin B sin (A C) sin(A C)sin A sin C 2sin A C(2) Q a, b, c成等比數(shù)列b2 2ac22、2由余弦定理得cos B a一c 2ac22a c ac2ac2ac ac2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a c時等號成立）rr _1即 cosB 一21所以cosB的最小值為

13、122.數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)。如 13年安徽文科高考第19題，理科第20題。例2 （14四川）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點（an,bn）在函數(shù)f（x） 2x的圖象上（1）若現(xiàn) 2,點（%，4）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列%的前n項和S;1若a 1,函數(shù)f（x）的圖象在點（a2,b2）處的切線在x軸上的截距為2 ，求ln 2數(shù)列電的前n項和Tn。 bn【解析】（1）點（an,bn）在函數(shù)f（x） 2x的圖象上，所以bna2 n,又等差數(shù)列%的公差為d所以b1 1 bn2an 12an2an 1 a n2d因為點（,4）在函數(shù)f（x）的圖象上，所以4b72db8 4 d 2b7又 a12,所以 Sn

14、 na1 n(n-1d2n n2 n n2 3n2(2)由 f(x)2xf (x) 2xln2函數(shù)f(x)的圖象在點 信2力2)處的切線方程為y b2 (2a2ln2)(x a2) 111所以切線在x軸上的截距為a2 ,，從而a2 2 ,，故a22ln 2ln 2 In 2從而ani2n寶學(xué)123n2 22232n111122223241T123L n2 n2223242n 11 n ,1 n ,- 1 - 12n 2n 12n2n 1n 22n 1故Tn23.數(shù)列與不等式、函數(shù)。如安徽高考12年理科21題,14年理科21題。例3 (13年廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知d 2Sn1 2

15、a1 1, an 1n nn3(i )求a2的值；(n )求數(shù)列an的通項公式;、一，1117(m)證明：對一切正整數(shù)n ,有''L 7aa2an4【解析】(I )依題意，2s1,2 ca2 1 一,又 §a1331,所以a24;1322(n)當(dāng) n 2 時，2Sn nan 1 - n n - n 33-/1,32Sn 1 n 1 ann 13兩式相減得2an nan 1n 1 an3n23n 12n 1整理得n 1 an nan 1 n n 1 ,即n 1an 1,又也電1n 21故數(shù)列an是首項為 曳1，公差為1的等差數(shù)列 n1所以電 1 n 11n(出)當(dāng)n 1

16、時，1 1 al一.2n ,所以ann .7.4112 時，,a1a2, c ,11當(dāng) n 3 時，一2- ann111,此時n 1 naia213214211111L42334 一，1綜上，對一切正整數(shù)n,有，an4.數(shù)列與解析幾何。如10年安徽高考文科 21題。例4若Sn和Tn分別表示數(shù)列an及bn前n項之和，對任意正整數(shù)n, an=2(n+1),Tn- 3Sn=4n.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線ln的斜率為bn,且與曲線y=X2有且僅有一個交點，與 y軸1父于點 Dn,記 dn=一|Dn+1Dn| (2n+7),求 dn；3【解析】(1)an=2(n+1), . an是等差數(shù)列，a1= 4, Sn= "曳 = n23n,Tn=3Sn+4n= 3n25n,當(dāng) n=1 時，b1=T1 = 8;當(dāng) n>2 時，bn=Tn-Tn-1= - 3n2- 5n- 1 3(n*1) 5(n1) =6n 2,而 b1 符合此式，故 bn= - 6n 2 (n N ).(2)設(shè)ln的方程為2y xy=bnx+m,由y bnx消去y得：x2 bnxm=0, 二直線ln與曲線 m只有一個交點，A一 2b2b2=0,即 bn +4 m =0, m= 二，貝U Dn 0, 一441dn=- |Dn+1Dn| 31 (2n+7)=3b214(2n+7