淺談定積分的對(duì)稱性

1、淺談定積分的對(duì)稱性周莉 學(xué)號(hào):09003035（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系 安徽 巢湖 238000）摘 要：定積分在積分學(xué)中占有非常重要的位置，而且它的計(jì)算相對(duì)來(lái)說(shuō)比較的麻煩，所以為了使定積分的有關(guān)計(jì)算變得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，我們需要用到定積分的一些性質(zhì)。本文在原有的學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)了對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用，同時(shí)也給出了對(duì)稱性在定積分以及二重積分運(yùn)算中的有關(guān)定理、推論和一些應(yīng)用。在本文中充分地體現(xiàn)了在積分運(yùn)算中定積分的對(duì)稱性所帶來(lái)的方便，使其達(dá)到了簡(jiǎn)化積分運(yùn)算的目的。這個(gè)對(duì)于積分運(yùn)算的解答和數(shù)學(xué)理論的研究來(lái)說(shuō)，都有著非常重要的意義。關(guān)鍵詞：定積分；對(duì)稱性；奇函數(shù)；偶函數(shù)On the Symmet

2、ry of the Definite IntegralZhou Li StuNo:09003035（Department of Mathematics,Chaohu college, Chaohu Anhui 238000）Abstract: The definite integral in the integral calculus occupied a very important position, and its calculating relatively trouble, so we need to use some properties of definite integral

3、to make some more complex computation became simplified. This paper USES mathematical analysis of the integral summarized the application in the integral computation symmetry, and gives the symmetry in definite integral, the double integral operation related theorem and application. Fully embodies t

4、he symmetry in the integral operation bring convenience, achieved the purpose of simplified integral operation. This point for mathematical theory research and integral computation solutions are of significance.Keyword：definite integral; symmetry; odd function; even function引 言數(shù)學(xué)的對(duì)稱美是解決數(shù)學(xué)難題的關(guān)鍵，同時(shí)也為數(shù)

5、學(xué)研究提供了一種獨(dú)特的方法。 對(duì)稱性是指某一事物對(duì)象的兩個(gè)部分的對(duì)等性。其定義用集合語(yǔ)言刻畫(huà)如下:設(shè)給定一個(gè)集合M,在其內(nèi)考慮元素間的某些關(guān)系,并設(shè)P是M的一個(gè)子集,對(duì)于M的一個(gè)可容許變換A,稱集合P是對(duì)稱的或不變的,若變換A把集合P中的每一點(diǎn)仍變?yōu)镻的點(diǎn)。有關(guān)數(shù)與形的對(duì)稱在積分學(xué)中極為常見(jiàn), 許多問(wèn)題初看起來(lái)似乎難以解決,不易下手,但一旦恰當(dāng)?shù)乩昧四撤N對(duì)稱性,這個(gè)復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題就變得異常簡(jiǎn)單。本文的第一部分先介紹了定積分的概念，然后從定積分的對(duì)稱性出發(fā)，將定積分的對(duì)稱性運(yùn)用到一些例子中，使其運(yùn)算變得簡(jiǎn)便。再作進(jìn)一步推廣,得到幾個(gè)更一般性的結(jié)果,將這些結(jié)果應(yīng)用于某些定積分的計(jì)算將十分方便。最

6、后再將對(duì)稱性推廣到二重積分中，使其有更廣泛的應(yīng)用。一、定積分的概念定積分是積分學(xué)的基本內(nèi)容。從歷史上說(shuō)，定積分的概念是從一系列諸如求面積、體積等幾何問(wèn)題和變力做功等力學(xué)等問(wèn)題中提煉出來(lái)的，最后歸結(jié)為計(jì)算既有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限。定義1.1：設(shè)閉區(qū)間上有n-1個(gè)點(diǎn)，依次為它們把分成個(gè)小區(qū)間.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割，記為或.小區(qū)間的長(zhǎng)度為并記稱為分割的模。定義1.2：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)。對(duì)于的一個(gè)分割，任取點(diǎn)并作和式稱此和式為函數(shù)在上的一個(gè)積分和。定義1.3：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集

7、，只要就有則稱函數(shù)在區(qū)間上可積；數(shù)J稱為在上的定積分，記作其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。以上定義1到定義1.3是定積分概念的完整敘述。一、定積分的對(duì)稱性（一）定積分的對(duì)稱性的性質(zhì)性質(zhì)1 ：設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上可積：（1）如果為偶函數(shù)，則（2）如果為奇函數(shù)，則即證明：因?yàn)閷?duì)積分作代換,則有所以如果為偶函數(shù)，則從而如果為奇函數(shù)，則從而證畢。我們?cè)谧鲱}目的時(shí)候，凡是遇到積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定積分問(wèn)題，首先要考慮是否能夠用定積分的對(duì)稱性將其化簡(jiǎn)。例題1：解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)所以是奇函數(shù)，由根據(jù)定積分的對(duì)稱性得例題2：計(jì)算積分解：令則其中為偶函數(shù)，則

8、：令，則 例題3：求定積分解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以也是奇函數(shù)，又為偶函數(shù)。因此根據(jù)定積分的對(duì)稱性化簡(jiǎn)得：用公式得：原積分=例題4：設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)任何都有，計(jì)算解：因?yàn)?所以即為奇函數(shù)由定積分的對(duì)稱性，有：性質(zhì)2：“互補(bǔ)相等性”有一種定積分經(jīng)過(guò)變量代換后與原積分互補(bǔ)，即經(jīng)過(guò)變量代換后的積分式與原積分式合并可以得到簡(jiǎn)單的積分式。我們也將其歸入定積分的對(duì)稱性之中，這種對(duì)稱性實(shí)質(zhì)上是一種“互補(bǔ)相等性”，利用這個(gè)性質(zhì)可以簡(jiǎn)化某些定積分運(yùn)算。被積函數(shù)的分母為兩項(xiàng)，分子為其中一項(xiàng)的這類定積分在計(jì)算中，經(jīng)常利用這種互補(bǔ)相等性，例如下面的例題：例題5：求定積分解：因?yàn)?所以 因此上面這種利用“互補(bǔ)相等性”來(lái)化簡(jiǎn)

9、定積分的做法可以概括為：先作變量代換，保證變換后積分限不變，然后利用互補(bǔ)性將變換式與原式相加得到一個(gè)簡(jiǎn)單的易積分的積分式，復(fù)雜部分被消去，最后通過(guò)計(jì)算這個(gè)簡(jiǎn)單的易積分的積分式來(lái)求出原積分式的值。用這種方法化簡(jiǎn)某些定積分運(yùn)算時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：（1） 不要求原定積分的積分區(qū)間一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（2） 變量代換的一般做法為：若積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則作變量代換；若積分區(qū)間為，則作若積分區(qū)間為，則作若積分區(qū)間為則作若積分區(qū)間為，則作如果將上述命題作進(jìn)一步推廣,將得到如下幾個(gè)更一般性的結(jié)果,將這些結(jié)果應(yīng)用于某些定積分的計(jì)算將十分方便。（二）定積分的對(duì)稱性的相關(guān)定理及推論定理1設(shè)函數(shù)在上可積,則有： （1

10、）特別地,當(dāng)積分區(qū)間為時(shí)，有： （2）證明：設(shè),則且當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是有(2)式可由（1）式直接推得。證畢。例題6：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且計(jì)算：解：令則因此由定理1可得： 所以定理2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，且有，即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為偶函數(shù)，則有： （3）證明： （4）對(duì)于右式中的第二項(xiàng),令則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是有： 代入（4）式即得（3）式。證畢。定理3：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，且有。即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為奇函數(shù)，則有與定理2的證明同理,可證得定理3。但考慮到對(duì)稱性，利用定理1來(lái)證明定理3更為直觀、方便。證明：由（2）式得 于是有。證畢。推論1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有證明： 容易驗(yàn)證，上式右邊積分中的被積

11、函數(shù)關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)為奇函數(shù)，由定理3可知積分為0，于是的證。同理可得。證畢。例題2：解：上式= 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)所以 三定積分的對(duì)稱性在二重積分中的推廣對(duì)稱性不僅僅只運(yùn)用在一重積分之中，也可以運(yùn)用到二重積分之中。下面我就從二重積分的方面來(lái)談?wù)剬?duì)稱性的運(yùn)用。1、二重積分的對(duì)稱性二重積分的積分域定義在平面內(nèi)，可以通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)易圖示來(lái)分析二重積分的對(duì)稱性。在滿足“配套關(guān)系”的前提下，二重積分的對(duì)稱性可以總結(jié)如下：（1） 如果積分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)為關(guān)于y的奇偶函數(shù)，則 其中為x軸平分D得到的半個(gè)部分。（2） 如果積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)為關(guān)于x的奇偶函數(shù)，則 其中為y軸平分D得到的半個(gè)

12、部分。（3） 如果積分域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，被積函數(shù)為關(guān)于x，y的奇偶函數(shù)，則 其中為過(guò)原點(diǎn)的直線平分D得到的半個(gè)部分。（4） 如果積分域D關(guān)于y=x軸對(duì)稱，則 說(shuō)明：（1）（2）（3）要求積分域D的對(duì)稱性與被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性滿足配套關(guān)系時(shí)才能使用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分。而（4）只要求積分域D關(guān)于y=x對(duì)稱，對(duì)被積函數(shù)沒(méi)有奇偶數(shù)要求，但是（4）并沒(méi)有對(duì)積分運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，只有當(dāng)x,y互換后的二重積分與原積分具有“互補(bǔ)相等性”時(shí)，才能用在前面“定積分的對(duì)稱性”中提到的“互補(bǔ)相等性”來(lái)化簡(jiǎn)積分運(yùn)算。具體例子參見(jiàn)下面例題12.例題11：計(jì)算其中積分域D由下列雙紐線圍成：解：用-x代換曲線方程中的x，

13、曲線方程的形式不變，可知積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，又因?yàn)楸环e函數(shù)xy為x的奇函數(shù)，所以根據(jù)二重積分的對(duì)稱性，可得到：例題12：設(shè)區(qū)域，為D上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）解：由已知條件可知：積分域關(guān)于對(duì)稱。根據(jù)前面討論過(guò)的二重積分的對(duì)稱性（4），有 ，所以 所以選擇（D）。說(shuō)明：本例的積分式在使用二重積分的對(duì)稱性進(jìn)行變換之后，與原積分式具有“互補(bǔ)相等性”。因此本例是利用“互補(bǔ)相等性”來(lái)化簡(jiǎn)積分運(yùn)算。例題13：計(jì)算其中D是所圍成的區(qū)域，為連續(xù)函數(shù)。解：用將積分域分成兩部分?？梢?jiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于x軸對(duì)稱。因?yàn)槭顷P(guān)于的奇函數(shù)，所以而因?yàn)槭顷P(guān)于的奇函數(shù)所以因此原積分 其中為在軸之上的半個(gè)部分。以上就是對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用。結(jié)束語(yǔ)：本文從定積分的對(duì)稱性出發(fā)，分別介紹了對(duì)稱性在一重積分和二重積分中的應(yīng)用，主要?dú)w納總結(jié)了對(duì)稱性在計(jì)算不同的積分中的妙用，使一些較復(fù)雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)化，利用對(duì)稱性計(jì)算積分也是一種非常重要的計(jì)算技巧。歸納總結(jié)了對(duì)稱性在計(jì)算定積分中的妙用，使一些較復(fù)雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。這些推論可用于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，特殊情況下可以求出一些較復(fù)雜的定積分的值。參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）. 北京:高等教育出版社, 20062同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)（第五版，上冊(cè)）.北京：高等教育出版社，20