已知直線a平面

1、541. 如圖，已知直線a平面；求證：過(guò)a有且只有一個(gè)平面平行于.證明 (1)存在性：設(shè)過(guò)a的平面與交于a，a，aa.在上，設(shè)直線baA,在a上取點(diǎn)A，A與b確定平面，在上過(guò)A作bb.則a、b是相交直線(若重合，則顯然ba，矛盾).a,b確定平面，則.(2)唯一性：設(shè)過(guò)a還有一個(gè)平面，與有公共點(diǎn)A，與相交于過(guò)A的直線b，又a，b，bb,bb,而b與b都過(guò)點(diǎn)A，故重合，故與重合.542.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行.已知：A，A，求證：是唯一的.證：設(shè)l過(guò)A點(diǎn)，且l，這樣的直線是唯一的.又，則l，過(guò)點(diǎn)A與平面的平面一定和l垂直.過(guò)點(diǎn)A和直線l垂直的平面是唯一的.過(guò)點(diǎn)A和平行的平面是唯

2、一的.543.一條直線和兩個(gè)平行平面相交，求證：它和兩個(gè)平面所成的角相等.已知：，直線a分別與和相交于點(diǎn)A和A.求證：a與所成的角與a與所成的角相等.解析：(1)當(dāng)a時(shí)，.即a與所成的角與a與所成的角都是直角.(2)當(dāng)a是的斜線時(shí)，如圖，設(shè)P是a上不同于A、A的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引a, aB,aB.連結(jié)AB和AB.a，a.由此可知，PAB是a和所成的角，PAB是a和所成的角，而ABAB.PABPAB即 a和所成的角等于a和所成的角.544.a和b是兩條異面直線，求證：過(guò)a且平行b的平面必平行于過(guò)b且平行于a的平面.已知：a,b是異面直線，a，b,a,b.求證：.證：過(guò)b作平面與平面交于b545.

3、如圖，直線AC、DF被三個(gè)平行平面、所截.求證：證：(i)當(dāng)AC，DF共面S時(shí)，連AD，BE，CF則ADBECF從而(ii)當(dāng)AC、DE異面時(shí)，連CD設(shè)CDG連AD、BG、GE、CF，如圖，平面ACDBG，平面ACDAD.BGAD同理可證：EGCF，綜合(i)(ii)知：.546. 設(shè)直線a在平面內(nèi)，則“平面平面”是“直線a平面”的( )條件A.充分但不必要 B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解析：若，a，a與無(wú)公共點(diǎn)，a.若a，a，則，的關(guān)系不能確定，所以應(yīng)選A.547. 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是( )A.經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線bB.經(jīng)

4、過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線bC.存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面D.存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面解析：A、C、D均為真命題，B為假命題；若過(guò)a的平面b,則b垂直內(nèi)的直線a，從而ab，那么限制a,b必須垂直，而條件中沒(méi)有指明a、b是否垂直.548. 和是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中可以判定平面的是( )A.、都垂直于平面B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等C.l、m是內(nèi)的直線，且l，mD.l、m是兩條異面直線，且l,l,m,m解析：顯然B、C不能推出，有、相交的情況存在，對(duì)于A、D，學(xué)了“面面垂直”后，就可以說(shuō)明A不能推出，、有相交的可能，從而選D.事實(shí)上，l，m，在

5、內(nèi)任取一點(diǎn)A，過(guò)A作ll，mm,因?yàn)閘,m異面，所以l,m相交，則可推出l，m.由面面平行的判定定理可推出.549. 已知矩形ABCD，過(guò)A作SA平面AC，再過(guò)A作AESB交SB于E，過(guò)E作EFSC交SC于F(1)求證：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求證：AGSD解析：如圖，欲證AFSC，只需證SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲證SC平面AEF，只需證AE垂直于SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需證AEBC，而要證AEBC，只需證BC平面SAB，而這可由已知得證證明 (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBC BC平面SAB BCAE又S

6、BAE AE平面SBCSC平面AEF AFSC(2)SA平面AC SADC，又ADDC DC平面SAD DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF SCAG AG平面SDC AGSD550. 三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面三條對(duì)角線AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求證：AB1CA1.證 方法1 如圖，延長(zhǎng)B1C1到D，使C1DB1C1.連CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90°，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2 如圖，取A1B1、AB的中點(diǎn)D1、P.連CP、C1D1、A1P、D1B，易證C1D1平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1BD1，從而AB1A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1A1C.說(shuō)明 證明本題的