必修三四高中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)試卷

1、2016年必修三、四高中數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)試卷1 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a（A） 16（B） 12（C） 81, b 2 ,則輸出的a的值為（）(D) 7試題分析：當(dāng)a 1,b 2時(shí)，a 6,則a 1 2則a 4 2 8 6,此時(shí)輸出a 8,故選C.2.下面的莖葉圖表示柜臺(tái)記錄的一天銷售額情況2,此時(shí)a 2 6,則a 2 2 4,此時(shí)a 4 6,（單位:元），則銷售額中的中位數(shù)是（）1 0 22 | 0 1 43 1 12 64 3 8A.30.5B.31C.31.5D.32【答案】B試題分析：莖葉圖中的數(shù)據(jù)分別為10, 12, 20, 21, 24, 31, 31, 32, 36, 4

2、3, 48.中位數(shù)應(yīng)該是31.考點(diǎn)：莖葉圖，中位數(shù).3.為了了解我校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1 ： 2 ： 3,第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)?0名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)4650號(hào)，若在第三組中抽得號(hào)數(shù)是（）A.12B.24C.48D.56【答案】C【解析】第2小組的頻數(shù)為12,且前3個(gè)小組的頻率之和為 1 ：2： 3, 前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為6,12,18 ,共6+12+18=36,第 4、5 兩小組的頻率和為 5X0.037 5 +5X0.012 5 =5X0.05= 0.25.

3、 前3個(gè)小組的頻率和為1 0.25 = 0.75 , 抽取的學(xué)生人數(shù)是拒=48.故選C.0.”4 .某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這 50名學(xué)生中抽出 編號(hào)150號(hào)，并分組，第一組 15號(hào)，第二組610號(hào)，第十組碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為 的學(xué)生.【答案】37試題分析：由題設(shè)知第八組的號(hào)碼數(shù)比第三組的號(hào)碼數(shù)大（8-3） X由此能求出結(jié)果.解：這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)150號(hào)，并分組，第一組 15號(hào)，第二組610號(hào)，第十組4650號(hào),在第三組中抽得號(hào)碼為 12的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為12+（8-3） X5=37點(diǎn)評(píng)：抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來(lái)決

4、定，若總體個(gè)數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個(gè)數(shù)較多且個(gè)體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個(gè)體差異較大，可采用分層抽樣.5 .甲校有3600名學(xué)生，乙校有 5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生.為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃 采用分層抽樣法，抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本，則應(yīng)在甲校抽取的學(xué)生數(shù)是 .【答案】30試題分析：分層抽樣時(shí)樣本容量與總體容量成正比.6 .某學(xué)校高一、高二、高三共有2400名學(xué)生，為了調(diào)查學(xué)生的課余學(xué)習(xí)情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本.已知高一有 820名學(xué)生，高二有 780名學(xué)生，則在該學(xué)校的高三應(yīng)抽取名學(xué)生.x y zx,y,z,則，820

5、 780 800【答案】40 試題分析：高三學(xué)生人數(shù)為 800,如設(shè)高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別為又 x y z 120 ,解得 z 40 .7 .從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)中，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績(jī)得到頻率分布直方圖如下:ME 0019000075小otm（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分;（2）若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在30,50和130,150的學(xué)生中共抽取3人，該3人中成績(jī)?cè)?30,150的有幾人？（3）在（2）中抽取的3人中，隨機(jī)抽取 2人，求分?jǐn)?shù)在 30,50和130,150各1人的概率.【答案】（1）該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為92分

6、；（2）抽取的3人中分?jǐn)?shù)在130, 150的人有1,2人；（3） P 2.3試題分析：（1）根據(jù)由頻率分布直方圖，計(jì)算平均值的方法：分別取各個(gè)小矩形的寬的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以該組的頻率，然后將這些乘積相加，即可得到該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分的估計(jì)值；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖確定分?jǐn)?shù)在30,50和130,150的學(xué)生人數(shù)各有多少，然后按比例進(jìn)行抽取，即可得到在130 , 150中應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）根據(jù)（2）中抽取的3人中，有2人的分?jǐn)?shù)在 30,50 ,有一人的分?jǐn)?shù)在130,150 ,從而可確定基本事件總數(shù)，然后確定滿足要求的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概率的計(jì)算公式即可得到分?jǐn)?shù)在 30,50和13

7、0,150各1人的概率.試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為0.0050 X 20X40+0.0075 X 20X60+0.0075 X 20X80+0.0150 X20X 100+ 0.0125 X20X 120+0.0025X20X140= 92.4 分（2）樣本中分?jǐn)?shù)在30, 50）和130, 150的人數(shù)分別為6人和3人3所以抽取的3人中分?jǐn)?shù)在130 , 150的人有3 1 （人）8分9（3）由（2）知：抽取的 3人中分?jǐn)?shù)在30 , 50）的有2人，記為a,b分?jǐn)?shù)在130, 150的人有1人，記為c,從中隨機(jī)抽取2人.總的情形有（a,b）,（a,c）,

8、（b,c）三種.2而分?jǐn)?shù)在30 , 50）和130 ,150各1人的情形有（a,c）,（ b, c）.兩種故所求概率 P 3考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.平均值的計(jì)算；3.分層抽樣；4.古典概率.8.在育民中學(xué)舉行的電腦知識(shí)競(jìng)賽中，將九年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30 , 0.15 , 0.10 , 0.05 ,第二小組的頻數(shù)是40.（1）求第二小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；004（2）求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少；（3）這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小

9、組內(nèi)Q,Q20.0O 49.5 593 69.5 79.5 89.5 99.5 分?jǐn)?shù)【答案】（1）第二小組的頻率為 0.40,補(bǔ)全的頻率分布直方圖詳見(jiàn)解析；（2） 100人；（3）九年級(jí)兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第二小組內(nèi).【解析】試題分析：（1）先從所給的直方圖中得出第一、三、四、五小組的頻率，然后用1減去第一、三、四、五 頻率 、小組的頻率和得到第二小組的頻率，接著由勺！確定第二小組的小長(zhǎng)方形的高，從而可補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）用第二小組的頻數(shù)除以該組的頻率，即可計(jì)算出九年兩個(gè)班參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)；（3）要確定中位數(shù)所在的小組，只需先確定各小組的頻數(shù)，從第一小組開(kāi)始累加，當(dāng)和達(dá)到總

10、人數(shù)的一半時(shí)的組就是中位數(shù)所在的小組.試題解析：（1）二.各小組的頻率之和為1.00,第一、三、四、五小組的頻率分別是 0.30, 0.15, 0.10, 0.05第二小組的頻率為：1.00 (0.30 0.15 0.10 0.05) 0.40 頻率丁洛在59.569.5的第二小組的小長(zhǎng)萬(wàn)形的圖 組距示（2）設(shè)九年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為X人第二小組的頻數(shù)為 40人，頻率為0.4040八，0.40,解得 x 100 x所以這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為100人（3）因?yàn)?0.3 X100= 30, 0.4 X 100= 40, 0.15 X 100= 15,即第一、第二、第三、第四、第五小組的頻數(shù)分

11、別為30,所以九年級(jí)兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第二小組內(nèi)0.40100.04,則補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所0.10 X 100= 10, 0.05 X 100=540, 15, 10, 5考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力Xi yi nx y二）Xi2 n（x）2i 1試題解析：解：（1）x4,y2.23.85.56.5 7.02 xi590, xi yii 1112.35XX 5xyi 12xi5 xi 1112.3 5 4 5290 5 421.23 6 分;9.關(guān)于某設(shè)備的使用年限 x和所支出的維修費(fèi)用 y （萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料:x23456y2.23.85.56

12、.57.0（1）如由資料可知y對(duì)x呈線形相關(guān)關(guān)系.試求：線形回歸方程；（a y bX , b（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?【答案】（1） y bx a 1.23x 0.08.（2）12.38萬(wàn)元.試題分析：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量 x, y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b,在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上，求出a的值，從而得到線性回歸方程；（2）當(dāng)自變量為10時(shí)，代入線性回歸方程，求出當(dāng)年的維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值.于是 a y bx 5 1.23 4 0.08.所以線形回歸方程為:y bx a 1.23x 0.08.8 分;當(dāng)x 10時(shí)，y1.23

13、10 0.08 12.38（萬(wàn)元），即估計(jì)使用10年是維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元.12 分;考點(diǎn)：線性回歸方程.12. 2013年春運(yùn)期間，長(zhǎng)沙火車站在某大學(xué)開(kāi)設(shè)了一個(gè)服務(wù)窗口。假設(shè)每一位顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間都是 整數(shù)分鐘，對(duì)這1000名顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間（分鐘）12345人數(shù)100400300100100以記錄的這1000名顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間的頻率作為各所需時(shí)間發(fā)生的概率。（1）求一位顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率；（2）估計(jì)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間的平均值。4【答案】（1） 一位顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的I率為4。5（2）估計(jì)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間的平均值

14、為：2.7 （分鐘）。100 1+400 2+300 3+100 4 100 51000【解析】試題分析：(1)記A為事件“一位顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間不超過(guò)3分鐘”，Ai、A、備分別為表示事件“該顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間為1分鐘”， 率視作概率有：P (A)1001000,P ()104001000二，P (A3) 5300100010，“該顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間為 2分鐘”，“該顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間為,3分鐘”，將頻Q A A1 A2 A3,且A、A2、A3是互斥事件,123 4P(A)=P(A1)+P (A2)+P (A。= - + -+ = - 10 5 10 54故一位顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率為_(kāi)。

15、5(2)估計(jì)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間的平均值為：100 1+400 2+300 3+100 4 100 5 2.7 (分鐘)。1000考點(diǎn)：本題主要考查互斥事件的概率計(jì)算公式，平均數(shù)的概念及其計(jì)算。點(diǎn)評(píng)：中檔題，互斥事件和的概率等于各事件概率的和。解答本題，認(rèn)真審題，讀懂圖表是關(guān)鍵。13.已知函數(shù)f (x)2sin(2x ) 1 (x R)6(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若 x0,求f (x)的值域.2【答案】(1)最小正周期 T,單調(diào)遞減區(qū)間為:k,56,k Z ； (2) -2,1 .試題分析：(1)由f(x) Asin(3X 6的最小正周期是L 可得周期，由正弦函數(shù)

16、的單調(diào)性，只要解不等式2k 2x26 2k 32，kZ ,可得減區(qū)間;(2)冗冗冗5冗由 x 0,一求得 2x -,266 6再結(jié)合正弦函數(shù)可得f (x)值域.試題解析：(1)函數(shù)的最小正周期又由2k 2x22k2k5Tk-所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:(2)由0 x 一得22x5r，所以sin2x值域：-2,114.已知向量 a (1, 2) , b (3,4).(1)求a b與a b的夾角；(2)若a ( a【答案】(1) a b與a b的夾角為3-; (2)1.4rrrb),求實(shí)數(shù)的值.rr rb ( 2,6)與a b (4, 2),從而可求得r r r r(a b)(a b)2 4 6 (

17、 2)r20 , |ar|ar _b| 20 ,再由平面向量數(shù)量積的定義r(ar rr rr rrb)(ab)| ab| | ab| cosr r r ra b, a br r r r 可求得cos a b,a b、2,從而可知夾角為234r arb (1 3 ,2rr r r(ab)可知 a (a4 ),從而可以得到關(guān)于rrb) 0 ,再由已知條件ar(1,2) , b ( 3,4)可求得的方程1 34 80即可解得試題分析：(1)由條件中a (1,2), b ( 3,4)可求得a試題解析：(1) a (1, 2) ,b (3 , 4), a b (2,6) ,a b (4,2),2分cos

18、 a b, a b(2,6) (4, 2)20_2.40 , 20402023 又.a b, a b (0, ) , a b, a b ；4(2)當(dāng) a(ab)時(shí)，a (ab)0 ,(1,2) (13 ,24 ) 0 ,則 13480 ,考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積.15 .已知函數(shù) f (x)73sin 2x 2sin2 x .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值.2【答案】(1); (2) 3,0試題分析：(1 )利用二倍角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行降哥，再利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)成2f (x) 2sin(2x ) 1,則周期T ；(2)利用換元法，將2x 一當(dāng)成

19、一個(gè)整體，根據(jù)0 x 一,2sin(2 x -) 1 3.6262則 一 2x 66試題解析：(1) f (x) J3sin2x 1,一，2f (x)的最小正周期 T .2 Q 0 x ， 一 2x 266cos2x 2sin(2 x ) 161 sin(2x ) 1260 2sin(2 x )1 36f (x)在區(qū)間0,一上的最大值是3,最小值是0.2考點(diǎn)：1.二倍角公式；2.三角函數(shù)圖像、性質(zhì)與最值16 .已知向量 a (3, 2), b ( 1,0),r(1)求 |ar2b|;(2)當(dāng) xa (3 x)b/a 2b 時(shí)，求 x 的值.【答案】（1）押；（2）試題分析：（1）先求出r r

20、_2 b （1, 2）,再利用向量模的坐標(biāo)公式可得|a 2b | /T44 J5 ;r(2)先求出xa (3rx）b的坐標(biāo)（4x 3, 2x）,再利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式建立關(guān)于x的方程，求出x即可得到結(jié)果.試題解析:解:(1)a 2b (3, 2) ( 2,0) (1, 2)r r |a 2b | ,1 4、, 5(2)rxa(3r x)b(3x, 2x) (x 3,0) (4x 3, 2x)r 當(dāng)xa2( 4x解得：(33)r r x)b/a(2x)1r2b時(shí)考點(diǎn)：1.向量模的坐標(biāo)公式；2.向量平行的坐標(biāo)公式.17.已知cos為第三象限角.(1)求 sin , tan的值;(2)求 si

21、n( ), tan 24的值.【答案】（1）24(2)三 7試題分析：（1）試題解析：由同角間的基本關(guān)系式與的范圍可得;（2）由兩角和的正弦和倍角的正切公式展開(kāi)可得解：(1) Q cos為第三象限角,sin1 cos2(5)tansincos3_545由（1）sin(4) sincos4cossin 一43)7.510tan22 tan1 tan21(3)24247考點(diǎn)：同角間的基本關(guān)系，兩角和的正弦,倍角公式的正切公式18 .已知比口區(qū)+匚0sq = ?/ ,那么sin £的值為，cos2 a的值為22 T【解析】(小如“6)2=1+sin Cf = 4. sin tz = 1由倍

22、角公式得J31.11 L LCi 2.cos2 上=1-2sin =919 .已知“為銳角且tan （工+） =2,4【答案】（1）11)求 tan a(2)Vysin (2 口+三)gos_ sinO-4coe2<I的值.【解析】試題分析：（1）給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵研究角之間關(guān)系.本題只需展開(kāi)即可tan+口 ) =2由 4展開(kāi)得1+tanW= Vf_±_1-t皿口一，解得tana=W； （2）所求式子較復(fù)雜，需先化簡(jiǎn).先統(tǒng)一角，五sin (2Q+?)83口 一 sin。cos2 a2cos (sin 2 cos2 ) sin sin (2 cos 1) cos cos 2.si

23、n coscos2cos2,因此只需求s1n ，cos的值即可.由同角三角函數(shù)關(guān)系得tan （馬修）=2試題解析：（1）4Viosin a= 10 , cos a = 10 ,因此原式為ntarr+tanCI=2 l+t-u f山-tan-tan1 心 門一上F4，即 1 tan口，解之得 tan “= 3；2sin (2U+r) gos.a為銳角且巨sin a = 1。cos a +sin(2)cos2CL2cos (sin 2 cos2 ) sin sin (2 cos 1) cos cos 2.sin cos cos2cos21tan a = 3cos a = 10 ,可得20.已知：s

24、in OC = 3 , cos( a + 3 )=50< a < 27t<3兀，求cos 3的值.2試題分析：現(xiàn)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求cos和sin的值，將cos 轉(zhuǎn)化為cos根據(jù)余弦兩角和差公式即可求出。.解因?yàn)閟inI。cos .12 sincos(sin(,1 cos2(coscos(cos( )cos sin()sin1.考點(diǎn):同角三角函數(shù)關(guān)系式；2余弦的兩角和差公式;3轉(zhuǎn)化思想。r _21,設(shè)向量 a (J3 sin x,sin x)rb (cosx,sin x),r(1)若 |a|r|b|，求x的值;(2)設(shè)函數(shù)f (x)0,-2r r a b ,求f （x）的

25、最大值。【答案】（1）(2)-2試題分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程即可解決;（2）利用兩角和與差的三角函數(shù)公式把f1 八 一.一r 一f x =sin 2x -1,然后利用三角函數(shù)知識(shí)即可62試題解析：（1）由3 sin x2sin x4sin2 cosx2sin x1,f 2.b ,彳#4sin 2x=1,又x0,-,21sin x 一 2r r -2a ?b 3 sin xcosx sin x旦in2x21cos2x 21.一 sin20,時(shí),sin 2x 取最大值1,所以f x的最大值為-.222.求 sin 210° + cos240° + sin10 &#

26、176; cos40 ° 的值.【解析】(解法1)因?yàn)?0。=30。+ 10。，于是原式=02 0. 31210 ) = sin 10 + cos10 一一 sin10 +sin10 223 (sin 210° + cos210° ) = 3.4 4(解法 2)設(shè)* = $所210° + cos240° + sin10 ° cos40 °= 1+1 + sin10° cos40 ° +cos10° sin40sin 210° +cos2(30° +10° ) + s

27、in10° cos(30 ° + ( 3 cos10 ° 1 sin10 ° )=y=cos210° + sin 240° +cos10° sin40 ° .貝Ux+y1 = 2=2 + sin50 ° =2+cos40° , x y=cos80° cos20 ° 8 k0k 20一sin50 ° 1 = cos40 ° .因此 2x= 3 ,故 x = 3222423 .設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量uuu r r uuur r uuur(1)若 OA

28、2a b,OB 3a b,OCr ra 3b,求證：A BC三點(diǎn)共線;r r r r（2）若8a kb與ka 2b共線，求實(shí)數(shù)k的值.4.r r r r【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析;(2)當(dāng)8a kb與ka 2b共線時(shí)，kr r uuu uuu試題分析：（1）利用向量證明三點(diǎn)共線，先建立平面向量的基底a,b,求出AB、BC,找到uurR使得BCuurunr uuurAB ,從而說(shuō)明AB/BC,再說(shuō)明兩個(gè)向量有一個(gè)公共點(diǎn)B即可；（2）根據(jù)8a kb與ka2b共線，得至118ar kbr r（ka 2b）,然后根據(jù)向量相等的條件，建立k、 的方程組,r r r (3a b) (2 ar r rb) a 2b求解即可得到k的值.uuu uuu uuu試題解析：（1）證明：AB OB OAuuui uuur uuu 而 BC OC OBr r r r(a 3b) (3a b)r r2a 4brr uuur2(a 2b)2ABuuui uuuAB與BC共線，又有公共端點(diǎn)B，.二A、BC三點(diǎn)共線，使得r r8a kbr r(ka 2b)rr r(8 k)a (k 2 )b 0a與b不共線2822 或 2 k 4.k 2 k 2 k 4 k 424.在4ABC中，E、F分別為AC AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G