微積分10無窮級數(shù)聯(lián)系和習題解答

1、第10章 無窮級數(shù)練習和習題解答練習10.11.寫出下列級數(shù)的一般項：(1)；解：該級數(shù)一般項為(2)；解：該級數(shù)一般項為(3)；解：該級數(shù)一般項為(4).解：該級數(shù)一般項為2.用定義判斷下列級數(shù)的收斂性：(1)解：，顯然不存在，故原級數(shù)發(fā)散.(2)解：，故原級數(shù)發(fā)散.(3)解：，故原級數(shù)收斂.(4)解：，所以當時原級數(shù)收斂，當或 時原級數(shù)發(fā)散.(5)解：，故原級數(shù)收斂.練習10.21.根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)判斷下列級數(shù)的斂散性：(1)；解：因為通項，不滿足通項極限為零的級數(shù)收斂的必要條件，故原級數(shù)發(fā)散.(2)；解：因為不存在，不滿足通項極限為零的級數(shù)收斂的必要條件，故原級數(shù)發(fā)散.(3);解：因為

2、，故原級數(shù)發(fā)散.(4);解：因為，故原級數(shù)發(fā)散.(5);解：因為，而級數(shù)和均為公比小于1的幾何級數(shù)，都收斂，因此原級數(shù)收斂.(6) ;解：因為級數(shù)收斂，在其前面加上100項后的新級數(shù)仍然收斂.(7)解：因為級數(shù)為發(fā)散調(diào)和級數(shù)，而級數(shù)為收斂的幾何級數(shù)，收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)之和發(fā)散.2.若級數(shù)收斂，指出下列哪些級數(shù)是一定收斂的，哪些級數(shù)是發(fā)散的.(1);解：因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)和也收斂，因此原級數(shù)也收斂.(2)(為某一確定的自然數(shù))解：因為級數(shù)收斂，而級數(shù)相當于級數(shù)去除前項后的新級數(shù)也收斂.(3)解：因為級數(shù)收斂，所以，故，即級數(shù)發(fā)散.練習10.31.用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1)；解：

3、因為通項，而級數(shù)為收斂的幾何級數(shù)，根據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂.(2)；解：因為通項，而級數(shù)為收斂的-級數(shù)，根據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂.(3)；解：因為通項，而級數(shù)相當于發(fā)散調(diào)和級數(shù)，根據(jù)比較判別法，級數(shù)發(fā)散.(4)；解：因為通項，又調(diào)和級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)也發(fā)散.(5)；解：令，顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)也收斂.(6)；解：令，顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)也收斂.(7)；解：令，顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級數(shù)也收斂.(8).解：因為通項，參照級數(shù)為收斂

4、的-級數(shù)，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)也收斂.2.用比值判別法或根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1)；解：因為，根據(jù)比值判別法，原級數(shù)收斂.(2)；解：因為，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)發(fā)散.(3)；解：因為，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)收斂.(4)；解：因為，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)收斂.(5)；解：因為，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)收斂.(6).解：因為，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)收斂.3. 判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂：(1)；解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，令，由于，且，根據(jù)交錯級數(shù)收斂判別法，該級數(shù)收斂.又由于是發(fā)散的調(diào)和級數(shù)，因此原級數(shù)條件收斂.(2)；解：由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因

5、此原級數(shù)發(fā)散.(3)；解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，其對應(yīng)的正項級數(shù)收斂，因此該級數(shù)絕對收斂.(4)；解：令，由于，而級數(shù)是收斂的-級數(shù)，根據(jù)比較判別法級數(shù)收斂，因此原級數(shù)絕對收斂.(5).解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，令，根據(jù)-級數(shù)的收斂性質(zhì)，我們知道，時，收斂，因此原級數(shù)絕對收斂；時，發(fā)散，且，根據(jù)萊布尼茨判別法，原級數(shù)收斂，且為條件收斂；時，單調(diào)遞增，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散.練習10.41.求下列冪級數(shù)的收斂域：(1)解：令，收斂半徑，收斂區(qū)間為，當時，級數(shù)發(fā)散，當時，級數(shù)收斂，所以原級數(shù)的收斂域為.(2)解：令，所以收斂半徑為，原級數(shù)的收斂域為.(3)解：令，所以收斂半徑為，原級數(shù)只在處

6、收斂.(4)解：令，原關(guān)于的冪級數(shù)化為關(guān)于的冪級數(shù)，收斂半徑， 的收斂半徑為，當時，級數(shù)發(fā)散，因此，原冪級數(shù)的收斂域為.(5)解：設(shè)，原關(guān)于的冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的冪級數(shù).,冪級數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為因此冪級數(shù)的收斂半徑也為，收斂區(qū)間為，當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，因此，冪級數(shù)的收斂域為.2.利用例10-33的結(jié)果，求級數(shù)的和.解：根據(jù)例10-33，.3.求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和.解：設(shè)，兩邊同時對求導，得，兩邊同時在上積分，得，由，得，即，.練習 10.51. 寫出下列函數(shù)的階麥克勞林公式：(1)解：，在0到之間，(2)解：時，其中，.2.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求收斂域：(1

7、)；解：由于,所以,(2)；解:由于,(3).解:根據(jù),可知，兩邊在上積分，由于，所以，3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解：對求導，得 由于，所以，上式兩邊在區(qū)間上積分，得，由于，因此，.4.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值：(1)（精確到0.001）解：根據(jù)，在到之間時，只要 ，即只要當時，所以只要去展開式的前5項就可得到滿足精度的近似值：(2)（精確到0.001）解：根據(jù),取，當，(3)（精確到0.0001）解：根據(jù)，在0到之間，取，當時，取展開式的前3項即可得到近似值：(4)（精確到0.0001）；解：習 題 十1.選擇題：（1）若級數(shù)收斂，則（ ）；A.級數(shù)收斂B.級數(shù)收斂C.級數(shù)收

8、斂D.級數(shù)收斂答案：A，B，C，D，（*本題好像有問題）（2）若級數(shù)收斂，且，則必定（ ）；A.收斂 B. 發(fā)散C.可能收斂,可能發(fā)散 D. 以上都不對答案：C（3）是級數(shù)發(fā)散的（ ）； A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件答案：A（4）已知，則（ ）；A.收斂于0 B.收斂于 C.收斂于 D.發(fā)散答案：C（5）若級數(shù)，均發(fā)散，則（ ）；A.發(fā)散 B.發(fā)散C.發(fā)散 D.發(fā)散答案：C（6）若級數(shù)收斂，則必有（ ）；A. 收斂 B. 收斂C. D. 發(fā)散答案：D（7）級數(shù)收斂是級數(shù)收斂的（ ）；A.必要條件 B.充分條件 C.充要條件 D.無關(guān)條件答案：B（8）設(shè)為正項

9、級數(shù)，則（ ）；A.若，則收斂B. 若收斂，則收斂C. 若收斂，則收斂D. 與的斂散性互不相關(guān)答案：B（9）設(shè)對,總有不等式成立，則（ ）；A. ，收斂，則必有收斂B. 若，發(fā)散，必有發(fā)散C. D. 以上結(jié)論均不成立答案：A（10）若正項級數(shù)收斂，且其和為，則下列敘述不正確的是（ ）；A. 為任意自然數(shù),收斂（*本選項原題有誤）B.和都收斂C.收斂，且D. 可能收斂，可能發(fā)散答案：D（11）級數(shù)發(fā)散，因為（ ）；A它是級數(shù)，且 B.C.，通項不趨于0 D. 以上都不對答案：C（12）設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（ ）；A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散 D.收斂性取決于的值答案：C（13）設(shè)，則下列級數(shù)中必

10、收斂的是（ ）；A. B. C. D.答案：C（14）若級數(shù)（為實數(shù)）條件收斂，則有（ ）.A. B. C. D.答案：D（15）若冪級數(shù)在處發(fā)散，則該級數(shù)的收斂半徑（ ）；A. B. C. D.答案：D （16）對于冪級數(shù)，下列敘述不正確的是（ ）；A.原點是它的收斂點B.其收斂域是一個以原點為中心的區(qū)間C.其收斂半徑D.它的收斂域有可能為空集答案：D（17）若級數(shù)在時收斂，則級數(shù)在時（ ）；A.條件收斂 B.絕對收斂 C.發(fā)散 D.不能確定答案：B （18）若級數(shù)在時發(fā)散，在處收斂，則常數(shù)（ ）；A.1 B. C.2 D.答案：B（19）級數(shù)的和函數(shù)是（ ）；A.B. C. D.答案：D（

11、20）已知級數(shù)，則（ ）.A.B. C. D.答案：C2.填空題：（1）若冪級數(shù)的部分和序列為，則_，_；答案：，（2）若級數(shù)，則級數(shù)_；答案：（3）若級數(shù)收斂，則的取值范圍為_；答案：（4）冪級數(shù)的收斂域為_；答案：或（5）若冪級數(shù)在實軸上收斂，則滿足條件_；答案：（6）_；答案：（7）_.答案：3.判斷題：（1）如，則級數(shù)收斂； （ ）答案：錯（2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)收斂； （ ）答案：錯（3）如級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂，必推得級數(shù)收斂； （ ）答案：對（4）； （ ）答案：錯（5）若對，總有不等式成立，則如級數(shù)發(fā)散，也發(fā)散；（ ）答案：錯（6）若級數(shù)中加括號后發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散； （ ）答

12、案：對（7）若正項級數(shù)收斂，則必有； （ ）答案：錯（8）若級數(shù)收斂，則也收斂，其中為一個非零常數(shù)； （ ）答案：錯（9）由展開式，有；（ ）答案：錯（10）若為收斂的正項級數(shù)，為正項級數(shù)，且，則當時，級數(shù)發(fā)散； （ ）答案：錯（11）若 為發(fā)散正項級數(shù)，則必有； （ ）答案：錯（12）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂； （ ）答案：對（13）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散； （ ）答案：對（14）若對正項級數(shù)，總有，則該級數(shù)收斂； （ ）答案：錯（15）若對任意項級數(shù)，總有，則該級數(shù)發(fā)散； （ ）答案：對（16）若對，總有不等式，則必有； （ ）答案：錯（17）若，則級數(shù)與有相同的斂散性. （ ）答案：錯4.

13、根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；解：，所以原級數(shù)發(fā)散.(2)；解：,，原級數(shù)收斂，且收斂于2.(3).解：原級數(shù)收斂，且收斂于3.5.已知級數(shù)的部分和，寫出這個級數(shù).解：由，可知，顯然此時，不難知道，因此該級數(shù)為.6.判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；解：本級數(shù)通項的分子分母的最高次數(shù)都是3，顯然，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散.（2）；解：本級數(shù)通項，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散.（3）；解：顯然級數(shù)和都是公比的絕對值小于1的幾何級數(shù)，均收斂，因此原級數(shù)收斂.（4）；解：幾何級數(shù)的公比滿足，該級數(shù)收斂，在該級數(shù)前加上3項后得到的新級數(shù)也收斂，即原級數(shù)收

14、斂.（5）； 解：時，該級數(shù)的通項，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故該級數(shù)發(fā)散.（6）.解：該級數(shù)通項，由于，因此.因為，幾何級數(shù)收斂，因此原級數(shù)收斂.7. 用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；解：由于，而是收斂的幾何級數(shù)，根據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂.（2）；解：由于，而級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂.（3）；解：由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法，級數(shù)發(fā)散.（4）；解：當時，而幾何收斂，根據(jù)比較判別法，級數(shù)也收斂，因此原級數(shù)也收斂.（5）；解：由于，而級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法的極限形式，級數(shù)收斂.（6）.解：由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，級數(shù)發(fā)散.8.用比值判別法或根

15、值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；解：本級數(shù)應(yīng)該用根值判別法判別其斂散性.,由根值判別法，級數(shù)發(fā)散.（2）；解：該級數(shù)通項，令，根據(jù)比值判別法，級數(shù)收斂，再由比較判別法，原級數(shù)收斂.（3）；解：，由比值判別法，原級數(shù)發(fā)散.（4）；解：，由比值判別法，原級數(shù)發(fā)散.（5）；解：由根值判別法，原級數(shù)收斂.（6）；解：由比值判別法，原級數(shù)收斂.（7）；解:由根值判別法，原級數(shù)收斂.（8）（其中）且）；解:由根值判別法，當時，原級數(shù)收斂；當時，原級數(shù)發(fā)散.（9）.解：由比值判別法，原級數(shù)收斂.9.判定下列級數(shù)的斂散性：（1）； 解：由比值判別法，原級數(shù)收斂.（2）； 解：由于級數(shù)發(fā)散，級數(shù)收斂，所以

16、原級數(shù)發(fā)散.（3）；解：設(shè)，由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，原級數(shù)也發(fā)散.（4）； 解： ，根據(jù)比值判別法，原級數(shù)收斂.（5）； 解：，根據(jù)根值判別法，原級數(shù)收斂.（6）；解：該級數(shù)通項，令，顯然級數(shù)是收斂的級數(shù)，又根據(jù)比較判別法的極限形式，原級數(shù)收斂.（7）； 解：令，顯然調(diào)和發(fā)散，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，原級數(shù)也發(fā)散.（8）；解：該級數(shù)通項，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故原級數(shù)發(fā)散.（9）；解：記，令，由于，而級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)也收斂.（10）；解：，由于級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法， 級數(shù)也收斂，因此原級數(shù)也收斂，（并且是絕對收斂）.（11）；解：令，而級數(shù)

17、是收斂的幾何級數(shù)，根據(jù)比較判別法，原級數(shù)也收斂.（12）.解：時，此時原級數(shù)發(fā)散；時，此時原級數(shù)也發(fā)散；時，根據(jù)比值判別法，原級數(shù)收斂.10.下列級數(shù)哪些是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散的：（1）； 解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，令，且，根據(jù)Leibniz判別法，原級數(shù)收斂，（2）；解：（3）解：（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解：（8）；解：（9） （）； 解：（10）；解：（11）； 解：（12）；解：(13)； 解：（14）；解：（15）.解：11.討論級數(shù)的收斂性.12.討論級數(shù)的收斂性.13.證明：當時，級數(shù)絕對收斂.14.證明：（1）設(shè)正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂，試問反之是否成立？（2）設(shè)，且數(shù)列有界，證明級數(shù)收斂；（3）若級數(shù)，收斂，證明絕對收斂；（4）設(shè)級數(shù)收斂，證明級數(shù)（）也收斂；15.設(shè)級數(shù)絕對收斂，試證：有的一切正項組成的級數(shù)是收斂的；有的一切負項組成級數(shù)也是收斂的.16.證明：，其中為常數(shù)且.17.確定下列冪級數(shù)的收斂域：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）；（8）.18.將下列函數(shù)展開成關(guān)于的冪級數(shù)，并求收斂域