高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見(jiàn)題型65690

1、16平面向量一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終uuruuu點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：Ab .幾何表示法 Ab , a ；坐標(biāo)表示法a xi yj （x, y）.向uuu量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作| AB |即向量的大小，記作I a I .向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行.零向量a=0 rrI a | =0由于0的方向是任意的，且規(guī)定 0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件.（注意與0的區(qū)

2、別）單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.向量a0為單位向量I a0 1 = 1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.任意一組平行向量都可以移到同一直線上.方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a / b .由于向量可以進(jìn)行任意的平移 （即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為 a b.大小相等，方向相同（x1,y1） （x2,y2）x1x2必y22向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法uuu r uuir r r uuu uuir uuu 設(shè) AB a, BC b,則 a + b=AB

3、 BC = AC（1） 0 a a 0 a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律;向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn) 重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的 有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則.向 量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：uuruuuruuur uuiruuuuuuABBCC

4、DL PQQRAR，但這時(shí)必須“首尾相連”.3向量的減法相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作 a,零向量的相反向量仍是零向量 *關(guān)于相反向量有：(i)( a)=a； (ii) a+( a)=(a)+a = 0;(iii) 若a、b是互為相反向量，則 a= b,b= a, a + b =0,向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法 ,作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作入 a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(I) a a ;

5、(n)當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng) 0時(shí)，a 0,方向是任意的.數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b = a6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1, 2使：a 1己2e2,其中不共線的向量 3,62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意：(1)向量的加法與減法是互逆運(yùn)算 .(2)相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件.(3)向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合) ，

6、而向量平行則包括共線(重合)的情況(4)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)二.平面向量的坐標(biāo)表不1 .平面向量的坐標(biāo)表下:一 r r在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j作為基底，由平面向r ，、rrr ，一 r 一量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表不成axiyj ,由于a與數(shù)對(duì)(x,y)是對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a =(x,y),其中x叫作自在x軸上的坐標(biāo)，y 叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)

7、，只與其相對(duì)位 置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:xix2,必y2X, y24 rrrr(1)右 ax1, y1,bx2,y2，則 abuur(2)若 A xi, yi ,B x2, y2 ,則 ABx2,r 一若a =(x,y),則rr若 ax1，yi ,b(5)若 ar”,丫1 ,bra =( x, y)r rx2,y2 ,貝U a/bnt r rx2,y2 ，則 a bx2y1 y2 0xy2x2y1x x2y y23向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積)及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運(yùn)算 回幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向1 1平行四邊形法則r：、abba量2.三角形法則a b (

8、x x2,y 必)的(a b) c a (b c)加uuuuuuruur法AB BC AC向三角形法則r r量a b (x 泡 v ya b a ( b)uuu uurr的AB BA減uur uuiruur法OB OA AB向a個(gè)向量，a ( x, y)(a) ( )a量滿足：()a a a的>0時(shí)，a與a同乘向；(a b) a b法<0時(shí)，a與a異向；a / b a b=0 時(shí)，a = 0 .向rj量a?b是一個(gè)數(shù)a?b x& vy2a?b b ?a的數(shù)a 0或b 0,(a)?b a?( b) (a?b)量積a?b=0(a b)?c a?c b?ca 0且b 0時(shí)，2.2

9、.122a | a| , |a| vx ya?b |a|b|cos a,b|a?b| |a|b|.平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積:rr已知兩個(gè)非零向量 a與b ,它們的夾角為，則 a b = a b cos 叫做 a 與 b 的r r數(shù)量積（或內(nèi)積）,規(guī)定0 a 0 nrr rr r2向量的投影：I b I cos narbCR,稱為向量b在方向上的投影 投影的絕對(duì)值 |a|稱為射影rr3.數(shù)量積的幾何意乂：a b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：a a a24I2.5乘法公式成立：ra r ara2ra2ra2ra6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:r r r r交換律

10、成立：a b b a對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:分配律成立:r r rcab，、一 一 ，、 r r r r r r 特別注意：(1)結(jié)合律不成立：a b c a b c；一r r(2)消去律不成立a br rr r r r(3) a b =0 不能彳至1 a = 0或 b=0.7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算:rrir ,r已知兩個(gè)向重 a (x1,y1),b (x2, y2),則 a b = xjx2 y1y2,uuu rOB = b ,則/ AOB=r r uuu r8向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量a與b ,作OA = a ,r , I 一 一(0°180°)叫做向量a與b的夾角.

11、rrr ra?bX1X2 y.cos =cos a,b-rr = tjal?|b| Jx： y： yX22 y當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，9 =0。，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)° =180。，同時(shí)0 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作a,b.10.兩個(gè)非零向量垂直的充要條件a X b a - b = O x1x2 y1y20,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題型1.基本概念判斷正誤：(1)共線向量就是在同一條直線上的向量.(2)若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)(3)與已知向量共線的單位向量是唯一的uur uur(4)四邊形A

12、BC皿平行四邊形的條件是 AB CD.uuu uur(5)若AB CD ,則A、B、C D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.(6)因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量.r r r rr r(7)若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.r r r r(8)若 ma mb ,則 a b.r r(9)若 ma na ,貝U m n.(10)若a與b不共線，則a與b都不是零向量r r r r r r(11)若 a b |a| |b|,則 a/b.r r r r rr(12)若 |a b| |a b| ,則 a b.題型2.向量的加減運(yùn)算rrr r1 .設(shè)a表示“向東走8km“，b表示“向北走6km“，則|a b |

13、uuu uuruur uuruur2 .化簡(jiǎn)(AB MB) (BO BC) OMuuu uuu uuu3 .已知|OA | 5, |OB| 3 ,則| AB |的最大值和最小值分別為uuuruuu . uuuruuur4 .已知AC為AB與AD的和向量，且 ACr uura,BDuuuuur ,AD5 .已知點(diǎn)C在線段AB上，且uuurAC3 uuu uurAB ,則 AC 5uuu BC,uuuABuuu BC.題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算r r1 .計(jì)算：(1) 3(a b)r 2(ar b)2 2)r r2(2 a 5br r3c) 3( 2a 3b 2c)2.已知 a (1, 4),b (

14、3,8),貝u 3a題型4.作圖法球向量的和r 1 r r 3 r3a 1b和2a -b.22r r已知向量a,b,如下圖，請(qǐng)做出向量r a題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量uur uuruuir1 .已知在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量 AB,AC表示AD.uuur r uur r uuu uuur2 .在平行四邊形 ABCD中，已知AC a, BD b,求AB? 口 AD.題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算 uuu1 .已知AB (4,5) , A(2,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 uuir2 .已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 rrr3 .若物體受三個(gè)力F1(1,2) ,

15、F2 ( 2,3) , F3 ( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為 rrr r r r r r4 .已知 a (3,4), b (5,2),求 a b, a b, 3a 2b.r5.已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x2,xuuir3y 2)與AB相等，求x,y的值.uuuuuur6.已知 AB (2,3), BC (m,n),uuurCDuuu(1,4),則 DA7.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)， A(2, 1),B(uur uur r uuu4,8),且AB 3BC 0,求OC的坐標(biāo).題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底u(yù)r uu1 .已知0,a是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一

16、組基底:ituuurur ur ur uu urA. e e2和e e? B. 3e 22和42 6.ur uu uuC. e3e2 和 e2ir3。uu uuurD. e2 和 e2e1一，r八一 r ,2.已知a (3,4),能與a構(gòu)成基底的是(A. (3,4) B. (4,3) C. ( 3, 4) D. 5 55 55 5題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)(1,3)uuu1.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A在第二象限，|OA| 2xOA 1500,uuu求OA的坐標(biāo).xOAuur600,求OA的坐標(biāo).r 1 r(3) (a -b)一，r 一2.已知a (2, r r(4) (2a b)uuu _2

17、 .已知O是原點(diǎn)，點(diǎn) A在第一象限，|OA| 4V3 ,題型9.求數(shù)量積t trt t t t t1.已知 |a| 3,|b| 4,且 a與 b 的夾角為 60°,求(1) a b , (2) a (a b),rr r r rb , (4) (2a b) (a 3b).r, r r r ,r r r r6), b ( 8,10)，求(1) |a |,|b |, (2) a b , (3) a (2a b),r r (a 3b).題型10.求向量的夾角r r r rr r1 .已知|a| 8,|b| 3, a b 12,求a與b的夾角.rr2 .已知a (J3,1),b ( 2弗2),

18、求a與b的夾角.3 .已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC .題型11.求向量的模r rr rrr1 .已知 |a|3,|b |4 ,且 a與 b 的夾角為60o,求(1) |a b|, 12a 3b|. rr, r rr rr 1 r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (5) |a b|,(6)|a'b|.2r rr rr r3 .已知 |a| 1,|b| 2, 13a 2b | 3,求 13a b |.rrr a題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：e 阜】|a|1 .與a (i2,5)平行的單位向量是

19、 r 12 .與m (1,1)平行的單位向量是 題型13.向量的平行與垂直rrr r r r1 .已知 a (6,2) , b ( 3,m),當(dāng) m為何值時(shí)，(1)a/b? (2) a b ?rrrr r r2 .已知a(1,2), b( 3,2), (1) k為何值時(shí)，向量kab與a3b垂直？r r k為何值時(shí)，向量ka b與a 3b平行？一，一，一r rr r 一 rr .rrr3 .已知a是非零向重，a ba c ,且bc ,求證：a(bc).題型14.三點(diǎn)共線問(wèn)題1.已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求證：A, B,C 三點(diǎn)共線.uur 2 r r uuur2.設(shè)

20、AB (a 5b), BC2uuu r r uuirr3 .已知 AB a 2b, BC 5ar uuur r 6b,CD 7ar2 b ,則一定共線的三點(diǎn)是4 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若點(diǎn) C(2a 1,a2）在直線AB上，求a的值.5 .已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常數(shù)t ,使uur uuu uuurOA tOB OC 成立？題型15.判斷多邊形的形狀uuu ruuirruuuuur1 .若AB 3e , CD 5e,且| AD | | BC |,則四邊形的形狀是.2 .已知 A(1,0), B(4,3)

21、, C(2,4), D(0,2),證明四邊形 ABCD 是梯形.3 .已知 A( 2,1), B(6,3) , C(0,5),求證:ABC是直角三角形r r uuur r r2a 8b,CD 3(a b),求證：A R D三點(diǎn)共線.uuuuuruur4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC(1,3),求證：ABC是等腰直角三角形.題型16.平面向量的綜合應(yīng)用八rr r rr一1 .已知a (1,0), b (2,1),當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka b與a 3b平行？2 .已知a (J3, 75),且a b , |b | 2 ,求b的坐標(biāo).r r rr rr3 .已知a與b

22、同向，b (1,2)，則a b 10,求a的坐標(biāo).一r_,rrrr.r4 .已知 a(1,2), b(3,1), c(5,4),則 c a b.r,rrrr5 .已知a (5,10), b ( 3, 4), C (5,0)，請(qǐng)將用向量a,b表不向量c.rrr r6 .已知a (m,3) , b (2, 1), (1)若a與b的夾角為鈍角，求 m的范圍；r r(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍.右 r,rr-Jr7 .已知a(6,2) , b( 3,m),當(dāng)m為何值時(shí)，(1) a與b的夾角為鈍角？( 2) a與b的夾角為銳角？8 .已知梯形 ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC ,AB