概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)參考資料 第一章隨機事件及其概率1.1 隨機事件一、給出事件描述，要求用運算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運算關(guān)系符，要求判斷其正確性：1.2 概率古典概型公式：P（A）=實用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計算補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？解：設(shè)A：“每個盒子恰有1個球”。求：P(A)=？所含樣本點數(shù)：所含樣本點數(shù)：補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設(shè)Ai ：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含樣本點數(shù)：A1所含樣本點數(shù)：A2所含樣本點數(shù)：

2、 A3所含樣本點數(shù)：注：由概率定義得出的幾個性質(zhì)：1、0P（A）12、P()=1，P() =01.3 概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件（AB=），則： P（AB）=P（A）+P（B）推論1：設(shè)A1、 A2、 An 互不相容，則P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An) 推論2：設(shè)A1、 A2、 An 構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+.+ An)=1推論3： P（A）=1P（）推論4：若BA，則P(BA)= P(B)P(A)推論5（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)補充對偶律：1.4 條件概率與乘法法則條

3、件概率公式：P(A/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有時須與P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式： 逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 獨立試驗概型事件的獨立性： 貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）：課本P24另兩個解題中常用的結(jié)論1、定理：有四對事件：A與B、A與、與B、與，如果其中有一對相互獨

4、立，則其余三對也相互獨立。2、公式：第二章 隨機變量及其分布一、關(guān)于離散型隨機變量的分布問題1、求分布列：確定各種事件，記為x寫成一行； 計算各種事件概率，記為p k寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應(yīng)符合性質(zhì)1、（非負(fù)性） 2、（可加性和規(guī)范性）補例1：將一顆骰子連擲2次，以x 表示兩次所得結(jié)果之和，試寫出x的概率分布。解：所含樣本點數(shù)：66=36所求分布列為：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x補例2：一袋中有5只乒乓球，編號1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以x表示取出3只球中最大號碼，試

5、寫出x的概率分布。解：所含樣本點數(shù)：=106/103/101/10p k543x所求分布列為：2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關(guān)于連續(xù)型隨機變量的分布問題：xR，如果隨機變量x的分布函數(shù)F（x）可寫成F（x）=，則x為連續(xù)型。稱概率密度函數(shù)。解題中應(yīng)該知道的幾個關(guān)系式： 第三章 隨機變量數(shù)字特征一、求離散型隨機變量x 的數(shù)學(xué)期望Ex =？數(shù)學(xué)期望（均值） 二、設(shè)x 為隨機變量，f(x)是普通實函數(shù)，則=f(x)也是隨機變量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上計算只要求這種離散型的。補例1：設(shè)x的概率分布為：x1012pk求：，的概率分布；。解：因為x1012

6、pk=x12101=x21014所以，所求分布列為：=x12101pk和：=x21014pk當(dāng)=x1時，E=E（x1）=2+(1)+0+1+=1/4當(dāng)=x2時，E=E x2=1+0+1+4+=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？實用公式=其中，=補例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=20.4+00.3+20.3=0.22=（2）20.4+020.3+220.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76第四章 幾種重要的分布常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍二項分布n pn p q0P0泊松分布不要求0指數(shù)分布不要求

7、0解題中經(jīng)常需要運用的E x 和D x 的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）E x的性質(zhì)D x 的性質(zhì)第八章 參數(shù)估計8.1 估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇） 若總體參數(shù)的估計量為，如果對任給的0，有，則稱是的一致估計； 如果滿足，則稱是的無偏估計； 如果和均是的無偏估計，若，則稱是比有效的估計量。8.3 區(qū)間估計：幾個術(shù)語1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個統(tǒng)計量及，對于給定的（01）滿足：則稱隨機區(qū)間（，）是的100（1）的置信區(qū)間，和稱為的100（1）的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100（1）稱為置信度。一、求總體期望（均值）E x 的置信區(qū)間1、總體方差已知的類型據(jù)，得1，反查表（

8、課本P260表）得臨界值；= 求d= 置信區(qū)間（-d，+d）補簡例：設(shè)總體隨機取4個樣本其觀測值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值的95%的置信區(qū)間。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，總體均值的=0.05的置信區(qū)間為： （d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、總體方差未知的類型（這種類型十分重要！務(wù)必掌握?。?jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；確定=和求d= 置信區(qū)間（-d，+d）注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點后兩位，下同。二、求總體方差的置信

9、區(qū)間據(jù)和自由度n1（n為樣本數(shù)），查表得臨界值： 和確定=和上限 下限置信區(qū)間（下限，上限）典型例題： 補例1：課本P166之16 已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態(tài)分布，對10個試件作橫紋抗壓力試驗得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區(qū)間估計（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63，4412.06）第九章 假設(shè)檢驗必須熟練掌握一個

10、正態(tài)總體假設(shè)檢驗的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計量3、據(jù)檢驗水平，確定臨界值4、計算統(tǒng)計量的值5、作出判斷檢驗類型：未知方差，檢驗總體期望(均值)根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；由樣本值算出？和？從而得到；作出判斷典型例題：對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查5個，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2 ，問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異？（=0.05）解：H0:= 549選擇統(tǒng)計量=0.05，n1=4，查表得：=2.776又=543 s2=57.5=1.772.776接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。檢驗類型：未知期望(均值)，檢驗總體方差根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；由樣本值算出？和？從而得到；若則接受假設(shè)，否則拒絕!補例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差=64，今從一批產(chǎn)品中抽10