數(shù)學(xué)建模作業(yè)答案章紹輝

1、習(xí)題2作業(yè)講評(píng)1. 繼續(xù)考慮2.2節(jié)的“汽車剎車距離”案例，請(qǐng)問“兩秒準(zhǔn)則”和“一車長(zhǎng)度準(zhǔn)則”一樣嗎？“兩秒準(zhǔn)則”是否足夠安全？對(duì)于安全車距，你有沒有更好的建議？（“兩秒準(zhǔn)則”，即后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始，默數(shù)2秒之后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何. 剎車距離與車速的經(jīng)驗(yàn)公式，速度單位為m/s，距離單位為m）解答 （1）“兩秒準(zhǔn)則”表明前后車距與車速成正比例關(guān)系. 引入以下符號(hào)：D 前后車距（m）；v 車速（m/s）；于是“兩秒準(zhǔn)則”的數(shù)學(xué)模型為. 與“一車長(zhǎng)度準(zhǔn)則”相比是否一樣，依賴于一車長(zhǎng)度的選取.比較與，得：所以當(dāng)（約合54.43 km/h）時(shí)，有dD，即前后車距小于剎車距離的理論值

2、，不夠安全. 也就是說，“兩秒準(zhǔn)則”適用于車速不算很快的情況.另外，還可以通過繪圖直觀的解釋“兩秒準(zhǔn)則”夠不夠安全. 用以下MATLAB程序把剎車距離實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和“兩秒準(zhǔn)則”都畫在同一幅圖中（圖1）.v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.

3、082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1; d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title(比較剎車距離實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、理論值和兩秒準(zhǔn)則)legend(兩秒準(zhǔn)則,剎車距離理論值,. 剎車距離的最小值、平均值和最大值,2)xlabel(車速v（m/s）)ylabel(距離（m）)hold off圖1（2）用最大剎車距離除以車速，得到最大剎車距離所需要的尾隨時(shí)間（表1），并以尾隨時(shí)間為依據(jù)，提出更安全的“t秒準(zhǔn)則”（表2）后車司機(jī)根據(jù)

4、車速快慢的范圍，從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始，默數(shù)t秒鐘之后到達(dá)同一標(biāo)志.表1 尾隨時(shí)間車速(mph)車速(m/s)最大剎車距離(m)尾隨時(shí)間(s)208.940813.4111.52511.17617.8311.59553013.41123.7741.77273515.64629.4131.87994017.88237.7952.11364520.11746.4822.31065022.35256.6932.53645524.58768.7322.79556026.82281.6863.04556529.05896.4693.31997031.293113.393.62347533.528132.

5、743.95918035.763154.234.3125表2 t秒準(zhǔn)則車速(mph)010103535606075t (s)1234繪制圖2的MATLAB程序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*

6、k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,. vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,. v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒準(zhǔn)則,剎車距離理論值,. 剎車距離的最小值、平均值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,. 35,60*0.44704,3*35,60*0.44704,k,. 60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒準(zhǔn)則，剎車距離的模型和數(shù)據(jù))xlabel(車速v（m/s）)ylabel(距離（m

7、）)hold off圖24. 繼續(xù)考慮2.3節(jié)“生豬出售時(shí)機(jī)”案例，假設(shè)在第t天的生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格（元/公斤）為 (1)其中h為價(jià)格的平穩(wěn)率，取h=0.0002. 其它模型假設(shè)和參數(shù)取值保持不變. （1） 試比較(1)式與()式，解釋新的假設(shè)和原來(lái)的假設(shè)的區(qū)別與聯(lián)系；（2）在新的假設(shè)下求解最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤(rùn)；（3）作靈敏度分析，分別考慮h對(duì)最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤(rùn)的影響；（4）討論模型關(guān)于價(jià)格假設(shè)的強(qiáng)健性.解答一（用MATLAB數(shù)值計(jì)算）（1）比較(1)式與()式，(1)式表明價(jià)格先降后升，()式假設(shè)價(jià)格勻速下降，(1)式更接近實(shí)際（圖3）. 兩個(gè)假設(shè)都滿足，在最佳出售時(shí)機(jī)附近誤差

8、微?。▓D4）.繪圖的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title(模型假設(shè)(1)式與()式的比較)legend(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 ()式)xlabel(t（天）)ylabel(p（元/公斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p(0:.1:n),k)title(模型假設(shè)(1)式與()式的比較)legend

9、(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 ()式)xlabel(t（天）), ylabel(p（元/公斤） )圖3圖4（2）在(1)式和()式組成的假設(shè)下，多賺的純利潤(rùn)為保留h，代入其他具體數(shù)值，得令解得生豬出售時(shí)機(jī)為（舍去負(fù)根）多賺的純利潤(rùn)為.代入h=0.0002，得天，元.或者用MATLAB函數(shù)fminbnd計(jì)算，腳本如下：C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t

10、1,0.0002)為幫助理解，可用以下腳本繪制圖5：figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.0002),k)title(純利潤(rùn)Q)xlabel(t（天）)ylabel(Q（元） )圖5（3）用以下MATLAB腳本計(jì)算靈敏度和，將結(jié)果列表. 結(jié)論：h的微小變化對(duì)t和Q的影響都很小Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.05(-Qn-Q1)

11、/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1(-Qn-Q1)/Q1/0.1表3 數(shù)值計(jì)算最佳出售時(shí)機(jī)t對(duì)h的靈敏度(%)(%)0.000202113.8860.414590.414590.00021514.1212.11760.423520.000221014.4314.35360.43536表4 數(shù)值計(jì)算多賺的純利潤(rùn)Q對(duì)h的靈敏度(%)(%)0.000202110.8380.369360.369360.00021511.0011.88020.376040.000221011.2143.84790.38

12、479（4）市場(chǎng)價(jià)格是經(jīng)常波動(dòng)的，如果價(jià)格下跌，往往會(huì)止跌回穩(wěn)，模型假設(shè)(1)式以二次函數(shù)來(lái)刻畫價(jià)格止跌回升的變化趨勢(shì)，如果考慮的時(shí)間段長(zhǎng)達(dá)數(shù)月，(1)式比(2.3.1)式更接近實(shí)際（見圖3），但是本問題的最佳出售時(shí)機(jī)不超過20天，(1)式與(2.3.1)式在最佳出售時(shí)機(jī)附近非常近似（見圖4），(1)式導(dǎo)致的模型解答可以由(2.3.1)式導(dǎo)致的解答加上靈敏度分析所代替. 所以采用更為簡(jiǎn)單的(2.3.1)式作為假設(shè)更好. 具體分析如下：由，得，代入h=0.0002，t=13.82852279，g=0.08，得.由于，根據(jù)課本2.3節(jié)，代入，t=10，算得，與t=13.829只相差兩天. 用于以上

13、分析計(jì)算的MATLAB腳本：dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用MATLAB的Symbolic Math Toolbox的MuPAD軟件符號(hào)計(jì)算）（1）運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句，繪得圖6和圖7：plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.400), plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.150, LineStyle=Dashed);plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.20), plot:Function2d

14、(12-0.08*t,t=0.20, LineStyle=Dashed),#O);(1)式表明價(jià)格先降后升，在實(shí)際當(dāng)中有一定道理. 而 ()式假設(shè)價(jià)格勻速下降. 兩個(gè)假設(shè)都滿足，在最佳出售時(shí)機(jī)附近誤差微小.圖6 假設(shè)()式與(1)式的比較圖7 假設(shè)()式與(1)式的比較(2) 在(1)式和()式組成的假設(shè)下，保留h，代入其他具體數(shù)值，計(jì)算多賺的純利潤(rùn). 運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：C:=t-32/10*t:w:=t-90+t:p:=(t,h)-12-8/100*t+h*t2:Q:=(t,h)-expand(w(t)*p(t,h)-C(t)-90*12);plot(plot:Function2d(Q

15、(t,0.0002), t=0.290);算得，繪得圖8.圖8 的圖像運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：S:=solve(diff(Q(t,h),t),t) assuming h0;t1:=S1;subs(t1,h=0.0002);t2:=S2;ts:=subs(t2,h=0.0002);Q2:=Q(t2,h);Qs:=subs(Q2,h=0.0002);由方程，解得兩根：代入h=0.0002，得（天）. 符合題意，應(yīng)該舍去（對(duì)應(yīng)的Q是負(fù)數(shù)）. 對(duì)應(yīng)的多賺的純利潤(rùn)為元.（3）接著上一小題，運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：subs(diff(t2,h)*h/t2, h=0.0002); /t對(duì)h的靈敏度利用導(dǎo)數(shù)算

16、得t對(duì)h的靈敏度：.運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：subs(diff(Q2,h)*h/Q2,h=0.0002); /Q對(duì)h的靈敏度，方法一subs(diff(Q(t,h),h)*h/Q(t,h),t=ts,h=0.0002); /Q對(duì)h的靈敏度，方法二，更簡(jiǎn)單用兩種方法利用導(dǎo)數(shù)算得Q對(duì)h的靈敏度：.結(jié)論：h的微小變化對(duì)t2和Q2的影響都很小. （4）同解答一5. 繼續(xù)考慮第2.3節(jié)“生豬出售時(shí)機(jī)”案例，假設(shè)在第t天的生豬體重（公斤）為 (2)其中（公斤），（公斤），其它模型假設(shè)和參數(shù)取值保持不變. （1）試比較(2)式與(2.3.2)式，解釋新的假設(shè)和原來(lái)的假設(shè)的區(qū)別與聯(lián)系（提示：說明當(dāng) (0)取何

17、值時(shí)，在t=0時(shí)可以保持；說明當(dāng)t增大時(shí)，豬的體重會(huì)如何變化）. （2）在新的假設(shè)下求解最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤(rùn).（3）參數(shù)代表豬長(zhǎng)成時(shí)的最終重量，對(duì)做靈敏度分析，分別考慮對(duì)最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤(rùn)的影響.（4）討論模型關(guān)于生豬體重假設(shè)的強(qiáng)健性.解答一（用MATLAB數(shù)值計(jì)算）（1）在(2)式中，為使，必須. 當(dāng)=270，=90時(shí)，有. 新假設(shè)(2)式是阻滯增長(zhǎng)模型，假設(shè)生豬體重的增長(zhǎng)率是體重的線性遞減函數(shù)，于是體重增加的速率先快后慢，時(shí)間充分長(zhǎng)后，體重趨于. 而()式只假設(shè)體重勻速增加. 長(zhǎng)時(shí)間來(lái)看，新假設(shè)比原假設(shè)更符合實(shí)際（圖9）. 兩個(gè)假設(shè)都滿足，在最佳出售時(shí)機(jī)附近誤差微小（圖10）

18、.圖9圖10(2) 在()式和(2)式組成的假設(shè)下，用MATLAB函數(shù)fminbnd計(jì)算，可以求得生豬出售時(shí)機(jī)為t=14.434天，多賺的純利潤(rùn)為Q=12.151元.(3) 編程計(jì)算和，將結(jié)果列表.表5 數(shù)值計(jì)算最佳出售時(shí)機(jī)t對(duì)的靈敏性(%)(%)272.7114.9773.7673.767283.5517.05718.1733.63452971019.4634.8253.4825表6 數(shù)值計(jì)算多賺的純利潤(rùn)Q對(duì)的靈敏性(%)(%)272.7113.1087.8727.872283.5517.12140.897847584.9638.4963結(jié)論：的微小變化對(duì)t和Q的影

19、響都較小. （4）模型假設(shè)(2)式導(dǎo)致的模型解答可以由()式導(dǎo)致的解答加上靈敏度分析所代替，所以實(shí)踐中采用更為簡(jiǎn)單的(2.3.2)式作為假設(shè)即可. 具體分析過程見解答二之（4）.MATLAB腳本：% (1) 繪圖的程序w=(t)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,k:,. 0:.1:n,w(0:.1:n),k)axis(0,400,0,300)legend(p(0) - g t ()式,. p(0) - g t + h2 (2)式,4)title(模型假設(shè)()式與(2)式的比較)xlabel(t（天）)ylabe

20、l(價(jià)格 p（元/公斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,k:,. 0:.1:n,w(0:.1:n),k)legend(p(0) - g t ()式,. p(0) - g t + h2 (2)式,2)xlabel(t（天）)ylabel(價(jià)格 p（元/公斤） )% (2) 最佳出售時(shí)機(jī)和多賺的純利潤(rùn) C=(t)3.2*t;w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(t

21、s,270)% (3) 靈敏度分析Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1% (4) 強(qiáng)健性分析dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5解答二（用MATLAB的

22、Symbolic Math Toolbox的MuPAD軟件符號(hào)計(jì)算）（1）運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句，算得：solve(subs(diff(90*270/(90+(270-90)*E(-a*t),t), t=0)=1, a); 運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句，繪得圖11：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t), t=0.400), plot:Function2d(90+t, t=0.180, LineStyle=Dashed), plot:Line2d(0,270,400,270,LineStyle=Dotted),#O); 運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句，繪

23、得圖12：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t), t=0.20), plot:Function2d(90+t,t=0.20,LineStyle=Dashed),#O);(2)式是阻滯增長(zhǎng)模型，假設(shè)生豬體重的增長(zhǎng)率是體重的線性遞減函數(shù). 于是，體重w是時(shí)間t的增函數(shù)，體重增加的速率先快后慢，時(shí)間充分長(zhǎng)后，體重趨于. 而()式只假設(shè)體重勻速增加. 長(zhǎng)時(shí)間來(lái)看，新假設(shè)比原假設(shè)更符合實(shí)際. 兩假設(shè)都滿足，在最佳出售時(shí)機(jī)附近誤差微小.圖11 假設(shè)(2.3.2)式與(2)式的比較圖12 假設(shè)(2.3.2)式與(2)式的比較（2）在由(2)式和(2.3

24、.1)式組成的假設(shè)下，保留，代入其他具體數(shù)值，計(jì)算多賺的純利潤(rùn). 運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：C:=t-3.2*t:w:=(t,wm)-90*wm/(90+(wm-90)*E(-t/60):p:=t-12-0.08*t:Q:=(t,wm)-w(t,wm)*p(t)-C(t)-90*12;plot(plot:Function2d(Q(t,270),t=0.30);算得，繪得圖13.圖13 的圖像運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：T:=solve(diff(Q(t,270),t),t); ts:=T1;Qs:=Q(ts,270);可解出Q的駐點(diǎn)的數(shù)值解（天），根據(jù)函數(shù)圖像和問題的實(shí)際意義，可知這是所求的最佳出售

25、時(shí)機(jī)，對(duì)應(yīng)的多賺的純利潤(rùn)為元.（3）接著上一小題，運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句，但是求不出當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)t關(guān)于的函數(shù)解析式：solve(diff(Q(t,wm),t),t);運(yùn)行以下MuPAD語(yǔ)句：solve(diff(Q(t,wm),t),wm);可見當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)關(guān)于t的反函數(shù)解析式卻有可能求得出，只是MuPAD給出的表達(dá)式很復(fù)雜. 其實(shí)可以按如下步驟推出關(guān)于t的反函數(shù)解析式：g1:=diff(Q(t,wm),t)=0;算得即：觀察上式，發(fā)現(xiàn)分母大于零，而且去分母之后，合并的同類項(xiàng)，可以表示為的二次方程：g2:=g1*(wm-90)/E(t/60)+90)2*25*E(t/60); /去分母g2:=collect(g2,wm