參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用

1、.參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用參數(shù)方程在解題中的廣泛應(yīng)用 參數(shù)方程在解析幾何中是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，而且是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。近幾年來高考對(duì)參數(shù)方程和極坐標(biāo)的要求稍有降低，但是，可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)絡(luò)嚴(yán)密。本文以詳細(xì)的例子闡述參數(shù)方程的廣泛應(yīng)用。一、探求幾何最值問題有時(shí)在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)展轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。例11984年考題 在ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為ABC的內(nèi)切圓的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的間隔 的平方和的最大值和最小值。解 由，運(yùn)用正弦定理，可得：sinA·

2、;cosA=sinB·cosBsin2A=sin2B由AB，可得2A=-2B。A+B=，那么ABC為直角三角形。又C=10,，可得：a=6,b=8,r=2如圖建立坐標(biāo)系，那么內(nèi)切圓的參數(shù)方程為所以圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2+2cos,2+2sin，從而=80-8cos因02，所以例2 過拋物線 t為參數(shù)，p0的焦點(diǎn)作傾角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)0，當(dāng)取什么值時(shí)，AB取最小值。解 拋物線 t為參數(shù)的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。設(shè)直線l的參數(shù)方程為：為參數(shù)代入拋物線方程2px得：又0當(dāng)=時(shí)，AB取最小值2p。二、解析幾何中證明型問題運(yùn)用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能

3、簡(jiǎn)捷地解決有關(guān)與過定點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的間隔 有關(guān)的問題。例3 在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：FM·FN=·AB·ACe為離心率。證明 設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為c,0，A點(diǎn)坐標(biāo)為,0。又，設(shè)AC的傾角為，那么直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：將、代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)得：同理，將、代入雙曲線方程整理得：FM·FN=FM·FN=AB·AC。雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)引一直線和雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，又過一焦點(diǎn)F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點(diǎn)

4、，求證：FC·FD=2PA·PB。證明 由可得。設(shè)直線AB的傾角為，那么直線AB的參數(shù)方程為t為參數(shù)代入，可得：據(jù)題設(shè)得直線CD方程為 t為參數(shù)代入，得：，從而得，即得FC·FD=2PA·PB。三、探求解析幾何定值型問題在解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，有二個(gè)變?cè)僭O(shè)用參數(shù)方程那么只有一個(gè)變?cè)?，那么?duì)于有定值和最值時(shí)，參數(shù)法顯然比較簡(jiǎn)單。例5 從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。解 化方程為參數(shù)方程：為參數(shù)設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，那么P3cos,2sin。于是，直線BP的方程為：直線的方程為：令y=0代入BP,的方程，分別得

5、它們?cè)趚軸上的截距為和。故截距之積為：·=9。四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題例6 假如橢圓與拋物線=6x-n有公共點(diǎn)，試求m、n滿足的條件。分析 假如此題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯(cuò)誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因。假設(shè)運(yùn)用參數(shù)方程來解，那么可“輕車熟路，直達(dá)解題終點(diǎn)。解 設(shè)橢圓的參數(shù)方程為拋物線的參數(shù)方程為t為參數(shù)因它們相交，從而有：由得：代入得：配方得：。即19 -2n-m2所以m-n2為兩曲線有公共點(diǎn)的條件。注：特別地，當(dāng)n=3/2時(shí)，即為廣東省1985年高考理科第34題。網(wǎng)友同時(shí)還閱讀了：計(jì)算型選擇題解題技巧淺談新課程理念下的數(shù)學(xué)課堂

6、教學(xué)淺談小學(xué)低年級(jí)應(yīng)用題教學(xué)觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩

7、子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)

8、長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。我怎樣教?比例的意義和根本性質(zhì)“師之概念，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫??！袄显谂f語(yǔ)義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的

9、復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對(duì)知識(shí)淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識(shí)的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識(shí)，更重于傳播知識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)的非語(yǔ)言藝術(shù)觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深