概率論復習題

1、一、設A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。解：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)P(AB)=P(BC)=OP(ABC)=0至少有一個發(fā)生的概率P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8二、某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客，問一個訂貨4桶白漆、3桶黑漆和

2、2桶紅漆的顧客，能按所給定顏色如數得到訂貨的概率是多少?解：設A=“訂貨4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆”。則A的基本事件數為，基本事件總數為=24310。則所求概率為小結對古典概型問題，關鍵是找出其基本事件總數，以及所求事件包含的基本事件數。同時要注意，兩者要在同一個樣本空間中計算所求事件的概率。三、將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數分別為1，2，3的概率將3個球隨機地放入4個杯子中去，易知共有43種放置法，以Ai表示事件“杯子中球的最大個數為i”，i=1，2，3。解：A3只有當3個球放在同一杯子中時才能發(fā)生，有4個杯子可以任意選擇，于是  A1只有當每個杯子最多放一

3、個球時才能發(fā)生。N(A1)=4·3·2=A43  又A1A2A3=，且，ijP(A1)+P(A2)+P(A3)=1  四、據以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：   P孩子得病=0.6，P母親得病|孩子得病=0.5，   P父親得病|母親及孩子得病=0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率解：以A記事件“孩子得病”，以B記事件“母親得病”，以C記事件“父親得病”，按題意需要求。已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(C|BA)=0.4，由乘法定理得    

4、;                    五、將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少?解：以D表示事件“將信息A傳遞出去”，則表示事件“將信息B傳遞出去”，以R表示“接收到信息A”，則表示事件“接收到信息B”，按題意需求概率P(D|R)已知，且有，由于，得知，。由貝葉斯公式得到       &

5、#160; 六、設有兩箱同類零件，第一箱內裝有50件，其中10件是一等品；第二箱內裝有30件，其中18件是一等品，現(xiàn)從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中依次隨機地取出兩個零件(取出的零件不放回)試求   (1)第一次取出的零件是一等品的概率；   (2)在第一次取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。解：   記Ai=從第i箱中(不放回抽樣)取得的是一等品，i=1，2   B=從第一箱中取零件，則   (1)由題知   由全概率公式有  

6、0;   (2)由題知所求概率為P(A2|A1) 由全概率公式有   P(A1A2|B)表示在第一箱中取兩次，每次取一只產品，作不放回抽樣，且兩次都取得一等品的概率，故   同理，因此有七、三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解：以Ai表示事件“第i人能譯出密碼”，i=1，2，3已知P(A1)=，則至少有一人能譯出密碼的概率為   p=P(A1A2A3)   =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A

7、2A3)+P(A1A2A3)   由獨立性即得      八、一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明在任一時刻t每個設備被使用的概率為0.1，問在同一時刻(1)恰有2個設備被使用的概率是多少?(2)至少有3個設備被使用的概率是多少?(3)至多有3個設備被使用的概率是多少?(4)至少有1個設備被使用的概率是多少?解：設X表示同一時刻被使用的設備個數，則Xb(5，0.1)(1)PX=2=C52(0.1)2(1-0.1)3=0.0729.(2)PX3=PX=3)+PX=4+PX=5=C53(0.1)3(1-0.1)2+C54(0.1)4(

8、1-0.1)+C55(0.1)5=0.00856(3)PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954.(4)PX1=1-PX=0)-1-(1-0.1)5=0.40951.九、一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5在袋中同時取3只球，X表示取出的3只球中的最大號碼，求X的概率分布解：隨機變量X的所有可能值為3，4，5，且            所以，X的概率分布為X345P0.10.30.610、 設隨機變量X的分布函數為   (1)求PX<2,P0X3,P2<X<5/2;&

9、#160;  (2)求X的概率密度fx(X)解：(1)PX2=PX2-PX=2=F(2)=ln2;   P0X3=PX3-PX0=F(3)-F(0)=1-0=1;      (2)11、 某種型號器件的壽命X（以小時計）,具有概率密度如圖,從這批晶體管中任選5只,則至少有2只壽命大于1500h的概率解：任取一只，其壽命大于1500小時的概率為   任取5只這種產品，其壽命大于1500小時的只數用X表示，則Xb(5，)故所求的概率為   十二、設XN(3,22),(1)求P2X5,P|X

10、|2,PX3;(2)確定c，使得PXc=PXc；(3)設d滿足PXd0.9，問d至多為多少？(1)因XN(3，22)，故有              (2)由PXc=PXc，得   1-PXc=P(Xc)，即，于是      (3)PXd0.9，即，故    又因分布函數(x)是一個不減函數，故有：，因此   d3+2×(-1.282)=0.436即d至多為0.436十三、一工廠生產的某

11、種元件的壽命X(以小時計)服從參數為u=160，(0)的正態(tài)分布，若要求P120X2000.80，允許最大為多少？解：XN(160，2)，今要求      即要求，應有      即允許最大為31.20十四、設隨機變量X在(0，1)內服從均勻分布(1)求Y=eX的概率密度；(2)求Y=-2lnX的概率密度解：X的概率密度為      (1)當X在(0，1)上取值時，Y在(1，e)上取值，所以   當y1時，F(xiàn)Y(y)=PYy)=0;   

12、;當ye時，F(xiàn)Y(y)=PYy)=1;   當1<y<e時，   FY(y)=PYy)=PeXy)=PXlny)=FX(lny)=lny.         (2)當X在(0，1)上取值時，Y在(0，+)上取值，所以   當y0時，F(xiàn)Y(y)=PYy)=0;   當y0時，         15、 設隨機變量(X，Y)的概率密度為：   (1)確定常數k 

13、 (2)求PX1,Y3   (3)求PX1.5   (4)求PX+Y4(1) 由,得   所以k=1/8    (2)   (3)   (4)       十六、設二維隨機變量(X，Y)的概率密度為      (1)確定常數c；   (2)求邊緣概率密度(1)          

14、(2)      注在求邊緣概率密度時，需畫出(X，Y)的概率密度f(x，y)0的區(qū)域，這對于正確寫出所需求的積分的上下限是很有幫助的首先應根據概率密度的性質求出參數c，然后再求邊緣概率密度十七、設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為      求隨機變量Z=X+Y的概率密度解法(i)  利用公式      十八、設X,Y是相互獨立的隨機變量，X(1)，Y(2)證明Z=X+Y(1+2)由于X(1),Y(2)，故   又X,Y相互獨立，

15、因此，   即Z=X+Y(1+2).十九、設(X，Y)的分布律為    (1)求E(X)，E(Y)；(2)設Z=Y/X，求E(Z)；(3)設Z=(X-Y)2，求E(Z)(1)      (2)   (3)   注  可先求出邊緣分布律，然后求出E(X)，E(Y)如在(3)中可先算出Z=(X-Y)2的分布律：Z0149pk0.10.20.30.4   然后求得二十、設隨機變量X1，X2的概率密度分別為    (1) 求

16、E(X1+X2)，E(2X1-3X22)   (2) 又設X1，X2相互獨立，求E(X1X2)解：  ，今u=x/,得到                   故，于是   (1) 由數學期望的性質，有         (2) 因X1，X2相互獨立，由數學期望的性質，有   二十一、設隨機變量(X，Y)的分布律為   驗

17、證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的解：先求出邊緣分布律如下：   X-101Pk3/82/83/8Y-101Pk3/82/83/8易見PX=0，Y=0=0PX=0PY=0，故X，Y不是相互獨立的。X，Y具有相同的分布律      又E(XY)            即有E(XY)=E(X)E(Y)，故X，Y是不相關的二十二、設A和B是試驗E的兩個事件，且P(A)0，P(B)0，并定義隨機變量X，Y如下： 證明若XY=0，則X和Y必定相互獨立解：X，

18、Y的分布律分別為   X01Pk1-P(A)P(A)   Y01Pk1-P(B)P(B)由X，Y定義，XY只能取0，1兩個值，且PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)，得XY的分布律為   XY01Pk1-P(AB)P(AB)即得  E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，E(XY)=P(AB)由假設XY=0，得E(XY)=E(X)E(Y)，即P(AB)=P(A)P(B)，故知A與B相互獨立從而知A與、與B、與也相互獨立，于是          

19、60;    故X，Y相互獨立二十三、設隨機變量(X，Y)具有概率密度   求E(X)，E(Y)，cov(X，Y)，XY，D(X+Y)解：注意到f(x，y)只在區(qū)域G：(x，y)|上不等于零，故有由x，y在f(x，y)的表達式中的對稱性(即在表達式f(x，y)中將x和y互換，表達式不變)二十四、求總體N(20，3)的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率容量為10,15的兩個獨立隨機樣本均值用X(10),X(15)表示X(10)N(20,3/10),X(15)N(20,1/5)因兩個隨機樣本獨立,所以E(X(10)-X(15)=E(X(10)-E(X(15)=20-20=0D(X(10)-X(15)=D(X(10)+D(X(15)=3/10+1/5=1/2即x(10)-X(15)N(0,1/2)P(|X(10)-X(15)|<0.3)=P(|X(10)-X(15)|*2<0.3*2)=2(0.3*2)-1=0.6744二十五、設總體Xb(1，p)，X1，X2，Xn是來自X的樣本   (1)求(X1，X2，Xn)的分布律；