涵蓋所有高中數列求和的方法和典型例題

1、數列的求和1直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。（1）等差數列的求和公式： （2）等比數列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論）2公式法： 3錯位相減法：比如4裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項公式： ； （三）例題分析：例1求和： 求數列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n項和思路分析：通過分組，直接用公式求和。解：（1）當時，（2）當總結：運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。2錯位相減法求和例2已知數列，求前n項和。思路分析：已知數列各項是等差數列1，3，5，2n-1與等比數列對應項積，可用錯位相減法求和。解： 當 當3.

2、裂項相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.解: 練習:求 答案: 4.倒序相加法求和例4求證：思路分析：由可用倒序相加法求和。證：令則 等式成立1an是首項a11，公差為d3的等差數列，如果an2 005，則序號n等于( )解析：由題設，代入通項公式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992在各項都為正數的等比數列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5解析：本題考查等比數列的相關概念，及其有關計算能力設等比數列an的公比為q(q0)，由題意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合題意，舍去)，a3a4a5

3、a1q2(1qq2)3227843如果a1，a2，a8為各項都大于零的等差數列，公差d0，則( B )Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5解析：由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84已知方程(x22xm)(x22xn)0的四個根組成一個首項為的等差數列，則mn等于( C )解法1：設a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中兩根之和為2，x22xn0中兩根之和也為2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一個方程的兩個根，a1，a3是另一個方程的兩

4、個根，分別為m或n，mn，故選Cf2：設方程的四個根為x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差數列的性質：若gspq，則agasapaq，若設x1為第一項，x2必為第四項，則x2，于是可得等差數列為，m，n，mn5等比數列an中，a29，a5243，則an的前4項和為S4120a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13，6若數列an是等差數列，首項a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，則使前n項和Sn0成立的最大自然數n是( )4 005 4 0064 0074 008 解法1：由a2 003a2 0040，a2 003a

5、2 0040，知a2 003和a2 004兩項中有一正數一負數，又a10，則公差為負數，否則各項總為正數，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4 0060，S4 007(a1a4 007)2a2 0040，故4 006為Sn0的最大自然數. 選B(第6題)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003為Sn中的最大值Sn是關于n的二次函數，如草圖所示，2 003到對稱軸的距離比2 004到對稱軸的距離小，在對稱軸的右側根據已知條件及圖象的對稱性可得4 006在圖象中右側零點B的左

6、側，4 007，4 008都在其右側，Sn0的最大自然數是4 0067已知等差數列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列, 則a2826an是等差數列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比數列，(a14)2a1(a16)，解得a18，8設Sn是等差數列an的前n項和，若，則( )19已知數列1，a1，a2，4成等差數列，1，b1，b2，b3，4成等比數列，則 設d和q分別為公差和公比，則413d且4(1)q4，d1，q22，10在等差數列an中，an0，an1an10(n2)，若S2n138，則n( 10 )an為等差數列，an1an1，2an，又an0，an2，an為常數

7、數列，而an，即2n119，11設f(x)，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為 .f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)設Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，則Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312已知等比數列an中，(1)若a3a4a58，則a2a3a4a5a6 由a3a5，得a42，a2a3a4a5a632(2)若a1a2324，a3a436，則a5a6 ，a5a6(a1a2)q44(3)若S42，S86，則a1

8、7a18a19a20 .，a17a18a19a20S4q163214在等差數列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則此數列前13項之和為 .a3a52a4，a7a132a10，6(a4a10)24，a4a104，S132615在等差數列an中，a53，a62，則a4a5a1049 da6a55，a4a5a107(a52d)17(1)已知數列an的前n項和Sn3n22n，求證數列an成等差數列.(2)已知，成等差數列，求證，也成等差數列.判定給定數列是否為等差數列關鍵看是否滿足從第2項開始每項與其前一項差為常數證明：（1）n1時，a1S1321，當n2時，anSnSn13n22n3

9、(n1)22(n1)6n5，n1時，亦滿足，an6n5(nN*)首項a11，anan16n56(n1)56(常數)(nN*)，數列an成等差數列且a11，公差為6（2），成等差數列，化簡得2acb(ac) 2，也成等差數列18設an是公比為 q 的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列(1)求q的值；(2)設bn是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為Sn，當n2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由（1）由題設2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，a10，2q2q10，q1或（2）若q1，則Sn2n當n2時，SnbnSn10，故Snbn若q，則Sn2n ()當n2時，SnbnSn1，故

10、對于nN+，當2n9時，Snbn；當n10時，Snbn；當n11時，Snbn19數列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3)求證：數列是等比數列an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1) Sn，所以故是以2為公比的等比數列20已知數列an是首項為a且公比不等于1的等比數列，Sn為其前n項和，a1，2a7，3a4成等差數列，求證：12S3，S6，S12S6成等比數列.證明：由a1，2a7，3a4成等差數列，得4a7a13a4，即4 a1q6a13a1q3， 變形得(4q31)(q31)0，q3或q31(舍) 由； 111q61； 得

11、12S3，S6，S12S6成等比數列方法四、數列通項與前項和的關系12題型一 歸納、猜想法求數列通項【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：將數列變形為，將已知數列變?yōu)?+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，?？傻脭盗械耐椆綖辄c撥：本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規(guī)律，從而求得通項。題型二 應用求數列通項例2已知數列的前項和，分別求其通項公式. 解析：當，當又不適合上式，故 三、利用遞推關系求數列的通項【例3】根據下列各個數列的首項和遞推關

12、系，求其通項公式解析：因為，所以所以 以上個式相加得 即：點撥：在遞推關系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系數法或迭代法。是數列成等差數列的充要條件。等差中項：若成等差數列，則稱的等差中項，且；成等差數列是的充要條件。前項和公式 ； 是數列成等差數列的充要條件。判斷或證明一個數列是等差數列的方法：定義法：是等差數列中項法：是等差數列通項公式法：是等差數列前項和公式法：是等2等差數列中，解3等差數列中，則前10或11項的和最大。解：為遞減等差數列為最大。4已知等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為110解：成等差數列，公差為D其首項為，前10項的和為 6.3

13、等比數列知識要點1 定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，記為。2 遞推關系與通項公式3 等比中項：若三個數成等比數列，則稱為的等比中項，且為是成等比數列的必要而不充分條件。4 前項和公式5 等比數列的基本性質， 反之不真！ 為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列。 仍成等比數列。6 等比數列與等比數列的轉化 是等差數列是等比數列； 是正項等比數列是等差數列； 既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列。7 等比數列的判定法定義法：為等比數列；中項法：為等比數列； 通項公式法：為等比數列；前項和法：為

14、等比數列。二、性質運用例2：在等比數列中，求，若 在等比數列中，若，則有等式成立，類比上述性質，相應的在等比數列中，若則有等式 成立。 解：由等比數列的性質可知： 由等比數列的性質可知，是等差數列，因為由題設可知，如果在等差數列中有成立，我們知道，如果，而對于等比數列，則有所以可以得出結論，若成立，在本題中典例精析一、 錯位相減法求和例1：求和： 解： 由得：點撥：若數列是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和時，可采用錯位相減法； 當等比數列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論； 當將與相減合并同類項時，注意錯位及未合并項的正負號。二、 裂項相消法求和例2：數列滿足=8， （） 求數列的通

15、項公式；則所以，=8（1）（2）102三、 奇偶分析法求和例3：設二次函數 1 在等差數列中，=1，前項和滿足 求數列的通項公式 記，求數列的前項和。解：設數列的公差為，由所以=由，有 所以 得課外練習 數列的前項和為，若等于（ B ）的定義域為，且是以2為周期的周期函數，數列是首項為，公差為1的等差數列，那么的值為（ 0 ）A1 B1 C0 D10解：因為函數的定義域為，且是以2為周期的周期函數，所以又數列是首項為，公差為1的等差數列故原式=0，選C。22.（2009全國卷理）在數列中，（I）設，求數列的通項公式（II）求數列的前項和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數列的通項公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得 =17.(2009陜西卷理)設等差數列的前