數學分析試題庫證明題

1、數學分析題庫（1-22章）五證明題1設A，B為R中的非空數集，且滿足下述條件：（1）對任何有；（2）對任何，存在，使得.證明：2.設A，B是非空數集，記，證明：（1）；（2）3. 按定義證明4.如何用-N方法給出的正面陳述？并驗證|和|是發(fā)散數列.5.用方法驗證：.6 用方法驗證：.7 . 設，在某鄰域內，又證明.8.設在點的鄰域內有定義.試證：若對任何滿足下述條件的數列，（1），（2），都有，則.9. 證明函數在處連續(xù)，但是在處不連續(xù).10.設在（0，1）內有定義，且函數與在（0，1）內是遞增的，試證在（0，1）內連續(xù).11. 試證函數，在上是不一致連續(xù)的.12. 設函數在（a,b）內連續(xù)，

2、且=0，證明在（a,b）內有最大值或最小值.13. 證明：若在有限區(qū)間（a,b）內單調有界函數是連續(xù)的，則此函數在（a,b）內是一致連續(xù)的.14 . 證明：若在點a處可導，f（x）在點a處可導.15. 設函數內可導，在a,b上連續(xù)，且導函數嚴格遞增，若證明，對一切均有16. 設函數在內可導，并且，試證：若當時，有則存在唯一的使得，又若把條件減弱為，所述結論是否成立？17. 證明不等式18.設為上的連續(xù)函數，對所有，且，證明必能取到最大值.19. 若函數在上二階可導, 且，則存在使得.20. 應用函數的單調性證明21. 設函數 （為實數），試問：（1）等于何值時，在連續(xù)；（2）等于何值時，在可導

3、； （3）等于何值時，在連續(xù)；22. 設在上具有二階導數，且滿足條件，其中都是非負常數，是內的任一點，證明23. 設函數上連續(xù)，在（a,b）內二階可導，則存在使得24. 若在點的某個領域上有階連續(xù)導函數,試由泰勒公式的拉格朗日型余項推導佩亞諾型余項公式.25. 用泰勒公式證明:設函數在上連續(xù),在內二階可導,則存在,使得.26. 設函數在上二階可導,且在上,.證明在上成立.27. 設是開區(qū)間I上的凸函數,則對任何,在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,即存在,對任何,成立.28. 設在 上滿足Lipschitz條件：, 證明在上一致連續(xù).29. 試證明方程在區(qū)間內有唯一實根。30. 設函數

4、在點具有連續(xù)的二階導數，試證明：31. 設在上可導，且.求證：存在，使.32. 設在上連續(xù)，在內有階導數，且存在個點滿足：求證：存在，使. 33. 設函數在點存在左右導數，試證在點連續(xù).34. 設函數在上可導，證明：存在，使得.35應用拉格朗日中值定理證明下列不等式：，其中.36.證明:任何有限數集都沒有聚點.37.設是一個嚴格開區(qū)間套,即滿足,且.證明:存在唯一的一點,使得.38.設為單調數列.證明:若存在聚點,則必是唯一的,且為的確界.39.若函數在閉區(qū)間上連續(xù),證明在上一致連續(xù).40.若函數在閉區(qū)間上連續(xù), 證明在上有界.41.若函數在閉區(qū)間上連續(xù),證明在上有最大值.42.若函數在閉區(qū)間

5、上連續(xù)且單調增加,證明為上的增函數.43.函數在閉區(qū)間上連續(xù).證明.44.若函數在閉區(qū)間上單調,證明在上可積.45.若函數在閉區(qū)間上連續(xù),且不恒等于零,證明.46.設函數為上以為周期的連續(xù)周期函數.證明對任何實數,恒有.47.若函數在上連續(xù),且,證明.48.若函數和在上可積,證明.49.若函數在上可積,且為偶函數,證明.50.若函數在上可積,證明函數在上連續(xù).51.若函數在閉區(qū)間上連續(xù),且.若為介于與之間的任何實數,則存在,使得.52. 若函數在上連續(xù),證明函數在上處處可導,且.53.若數列有,則級數發(fā)散.54.設為正項級數,且存在常數,使得對一切,成立.證明級數收斂.55.設和為正項級數,且

6、對一切,成立.級數收斂.證明級數也收斂.56.設正項級數收斂.證明級數也收斂.試問反之是否成立?57.設,且有界,證明級數收斂.58.設級數收斂.證明級數也收斂.59.若,且級數絕對收斂,證明級數也收斂. 若上述條件中只知道級數收斂,能推得級數也收斂嗎?60.設,證明級數收斂.61. . 證明在內, .62. 設數列單調收斂于零.試證明:級數在區(qū)間 上一致收斂.63. 幾何級數 在區(qū)間上一致收斂；但在內非一致收斂.64. 設數列單調收斂于零 . 證明 : 級數 在區(qū)間 上一致收斂.65. 證明級數在R內一致收斂 . 66. 證明函數滿足微分方程 .67. 設 證明對存在并求其值.68. 證明：

7、冪級數的和函數為,.并求級數和Leibniz級數的和.69. 證明：冪級數的和函數為 , .并利用該冪級數的和函數求冪級數的和函數以及數項級數的和.70. 證明冪級數的和函數為，并利用該冪級數的和函數求數項級數的和.71. 設是以為周期的分段連續(xù)函數, 又 滿足.求證 的Fourier系數 滿足72. 設是以為周期的分段連續(xù)函數, 又設 是偶函數，且滿足.求證： 的Fourier系數73求證函數系是上的正交函數系.74設是以為周期的連續(xù)的偶函數。又設關于對稱，試證：的傅立葉系數：.75. 設是以為周期的可微周期函數，又設連續(xù)，是的Fourier系數.求證：.76. 證明極限不存在。77. 用極

8、限定義證明： 78. 證明極限不存在.79. 設在 連續(xù)，證明：對在連續(xù).80. 證明：如果在 連續(xù)，且，則對任意,對一切有81. 證明：在點處連續(xù)且偏導數不存在.82. 證明； 在點連續(xù)，且不存在.83. 證明在 點處連續(xù)且偏導數存在.84. 設 函數在的某鄰域內存在偏導數，若屬于該鄰域，則存在和 ， 使得 。85. 證明： ,在點不可微.86. 證明: 對任意常數, 球面與錐面是正交的.87. 證明: 以為參數的曲線族是相互正交的(當相交時).88. 證明: 由方程所確定的隱函數滿足,其中二階可導.89. 設, 證明90. 證明含參量反常積分在上一致收斂，但在內不一致收斂。91. 證明含參

9、量的反常積分為常數是一致收斂的.92. 證明含參量的反常積分是一致收斂的.93. 若在內可積, 證明.94.證明在整個XY平面上是某個函數的全微分, 并找出這樣一個原函數. 95.設一力場為 F i +j . 證明質點在此力場內移動時, 場力所作的功與路徑無關. 96.證明, 其中L是球面 與平面 的交線 ( 它是圓周 ) , 從X軸的正向看去, 此圓周呈逆時針方向.97.證明, 其中L是圓柱面與平面 的交線(它是橢圓 ) , 從X軸的正向看去, 此橢圓周呈逆時針方向.98.證明=,其中L是圓柱面與平面( )的交線( 它是橢圓 ) , 從X軸的正向看去 , 此橢圓周呈逆時針方向.99.證明：若為有界閉區(qū)域D上的非負連續(xù)函數，且在D上不恒為零，則. 100.證明二重積分=，其中.101.設是上的正值連續(xù),則.102.設在