選修2－2第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（理）（學案含答案）

1、.年級高二學科數(shù)學版本蘇教版理課程標題選修22 第3章 數(shù)系的擴大與復數(shù)的引入一、學習目的：1. 理解復數(shù)的根本概念；2. 理解復數(shù)相等的充要條件；3. 理解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4. 會進展復數(shù)代數(shù)形式的四那么運算；5. 理解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。二、重點、難點重點：掌握復數(shù)的概念；復數(shù)的加法與減法的運算及幾何意義；復數(shù)的四那么運算。難點：對復數(shù)概念和復數(shù)的幾何意義的靈敏運用及復數(shù)運算的準確運用。三、考點分析：1. 復數(shù)的有關概念和復數(shù)的幾何意義是高考命題的熱點之一，常以選擇題的形式出現(xiàn)，屬容易題；2. 復數(shù)的代數(shù)運算是高考的另一熱點，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易

2、題。一、復數(shù)的有關概念1. 復數(shù)的概念形如abia，bR的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部。假設b0，那么abi為實數(shù)，假設b0，那么abi為虛數(shù)，假設a0且b0，那么abi為純虛數(shù)。2. 復數(shù)相等：abicdiac且bda，b，c，dR。3. 共軛復數(shù)：abi與cdi共軛ac，bda，b，c，dR。4. 復平面借用直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內的點都表示非純虛數(shù)。5. 復數(shù)的模向量的模r叫做復數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|。二、復數(shù)的幾何意義1. 復數(shù)zab

3、i復平面內的點Za，ba，bR；2. 復數(shù)zabi平面向量a，bR。三、復數(shù)的運算1. 復數(shù)的加、減、乘、除運算法那么設z1abi，z2cdia，b，c，dR，那么加法：z1 z2abicdiacbdi；減法：z1 z2abicdiacbdi；乘法：z1· z2abi·cdiacbdadbci；除法：2. 復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何、C，有，。注：任意兩個復數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個復數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。知識點一：復數(shù)的有關概念例1 當實數(shù)m為何值時，zlgm22m2m23m2i1為純虛數(shù)；2為實數(shù)；3對應的點在復平面的第二象限內。思

4、路分析：根據(jù)復數(shù)分類的條件和復數(shù)的幾何意義求解。解題過程：根據(jù)復數(shù)的有關概念，轉化為實部和虛部分別滿足的條件求解。1假設z為純虛數(shù)，那么解得m32假設z為實數(shù)，那么解得m1或m23假設z的對應點在第二象限，那么解得1<m<1或1<m<3。即1m3時，z為純虛數(shù)；2m1或m2時，z為實數(shù)；31<m<1或1<m<3時，z對應的點在復平面的第二象限內。解題后反思：處理有關復數(shù)概念的問題時，首先要找準復數(shù)的實部與虛部假設復數(shù)為非標準的代數(shù)形式，那么應通過代數(shù)運算化為代數(shù)形式，然后根據(jù)定義解題。知識點二：復數(shù)相等例2 集合Ma3b21i，8，集合N3i，a

5、21b2i同時滿足MNM，MN，求整數(shù)a，b思路分析：判斷兩集合元素的關系列方程組分別解方程組檢驗結果是否符合條件。解題過程：或或由得a3，b±2，經(jīng)檢驗，a3，b2不合題意，舍去。a3，b2由得a±3，b2。又a3，b2不合題意，a3，b2；由得，此方程組無整數(shù)解。綜合得a3，b2或a3，b2。解題后反思：利用復數(shù)相等可實現(xiàn)復數(shù)問題向實數(shù)問題的轉化。解題時要把等號兩邊的復數(shù)化為標準的代數(shù)形式。注：對于復數(shù)z，假如沒有給出代數(shù)形式，可設zabia，bR。知識點三：復數(shù)的代數(shù)運算例3 計算：思路分析：根據(jù)復數(shù)的運算法那么計算。解題過程： 解題后反思：1在進展復數(shù)的代數(shù)運算時，

6、記住以下結論，可進步計算速度：2復數(shù)的四那么運算類似于多項式的四那么運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟悉i的特點及純熟應用運算技巧。知識點四：復數(shù)加減法的幾何意義例4 如圖，平行四邊形OABC，頂點O、A、C分別表示0，32i，24i，試求：1表示的復數(shù)；2對角線所表示的復數(shù)。思路分析：求某個向量對應的復數(shù)，只要求出向量的起點和終點對應的復數(shù)即可。解題過程：1，表示的復數(shù)為32i。，表示的復數(shù)為32i。2，所表示的復數(shù)為32i24i52i。解題后反思：1解決這類題目時可利用復數(shù)abia，bR與復

7、平面內以原點為起點的向量之間一一對應的關系，相等的向量表示同一復數(shù)，然后借助于向量運算的平行四邊形法那么和三角形法那么進展求解。2復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題最根本也是最重要的思想方法，橋梁是設zxyi，根據(jù)是復數(shù)相等的充要條件。湖北高考假設i為虛數(shù)單位，圖中復平面內點Z表示復數(shù)z，那么表示復數(shù)的點是 A. E B. F C. G D. H思路分析：首先在圖形上看出復數(shù)z的代數(shù)形式，再進展復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理成最簡形式，在坐標系中看出對應的點。解題過程：觀察圖形可知z3i，即對應點H2，1，應選D。解題后反思：此題考察復數(shù)的幾何意義，考察根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式，在坐

8、標系中找出對應的點，根據(jù)復平面上的點寫出對應的復數(shù)的表示式。問題：z為復數(shù)，z2i和均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。1求復數(shù)z；2假設復數(shù)zai2在復平面上對應的點在第一象限，務實數(shù)a的取值范圍。思路分析：1設出復數(shù)的代數(shù)形式，整理出z2i和，根據(jù)兩個都是實數(shù)、虛部都等于0，得到復數(shù)的代數(shù)形式。2根據(jù)上一問得出的復數(shù)的結果，代入復數(shù)zai2中，利用復數(shù)的加減和乘方運算，寫出代數(shù)的標準形式，根據(jù)復數(shù)對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結果。解題過程：1設復數(shù)zabia，bR，由題意，z2iabi2iab20，即b2。又，2ba0，即a2b4。z42i。2由1可知z42i，zai242iai24a2i216a228a2i對應的點在復平面的第一象限，解得a的取值范圍為2a6。解題后反思：此題考察復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，復數(shù)與復平面上的點的對應，及解決實際問題的才能，是一道綜合題。1. 掌握復數(shù)的代數(shù)形式，理解實部和虛部的概念，及復數(shù)的幾何意義。2. 純熟進展復數(shù)的加減法和乘除法的運算。常用的運算公式要記牢：1±i2±2i，i，i，i，bai，±i