數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽答案

1、輸油管道的鋪設(shè)設(shè)計(jì)符號(hào)約定m 煉油廠A到鐵路線L的距離n 煉油廠B到鐵路線L的距離b 煉油廠A、B間水平距離F 輸送管道的總費(fèi)用f 鋪設(shè)管道的附加費(fèi)用W 鋪設(shè)費(fèi)用的權(quán)重系數(shù) A廠鋪設(shè)非共用管線每千米的費(fèi)用 B廠鋪設(shè)非共用管線每千米的費(fèi)用 共用管線每千米的費(fèi)用問題一分析與模型建立最短路徑的存在性論證 如圖4.1，假設(shè)C點(diǎn)為在鐵路線上設(shè)計(jì)增建的車站，由費(fèi)爾馬問題的結(jié)論，在中，存在費(fèi)爾馬點(diǎn)P，使點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)距離之和小于三角形二邊之和，即有 PA+PB+PC<AC+BC 圖4.1且時(shí)，費(fèi)爾馬點(diǎn)P在內(nèi)部而當(dāng)時(shí)，費(fèi)爾馬點(diǎn)P與C點(diǎn)重合。 為此有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，鋪設(shè)公用管道的輸送費(fèi)用比不鋪設(shè)公用管道費(fèi)

2、用低；當(dāng)時(shí)，不需要鋪設(shè)公用管道，即公用管道=0。問題一分析與模型建立如圖4.1，以煉油廠A、B間鐵路線所在直線為軸，以過(guò)煉油廠A且垂直于鐵路線L直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并設(shè)非公用管道的費(fèi)用為每千米1個(gè)單位，公用管道的費(fèi)用為每千米個(gè)單位（下同），根據(jù)實(shí)際意義易知。根據(jù)參考文獻(xiàn)1，點(diǎn)P不可能在A的上方，故。易得，A點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)P平行于軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)（0，2t-m）。 由費(fèi)爾馬點(diǎn)的應(yīng)用及平面幾何對(duì)稱性有 為此，得到鋪設(shè)管道的最優(yōu)模型 4-1問題一模型求解對(duì)模型分兩種管道費(fèi)用相同與不同兩種情形研究，并根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)不同的取值，進(jìn)行A、B不同位置

3、時(shí)管道鋪設(shè)設(shè)計(jì)。1公用管道與非公用管道費(fèi)用不同，即時(shí)模型的求解已知A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)（0，2t-m）求一階導(dǎo)數(shù)，令求解： 或（舍去）又可得： （1）如圖4.2，在時(shí)，易判斷，即為單調(diào)遞減。圖4.2此時(shí)，易得點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，m）, 即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，最優(yōu)管道鋪設(shè)方案為折線BA-AC。亦即車站建在（0，0），費(fèi)用最小，且。特別的，當(dāng)b=0時(shí)，兩個(gè)煉油廠同位于垂于鐵路線的直線上，車站建在點(diǎn)（0，0）點(diǎn)，最優(yōu)管道鋪設(shè)方案如圖4.3，且輸送管道鋪設(shè)費(fèi)的最優(yōu)解為。 圖4.3（2）如圖4.4,當(dāng) 時(shí)，易判斷在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。 由可知的坐標(biāo)為 圖4.4 直線AB的方程為；直線y=t的方程聯(lián)立方程組得：

4、 P的坐標(biāo)點(diǎn)為（），最優(yōu)管道鋪設(shè)方案如圖4.5所示。圖4.5且。特別的，如圖4.6所示，當(dāng)m=n時(shí)，兩個(gè)煉油廠位于平行于鐵路線的直線上，且煉油廠A、B所成的時(shí)，P點(diǎn)為（），車站建在點(diǎn)。圖4.6最優(yōu)管道鋪設(shè)方案如圖4.6所示，費(fèi)用最小值為。（3）如圖4.7，在時(shí)，易判斷，即單調(diào)遞增。此時(shí)的坐標(biāo)為，直線B的方程為令y=0 得 圖4.7 所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，亦即車站建在（，0），且。特別的，如圖4.8所示，當(dāng)m=n時(shí)，兩個(gè)煉油廠位于平行于鐵路線的直線上，且煉油廠A、B所成的時(shí)，車站建在點(diǎn)（，0）點(diǎn)。圖4.82 公用管道與非公用管道費(fèi)用相同，即時(shí)模型求解根據(jù).1的結(jié)論，將代入有：（1）如圖4

5、.2，在時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，m）, 即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，最優(yōu)管道鋪設(shè)方案為圖4.2折線BA-AC。亦即車站建在（0，0），且。特別的，當(dāng)b=0時(shí)，兩個(gè)煉油廠同位于垂于鐵路線的直線上，車站建在點(diǎn)（0，0）點(diǎn)，最優(yōu)管道鋪設(shè)方案如圖4.3，且輸送管道鋪設(shè)費(fèi)的最優(yōu)解為。（2）如圖4.4,當(dāng) 時(shí)，P的坐標(biāo)點(diǎn)為（），車站建在（）時(shí)，費(fèi)用最小，且。特別的，如圖4.6所示，當(dāng)m=n時(shí)，兩個(gè)煉油廠位于平行于鐵路線的直線上，且煉油廠A、B所成的時(shí)，車站建在點(diǎn)（，0）點(diǎn)。最優(yōu)管道鋪設(shè)方案如上圖4.6所示，且。（3）當(dāng)時(shí)，如圖4.7所示，由于不鋪設(shè)公用管道，車站建設(shè)位置及最優(yōu)鋪設(shè)方案與圖4.7相同。問題二求解 針對(duì)實(shí)

6、際問題，根據(jù)參考文獻(xiàn)2,可根據(jù)層次分析法（AHP）可得 圖4.11 依據(jù)圖4.11建立目標(biāo)層（資質(zhì)評(píng)價(jià)），準(zhǔn)則層和方案層關(guān)系，表4.1，城市管道鋪設(shè)權(quán)重系數(shù)運(yùn)算 4-5根據(jù)參考文獻(xiàn)2，依中華人民共和國(guó)法令以及號(hào)令，對(duì)甲級(jí)資質(zhì)和乙級(jí)資質(zhì)公司各相關(guān)回來(lái)分析對(duì)比分析，有相關(guān)的數(shù)據(jù)表：表4.3公司資質(zhì)數(shù)據(jù)表序號(hào)名稱甲級(jí)乙級(jí)A1注冊(cè)資金100萬(wàn)元50萬(wàn)元A2技術(shù)人員20人12人A3負(fù)責(zé)人工作年限15年10年A4專職專業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)職員12人8人根據(jù)工程裝價(jià)咨詢的性質(zhì)，對(duì)于工程總價(jià)目標(biāo)的重要性，用表4.3數(shù)值表示 表4.4元素標(biāo)度規(guī)則1以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素j相比，具有同樣重要3以上一層某

7、個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素j相比，具有稍微重要5以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素j相比，具有明顯重要7以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素j相比，具有強(qiáng)烈重要根據(jù)表4.3建立一致正互反矩陣（逆稱矩陣）運(yùn)用MATLAB軟件，求解矩陣A的權(quán)重w(具體編程運(yùn)算見附件一)：W=(0.5966,0.1989,0.1193,0.0852)表4.5A1A2A3A4甲級(jí)100/15020/3215/2512/20乙級(jí)50/15012/3210/258/20如表4.4，運(yùn)用模型4-5對(duì)甲級(jí)城市管道鋪設(shè)權(quán)重系數(shù) 0.6447同理，乙級(jí)城市管道鋪設(shè)權(quán)重系數(shù) 0.3553易判斷=0.6447運(yùn)用

8、4-4模型，鋪設(shè)管道的附加費(fèi)為 f=21.5243圖4.15如圖4.15，設(shè)x軸上有一點(diǎn)C使得中最大。構(gòu)造圓的方法，來(lái)求解；因此，在圖4.15的基礎(chǔ)上，以AB為直徑構(gòu)造圓，如圖4.16圖4.16圖4.16中,A(0,5),B(20，8)，可得圓方程： 4-6圓交于x軸于點(diǎn)D，E，運(yùn)用模型4-6 解得C(2.2540,0),D(17.7460,0)X軸上線段CD以外的點(diǎn)與點(diǎn)A,B組成的均小于，如因此，若線段CD間存在最大角且小于120 ，則證明存在費(fèi)爾馬點(diǎn)；做CD的中垂線，連接AF,BF，可知CD間的最大角,證明如下：=同理，可得運(yùn)用 =-0.395486故直線CD外存在費(fèi)爾馬點(diǎn)。圖4.12方案

9、一，如圖4.12，已知b=8 , a=5 , c=15 , l=20 ; 則可得A（0，5） ； B（20，8）根據(jù)問題一模型4-3的方案設(shè)計(jì) 已知， 由此可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（7.4019，0.7265）運(yùn)用斜率式求解得直線的方程 又點(diǎn)F在直線，確定點(diǎn)F（15，5.1125）由兩點(diǎn)間的距離公式得附加費(fèi)的路徑 5.7739 =23.8205方案一的相應(yīng)鋪設(shè)管道費(fèi)用： *f+*7.2=295.78方案二，為了使鋪設(shè)管道費(fèi)用減少，在減少附加費(fèi)用的基礎(chǔ)上，來(lái)減少附加費(fèi)用的路徑，因此我們?cè)趨^(qū)域I和區(qū)域II之間的分界線上引入一個(gè)拐點(diǎn),如圖4.13圖4.13由圖4.13，可知鋪設(shè)管道費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)： 由lingo軟件（步驟見附件二）運(yùn)算得 282.8197對(duì)比方案一與方案二的鋪設(shè)費(fèi)用 295.78> 282.8197因此，方案設(shè)計(jì)如圖4.14 圖4.14則此時(shí)，最省的鋪設(shè)費(fèi)用為 282.8197問題3 根據(jù)已知條件，則可建立問題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型： s.t. 利用LINGO軟件求解（見附件3）得： 252.091