畢業(yè)論文淺談無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和

1、淺談無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和Investigate of the summation of infinite series 專(zhuān) 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二一 摘 要本文介紹了運(yùn)用裂項(xiàng)相消, 錯(cuò)位相減, 逐項(xiàng)微分, 逐項(xiàng)積分, 運(yùn)用特殊級(jí)數(shù)的和這幾種方法求級(jí)數(shù)的和, 并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了這些方法的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 級(jí)數(shù); 求和; 冪級(jí)數(shù); 傅里葉級(jí)數(shù)AbstractIn this paper, we discuss the methods of the summation substraction by partition terms or misplace, differentiatio

2、n term by term, integration term by term and the summation of the special series. Some examples are illustrated to the applications of these methods.Keywords: series; summation; power series; Fourier series 目 錄摘 要IABSTRACTII0 引言11 裂項(xiàng)相消法12 錯(cuò)位相減法23 逐項(xiàng)微分法64 逐項(xiàng)積分法85 運(yùn)用特殊級(jí)數(shù)的和求和法9參考文獻(xiàn)13 0 引言無(wú)窮級(jí)數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù))是高等數(shù)

3、學(xué)的一個(gè)重要組成部分. 它是表示函數(shù), 研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種重要工具. 眾所周知, 收斂級(jí)數(shù)都有和, 然而求出收斂級(jí)數(shù)的和常常是較困難的. 因此, 本文將討論運(yùn)用裂項(xiàng)相消, 錯(cuò)位相減, 逐項(xiàng)微分, 逐項(xiàng)積分, 運(yùn)用特殊級(jí)數(shù)的和來(lái)求級(jí)數(shù)的和, 并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了這些方法的應(yīng)用.為行文的簡(jiǎn)潔, 本文中未特別申明的符號(hào)與文獻(xiàn)1一致.1 裂項(xiàng)相消法設(shè), , 則的部分和為.若 , 則.也就是說(shuō)的和為 .我們稱(chēng)上述求級(jí)數(shù)和的方法為裂項(xiàng)相消法.利用裂項(xiàng)相消法求級(jí)數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過(guò)變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達(dá)到裂項(xiàng)相消的目

4、的. 以下用具體例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明.例1 求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和.解 因?yàn)?, 所以, 于是.所以.如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡(jiǎn)為兩式之差以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.例2 求級(jí)數(shù) 的和. 解 先考慮變換問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式, 再設(shè) , 則原級(jí)數(shù)的部分和為所以.如果一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運(yùn)用裂項(xiàng)相消法.例3 求和.解 先對(duì)通項(xiàng)分母中的和式進(jìn)行有理化, 得,于是, 有 ,所以 .2 錯(cuò)位相減法設(shè)為等差數(shù)列, 公差為, 為等比數(shù)列, 公比為, 則稱(chēng)為混合級(jí)數(shù),這類(lèi)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題一般采用錯(cuò)位相減

5、法.事實(shí)上, 設(shè), (1)兩邊同時(shí)乘以公比得, 即, (2)(5)式減去(6)式得, . 我們這種求級(jí)數(shù)和的方法為錯(cuò)位相減法.例4 求級(jí)數(shù)的和.解 因?yàn)?, (3), (4)(7)式減去(8)得, 即, 于是,所以 , 故 .3 逐項(xiàng)微分法定理 若在上, 的每一項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)一致收斂于, 又收斂于, 則, 即,且一致收斂于.這定理說(shuō)明了和號(hào)同求導(dǎo)運(yùn)算可以交換, 它也稱(chēng)為逐項(xiàng)微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證和號(hào)同求導(dǎo)數(shù)號(hào)可以交換.例5 求級(jí)數(shù)的和.解 令,在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)微分, 得.注意到, 所以,于是當(dāng)時(shí), 有.例6 求級(jí)數(shù).解 令,逐項(xiàng)

6、求導(dǎo)得,所以.因?yàn)榧?jí)數(shù)在處收斂, 所以,即.例7 求級(jí)數(shù)的和函數(shù).解 , 令,所以, .例8 求冪級(jí)數(shù)的和.解 在 上對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo), 可知,.由此可得 . 在這兩端乘以 , 我們有,解得.4 逐項(xiàng)積分法定理2 設(shè)在上一致收斂于, 并且每一都在上連續(xù), 則,亦即和號(hào)可以與積分號(hào)交換. 又在上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也一致收斂于. 該定理也稱(chēng)為逐項(xiàng)積分定理.例9 求級(jí)數(shù)的和.解 令, 其收斂域?yàn)? 在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)積分, 得其中, 于是.例10 求下列級(jí)數(shù)的和(1) ; (2) .解 (1) 在 上對(duì)作逐項(xiàng)積分, 可知 (2) 對(duì) , 令 , 有由此知 . 對(duì) , 令 , 有,由此可得 .5 運(yùn)用特殊級(jí)數(shù)的和求

7、和法這種方法的基本思想是: 將待求和的級(jí)數(shù)用一些已知級(jí)數(shù)來(lái)表示, 通過(guò)代入已知級(jí)數(shù)求得待求級(jí)數(shù)的和. 以下運(yùn)用例子來(lái)說(shuō)明該方法.例11 求.解 原式可以用級(jí)數(shù)表示如下.考慮級(jí)數(shù), 其收斂半徑為1, 故當(dāng)時(shí)收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 下面在區(qū)間內(nèi)求. 由于,所以 令, 即得.例12 (1)求級(jí)數(shù)的和;(2)求級(jí)數(shù)的和.解 (1) 由于所以, 故.(2) 因?yàn)?,所以, 從而.例13 求下列級(jí)數(shù)的和:(1); (2).解 (1)由于, 令,得的和, 因此.(2)由于當(dāng)時(shí), 有 , 故令即得,于是有 .例14 求下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和:(1) ;(2) ; (3) .解 將在內(nèi)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)有,所以.(1)

8、 當(dāng)時(shí), 有.(2) 當(dāng)時(shí), 有.(3) 當(dāng)時(shí), 有.例15 求的和.解 將函數(shù).令, 則.例16 求和.解 令 , 則. 因?yàn)?按實(shí)部和虛部分別相等的關(guān)系, 即得.利用四則運(yùn)算等將所給級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程再求解, 這種思維方式和求解方法與錯(cuò)位相減法類(lèi)似, 只不過(guò)在錯(cuò)位相減法中兩邊同乘的是等比級(jí)數(shù)的公比, 在這里則需依具體情況而定, 同乘以關(guān)于的某個(gè)代數(shù)式再兩式相減以得化簡(jiǎn).例17 求級(jí)數(shù)的和.解 因?yàn)樵摷?jí)數(shù)的收斂半徑,又因?yàn)楫?dāng)., 則 , (5), (6)(9)式減去(10)得,故.轉(zhuǎn)化為微分方程求解, 即研究它的導(dǎo)數(shù)或其與它本身有何特點(diǎn)及相關(guān)聯(lián)系, 看其是否滿足某微分方程及定解條件. 找出求

9、和級(jí)數(shù)所滿足的微分方程及定解條件, 再解該方程.致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對(duì)涂老師表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)1 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(下冊(cè))M, 北京: 高等教育出版社, 2003.2 陳傳璋. 數(shù)學(xué)分析講義下冊(cè)J, 北京: 高等教育出版社， 2004.3 張春平. 無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和探討J, 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào), (3) 2008, 20-21.4 鄭春雨. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的求法例談J, 海南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào), (3)2006, 96-97.5 蔡炯輝. 胡曉敏, 收斂級(jí)數(shù)求和的初等方法J, 玉溪師范學(xué)院院報(bào), (6)2006, 95-98.6 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 數(shù)學(xué)分析下冊(cè)(第三版)M, 北京:高等教育出版社, 2003.7 汪曉勤, 韓祥臨. 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史M, 北京: 科學(xué)出版社, 2002.8 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室, 高等數(shù)學(xué)(下冊(cè)), 北京: 高等教育出版社, 1996. 9 宣立新主編. 高等教育(上、下冊(cè)), 北京: 高等教育出版社, 2000.10 高建福. 無(wú)窮級(jí)數(shù)與連分?jǐn)?shù)M, 合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2007, 43.11 朱文輝, 張亭. p級(jí)數(shù)的求和J, 大學(xué)數(shù)學(xué), (3) 2005, 114-11612 R.R. Go