微積分同步練習(xí)

1、§8.1向量及其線性運(yùn)算（1）、（2）、（3）、（4）一、 設(shè)，試用表示二、為三個(gè)模為1的單位向量，且有成立，證明：可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形三、 把的邊四等分，設(shè)分點(diǎn)依次為，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)連接，試以表示向量和四、 已知兩點(diǎn)和，試用坐標(biāo)表示式表示向量及五、 在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？并畫出前兩個(gè)：，六、 指出下列各點(diǎn)的位置，觀察其所具有的特征，并總結(jié)出一般規(guī)律：，七、 求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面；（2）各坐標(biāo)軸；（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)§8.1向量及其線性運(yùn)算（5） §8.2數(shù)量積 向量積一、 試證明以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形二、 設(shè)已知兩點(diǎn)

2、，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角，并求與方向一致的單位向量三、 設(shè)，求在軸上的投影及在軸上的分向量四、 已知為三個(gè)模為1的單位向量，且，求之值五、 已知，計(jì)算：； ； 六、 設(shè)，問(wèn)滿足何關(guān)系時(shí)，可使與軸垂直？七、 已知，求的面積§8.3曲面及其方程一、 一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程二、 方程表示什么曲面？三、 將平面上的雙曲線分別繞軸及軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程四、 指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形？； 五、 說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？； 六、 指出下列方程所表示的曲面：； ； §8.4空間曲線及其方程 §8

3、.5平面及其方程(1)一、 填空題：1曲面與平面的交線圓的方程是，其圓心坐標(biāo)是，圓的半徑為2曲線在面上的投影曲線為3螺旋線,在面上的投影曲線為4上半錐面（）在面上的投影為，在面上的投影為，在面上的投影為二、 選擇題：1方程在空間解析幾何中表示（）、橢圓柱面（）、橢圓曲線（）、兩個(gè)平行平面（）、兩條平行直線2參數(shù)方程的一般方程是（）、 (B)、 (C)、 (D)、3平面的位置是 （）、平行坐標(biāo)面。（）、平行軸 （）、垂直于軸（）、通過(guò)軸4下列平面中通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的平面是 （）、 ()、 (C)、 (D)、三、 化曲線為參數(shù)方程 四、 畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形：； . 五、 求通過(guò)三點(diǎn)、和的平

4、面方程§8.5平面及其方程(2)(3) §8.6空間直線及其方程一、 填空題：過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面方程為過(guò)點(diǎn)且與二平面和平行的直線方程是4當(dāng)時(shí)，直線與平面平行二、 選擇題：1下列直線中平行與坐標(biāo)面的是（A） （C） （B） （D）2直線與平面的關(guān)系是 （A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直3設(shè)直線與，則與的夾角為（A）/6 （B）/4 （C）/3 （D）/24兩平行線與之間的距離是（） （） （） （）三、 設(shè)直線通過(guò)，且與相交，又與垂直，求直線的方程四、 求通過(guò)軸，且與平面的夾角為的平面方程五、 求通過(guò)點(diǎn)，且又通過(guò)直線的平

5、面方程六、 設(shè)直線，（）求證與相交，并求交點(diǎn)坐標(biāo)；（）求與交角；（）求過(guò)與交點(diǎn)且與垂直的平面方程；（）求過(guò)且與垂直的平面方程；（）求在上的投影直線方程第八章 習(xí)題課一、 選擇題：1若直線和直線相交，則=.（A） （B） （C） （D2母線平行于軸且通過(guò)曲線的柱面方程是.（A） (B)(C) (D)3曲線的參數(shù)方程是.（） (B)（C） (D)二、 填空題：1已知與垂直，且=5，=12，則，=.2.一向量與軸和軸成等角，而與軸組成的角是它們的二倍，那么這個(gè)向量的方向角 ，.3已知從原點(diǎn)到某平面所作的垂線的垂足為點(diǎn)，則該平面方程為.三、證明：與垂直.四、求原點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn).五、求過(guò)點(diǎn)垂直于直線

6、，且平行于平面的直線方程.六、求過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直相交的直線方程.七、討論兩直線與的位置關(guān)系.§9.1 多元函數(shù)的基本概念一、 已知 ，求。二、 求下列函數(shù)的定義域：1 2. 3三、求下列極限，若不存在，說(shuō)明理由。1 2.3 4. 四、討論函數(shù)的連續(xù)性。五、設(shè)，證明：對(duì)任意，在處連續(xù)。§9.2 偏導(dǎo)數(shù) §9.3全微分(1)一、 計(jì)算：1. 設(shè)，求，。2. 設(shè)函數(shù), ,且,，求。二、 求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：1. 2.3.三、求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：1.2. 四、設(shè)，求證：。五、求下列函數(shù)的全微分：1. 2.3.，求。六、求在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。§9.4 多元復(fù)合

7、函數(shù)的求導(dǎo)法則一、 計(jì)算： 1. 設(shè),求。 2. ，其中可微,求。二、 設(shè),，求。三、 設(shè)，且可微，求。四、 設(shè)，求。五、 已知, 。六、 設(shè)，其中連續(xù)偏導(dǎo)，求。七、 設(shè)，求。八、 設(shè)函數(shù)滿足, 作變換，求證：。§9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 §9.6 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用（1）1. 設(shè)，求。2. 設(shè)，求，。3. 設(shè)，其中可微，求。4. 設(shè)，可微，求。5. 設(shè)，求及。6. 設(shè)，求、。7. 證明由方程（可微）確定的函數(shù)滿足：。8. 求曲線，在處的切線和法平面方程。9. 求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程。10求曲線，在點(diǎn)處的切線和法平面方程。§9.6 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用（

8、2） §9.7 方向?qū)?shù)和梯度1. 求曲面在點(diǎn)處的切平面與法線方程。2. 求曲面上平行于平面的切平面方程。3. 求函數(shù)在點(diǎn)處，沿從點(diǎn)到的方向的方向?qū)?shù)。4. 求函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值。5. 設(shè)，求。6. 求在點(diǎn)處的梯度，并求該梯度方向的方向?qū)?shù)。7. 求在點(diǎn)處沿曲線的內(nèi)法向量的方向?qū)?shù)。8. 設(shè)是曲面在點(diǎn)處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。9. 試證：曲面上任意一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸所圍四面體體積為常數(shù)。§9.8 多元函數(shù)的極值及其求法1. 求的極值。2. 求的極值點(diǎn)及極值。3. 求在條件下的極值。4. 設(shè)，求在條件下的極值。5. 設(shè)，求在區(qū)域上的最大值

9、與最小值。6. 求曲線上到坐標(biāo)面距離最短的點(diǎn)。7. 求內(nèi)接于橢球面且棱平行于坐標(biāo)軸的體積最大的長(zhǎng)方體。8. 求周長(zhǎng)為的三角形的最大面積。第九章 習(xí)題課1. 求偏導(dǎo)數(shù)：（1）（2）2. 已知，求。3. 設(shè)，其中具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。4. 設(shè)，而由方程確定，其中、一階連續(xù)可導(dǎo)，求。5. 設(shè)，二階可導(dǎo)，求：、。6. 設(shè)，及點(diǎn)，（1）試求：；（2）若在處取最大值，求。7. 設(shè)滿足方程，且，求。8. 證明：錐面上任一點(diǎn)的切平面都經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn)。9. 求周長(zhǎng)為定值的三角形，使它繞自己的一邊旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積最大者。§10.1 二重積分的概念與性質(zhì) §10.2 二重積分的計(jì)算法（1）1.

10、 利用二重積分的幾何意義計(jì)算：（1）（2）由 所圍，求2. 利用估值定理估計(jì)下列積分的值：（1）（2）3. 比較下列積分的大?。海?）、（2）、，4. 計(jì)算：（1）（2）5. 畫出積分區(qū)域，并計(jì)算：（1），其中由所圍（2），其中6. 交換積分次序：（1）（2）（3）§10.2 二重積分的計(jì)算法（1）（續(xù)）（2）1. 畫出下列積分區(qū)域，并把化為極坐標(biāo)系下的二次積分：（1）（2）2. 將下列二次積分化為極坐標(biāo)形式并計(jì)算：（1）（2）3. 利用極坐標(biāo)計(jì)算：（1）（2）4. 計(jì)算二重積分：（1），是由，直線圍成（2），其中為5. 求圓錐體被柱面所截下部分的體積。6. 用二重積分表示由三個(gè)坐標(biāo)

11、面及所圍立體的體積，并計(jì)算之。§10.3 三重積分（1）（2）1 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別為：（1）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域（2）由曲面及所圍成的閉區(qū)域2 計(jì)算，其中為。3 計(jì)算，其中為平面所圍成的四面體。4 利用三重積分計(jì)算由曲面及所圍成的立體的體積。§10.3 三重積分（2）續(xù)1 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域（2），其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域2 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域（2），其中閉區(qū)域由不等式所確定3 利用三重積分計(jì)算由曲面及所圍成的立體的體積。§10.

12、4 重積分的應(yīng)用 第十章 習(xí)題課（1）1 求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍立體的表面積。2 求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積。3 計(jì)算下列二重積分：（1），其中（2），其中是圓周所圍成的閉區(qū)域（3），其中第十章 習(xí)題課（2）1 交換下列二次積分的積分次序：（1）（2）2 將化為極坐標(biāo)形式。3. 計(jì)算，其中。4. 求曲面包含在圓柱內(nèi)那部分的面積。5. 設(shè)可微，且，求，其中。6. 計(jì)算下列三重積分：（1），其中是：與的公共部分（2），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域（3），其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域§11.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 §11.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（1）1 計(jì)算下列

13、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（1），其中為（2），其中為由與所表示的圓的一周（3），其中為曲線上相應(yīng)于從變到的一段?。?），其中為內(nèi)擺線2 設(shè)為雙紐線：，求。§11.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（2）（3） §11.3 格林公式及其應(yīng)用（1）1 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中為及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的逆時(shí)針?lè)较蚶@行的整個(gè)邊界（2），其中為逆時(shí)針?lè)较蚶@行的圓周（3），其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線（4），其中為上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧2 將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為：（1）在平面內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段（2）沿的上半部分從點(diǎn)到點(diǎn)3 利用曲線積分計(jì)算星形線所圍圖形的面積。4 利用

14、格林公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中為三頂點(diǎn)分別為、和的三角形正向邊界（2），其中為，且為逆時(shí)針?lè)较?#167;11.3 格林公式及其應(yīng)用（2）（3）一、 驗(yàn)證下列曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并求積分值：1、2、沿在右半平面的路線二、利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中為圓周上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。三、驗(yàn)證下列是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)：1、2、四、在過(guò)點(diǎn)與的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到的積分的值最小。五、求可微函數(shù)，使關(guān)系式成立，其中為與軸不相交的任何閉曲線。第十一章 曲線積分及格林公式習(xí)題課一、 計(jì)算，其中為連接點(diǎn)、的閉折線。二、 計(jì)算，其中為圓周，直線和在第一象限內(nèi)圍成扇形的邊界。三、

15、計(jì)算，是從沿到的圓弧。四、計(jì)算曲線積分，其中為圓周的正向；為橢圓的正向。五、設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，計(jì)算。六、設(shè)曲線是正向圓周，是連續(xù)的正函數(shù)，證明：。§11.4 對(duì)面積的曲面積分 §11.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分(1)一. 計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：1. , 其中是上半球面2. , 其中為柱面被平面所截取的部分3. , 其中為平面在第一卦限的部分二. 求面密度為的拋物面殼的質(zhì)量。三. 如是坐標(biāo)面面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí), 曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?§11.5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分(2)(3) §11.6 高斯公式(1)一. 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的

16、曲面積分：1. , 其中是球面的上半部分并取外側(cè)2. , 其中是由平面和所圍的四面體表面并取外側(cè)二. 求流速場(chǎng)穿過(guò)曲面與平面所圍成的立體表面的流量。三. 試把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成對(duì)面積的曲面積分, 其中是平面在第一卦限的部分的上側(cè)。四. 利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中是，所圍正方體表面的外側(cè)。第十一章 曲面積分及高斯公式習(xí)題課一. 計(jì)算，為球面的外側(cè)。二. 設(shè)是球面的外側(cè)，求曲面積分。三計(jì)算為的下側(cè)。四.求曲面積分，為錐面與平面所圍成的區(qū)域的邊界曲面。五. 利用高斯公式計(jì)算曲面積分, 其中為界于和 之間的圓柱體的整個(gè)表面的外側(cè)。六. 計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,其中是平行六面體的表面并取外側(cè), 為

17、上的連續(xù)函數(shù)。§12.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) §12.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（1）一、根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：1. 2.二、判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：1. 2.3.三、若級(jí)數(shù)收斂于1，求級(jí)數(shù)的和。四、求級(jí)數(shù)的和。五、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：1. 2. 3. 4. §12.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（1）（2）（3）一、 用比值審斂法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：1. 2.3.二、 用根值審斂法判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：1. 2.3.，其中三、 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果是收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？1. 2.3.四、 設(shè)收斂，證明絕對(duì)收斂。§12.3

18、 冪級(jí)數(shù)一、 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：1. 2.3. 4.5.二、 設(shè)級(jí)數(shù)在處收斂，討論此級(jí)數(shù)在處的斂散性。三、 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：1. 2.四、 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求出級(jí)數(shù)的和。§12.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：1. 2.3. 4.二、將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：1.2.三、將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間。第十二章 習(xí)題課一、 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1） 若，是否一定發(fā)散？（2） 若，是否一定收斂？二、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，并且發(fā)散，判別的斂散性。三、判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性： 1. 2. 3. 4.四、討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性： 1. 2.五、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域： 1. 2.六、求級(jí)