概率論復(fù)習(xí)題

1、一、設(shè)A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)P(AB)=P(BC)=OP(ABC)=0至少有一個(gè)發(fā)生的概率P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8二、某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客，問一個(gè)訂貨4桶白漆、3桶黑漆和

2、2桶紅漆的顧客，能按所給定顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少?解：設(shè)A=“訂貨4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆”。則A的基本事件數(shù)為，基本事件總數(shù)為=24310。則所求概率為小結(jié)對(duì)古典概型問題，關(guān)鍵是找出其基本事件總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件數(shù)。同時(shí)要注意，兩者要在同一個(gè)樣本空間中計(jì)算所求事件的概率。三、將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，易知共有43種放置法，以Ai表示事件“杯子中球的最大個(gè)數(shù)為i”，i=1，2，3。解：A3只有當(dāng)3個(gè)球放在同一杯子中時(shí)才能發(fā)生，有4個(gè)杯子可以任意選擇，于是  A1只有當(dāng)每個(gè)杯子最多放一

3、個(gè)球時(shí)才能發(fā)生。N(A1)=4·3·2=A43  又A1A2A3=，且，ijP(A1)+P(A2)+P(A3)=1  四、據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：   P孩子得病=0.6，P母親得病|孩子得病=0.5，   P父親得病|母親及孩子得病=0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率解：以A記事件“孩子得病”，以B記事件“母親得病”，以C記事件“父親得病”，按題意需要求。已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(C|BA)=0.4，由乘法定理得    

4、;                    五、將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少?解：以D表示事件“將信息A傳遞出去”，則表示事件“將信息B傳遞出去”，以R表示“接收到信息A”，則表示事件“接收到信息B”，按題意需求概率P(D|R)已知，且有，由于，得知，。由貝葉斯公式得到       &

5、#160; 六、設(shè)有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝有50件，其中10件是一等品；第二箱內(nèi)裝有30件，其中18件是一等品，現(xiàn)從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中依次隨機(jī)地取出兩個(gè)零件(取出的零件不放回)試求   (1)第一次取出的零件是一等品的概率；   (2)在第一次取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。解：   記Ai=從第i箱中(不放回抽樣)取得的是一等品，i=1，2   B=從第一箱中取零件，則   (1)由題知   由全概率公式有  

6、0;   (2)由題知所求概率為P(A2|A1) 由全概率公式有   P(A1A2|B)表示在第一箱中取兩次，每次取一只產(chǎn)品，作不放回抽樣，且兩次都取得一等品的概率，故   同理，因此有七、三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少?解：以Ai表示事件“第i人能譯出密碼”，i=1，2，3已知P(A1)=，則至少有一人能譯出密碼的概率為   p=P(A1A2A3)   =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A

7、2A3)+P(A1A2A3)   由獨(dú)立性即得      八、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?(4)至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少?解：設(shè)X表示同一時(shí)刻被使用的設(shè)備個(gè)數(shù)，則Xb(5，0.1)(1)PX=2=C52(0.1)2(1-0.1)3=0.0729.(2)PX3=PX=3)+PX=4+PX=5=C53(0.1)3(1-0.1)2+C54(0.1)4(

8、1-0.1)+C55(0.1)5=0.00856(3)PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954.(4)PX1=1-PX=0)-1-(1-0.1)5=0.40951.九、一袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5在袋中同時(shí)取3只球，X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，求X的概率分布解：隨機(jī)變量X的所有可能值為3，4，5，且            所以，X的概率分布為X345P0.10.30.610、 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為   (1)求PX<2,P0X3,P2<X<5/2;&

9、#160;  (2)求X的概率密度fx(X)解：(1)PX2=PX2-PX=2=F(2)=ln2;   P0X3=PX3-PX0=F(3)-F(0)=1-0=1;      (2)11、 某種型號(hào)器件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）,具有概率密度如圖,從這批晶體管中任選5只,則至少有2只壽命大于1500h的概率解：任取一只，其壽命大于1500小時(shí)的概率為   任取5只這種產(chǎn)品，其壽命大于1500小時(shí)的只數(shù)用X表示，則Xb(5，)故所求的概率為   十二、設(shè)XN(3,22),(1)求P2X5,P|X

10、|2,PX3;(2)確定c，使得PXc=PXc；(3)設(shè)d滿足PXd0.9，問d至多為多少？(1)因XN(3，22)，故有              (2)由PXc=PXc，得   1-PXc=P(Xc)，即，于是      (3)PXd0.9，即，故    又因分布函數(shù)(x)是一個(gè)不減函數(shù)，故有：，因此   d3+2×(-1.282)=0.436即d至多為0.436十三、一工廠生產(chǎn)的某

11、種元件的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為u=160，(0)的正態(tài)分布，若要求P120X2000.80，允許最大為多少？解：XN(160，2)，今要求      即要求，應(yīng)有      即允許最大為31.20十四、設(shè)隨機(jī)變量X在(0，1)內(nèi)服從均勻分布(1)求Y=eX的概率密度；(2)求Y=-2lnX的概率密度解：X的概率密度為      (1)當(dāng)X在(0，1)上取值時(shí)，Y在(1，e)上取值，所以   當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=PYy)=0;   

12、;當(dāng)ye時(shí)，F(xiàn)Y(y)=PYy)=1;   當(dāng)1<y<e時(shí)，   FY(y)=PYy)=PeXy)=PXlny)=FX(lny)=lny.         (2)當(dāng)X在(0，1)上取值時(shí)，Y在(0，+)上取值，所以   當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=PYy)=0;   當(dāng)y0時(shí)，         15、 設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為：   (1)確定常數(shù)k 

13、 (2)求PX1,Y3   (3)求PX1.5   (4)求PX+Y4(1) 由,得   所以k=1/8    (2)   (3)   (4)       十六、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為      (1)確定常數(shù)c；   (2)求邊緣概率密度(1)          

14、(2)      注在求邊緣概率密度時(shí)，需畫出(X，Y)的概率密度f(x，y)0的區(qū)域，這對(duì)于正確寫出所需求的積分的上下限是很有幫助的首先應(yīng)根據(jù)概率密度的性質(zhì)求出參數(shù)c，然后再求邊緣概率密度十七、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為      求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度解法(i)  利用公式      十八、設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X(1)，Y(2)證明Z=X+Y(1+2)由于X(1),Y(2)，故   又X,Y相互獨(dú)立，

15、因此，   即Z=X+Y(1+2).十九、設(shè)(X，Y)的分布律為    (1)求E(X)，E(Y)；(2)設(shè)Z=Y/X，求E(Z)；(3)設(shè)Z=(X-Y)2，求E(Z)(1)      (2)   (3)   注  可先求出邊緣分布律，然后求出E(X)，E(Y)如在(3)中可先算出Z=(X-Y)2的分布律：Z0149pk0.10.20.30.4   然后求得二十、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為    (1) 求

16、E(X1+X2)，E(2X1-3X22)   (2) 又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E(X1X2)解：  ，今u=x/,得到                   故，于是   (1) 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有         (2) 因X1，X2相互獨(dú)立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有   二十一、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為   驗(yàn)

17、證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的解：先求出邊緣分布律如下：   X-101Pk3/82/83/8Y-101Pk3/82/83/8易見PX=0，Y=0=0PX=0PY=0，故X，Y不是相互獨(dú)立的。X，Y具有相同的分布律      又E(XY)            即有E(XY)=E(X)E(Y)，故X，Y是不相關(guān)的二十二、設(shè)A和B是試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且P(A)0，P(B)0，并定義隨機(jī)變量X，Y如下： 證明若XY=0，則X和Y必定相互獨(dú)立解：X，

18、Y的分布律分別為   X01Pk1-P(A)P(A)   Y01Pk1-P(B)P(B)由X，Y定義，XY只能取0，1兩個(gè)值，且PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)，得XY的分布律為   XY01Pk1-P(AB)P(AB)即得  E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，E(XY)=P(AB)由假設(shè)XY=0，得E(XY)=E(X)E(Y)，即P(AB)=P(A)P(B)，故知A與B相互獨(dú)立從而知A與、與B、與也相互獨(dú)立，于是          

19、60;    故X，Y相互獨(dú)立二十三、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度   求E(X)，E(Y)，cov(X，Y)，XY，D(X+Y)解：注意到f(x，y)只在區(qū)域G：(x，y)|上不等于零，故有由x，y在f(x，y)的表達(dá)式中的對(duì)稱性(即在表達(dá)式f(x，y)中將x和y互換，表達(dá)式不變)二十四、求總體N(20，3)的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率容量為10,15的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本均值用X(10),X(15)表示X(10)N(20,3/10),X(15)N(20,1/5)因兩個(gè)隨機(jī)樣本獨(dú)立,所以E(X(10)-X(15)=E(X(10)-E(X(15)=20-20=0D(X(10)-X(15)=D(X(10)+D(X(15)=3/10+1/5=1/2即x(10)-X(15)N(0,1/2)P(|X(10)-X(15)|<0.3)=P(|X(10)-X(15)|*2<0.3*2)=2(0.3*2)-1=0.6744二十五、設(shè)總體Xb(1，p)，X1，X2，Xn是來自X的樣本   (1)求(X1，X2，Xn)的分布律；