思維特訓(xùn)(四)　絕對(duì)值與分類討論

1、.思維特訓(xùn)四絕對(duì)值與分類討論方法點(diǎn)津 ·1由于去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，要分三種情況：即正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，所以涉及絕對(duì)值的運(yùn)算往往要分類討論用符號(hào)表示這一過程為：2由于在數(shù)軸上到原點(diǎn)的間隔 相等的點(diǎn)非原點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是正數(shù)，另一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是負(fù)數(shù)，因此知道某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求該數(shù)時(shí)，往往需要分兩種情況討論用符號(hào)表示這個(gè)過程為：假設(shè)aa>0，那么x±a.3分類討論的原那么是不重不漏，一般步驟為：分類；討論；歸納典題精練 ·類型一以數(shù)軸為載體的絕對(duì)值的分類討論1點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，且|a

2、4|b120.現(xiàn)將點(diǎn)A，B之間的間隔 記作|AB|，定義|AB|ab|.1|AB|_；2設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，當(dāng)|PA|PB|2時(shí)，求x的值2我們知道：點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點(diǎn)之間的間隔 表示為AB，在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的間隔 AB|ab|，所以式子|x3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點(diǎn)與表示有理數(shù)x的點(diǎn)之間的間隔 根據(jù)上述材料，答復(fù)以下問題：1|52|的值為_；2假設(shè)|x3|1，那么x的值為_；3假設(shè)|x3|x1|，求x的值；4假設(shè)|x3|x1|7，求x的值類型二與絕對(duì)值化簡(jiǎn)有關(guān)的分類討論問題3在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論的數(shù)學(xué)思想，下面是

3、運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答以下問題：【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時(shí)，那么111 3；當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a0，b0，c0，那么1111.所以的值為3或1.【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：1三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值；2|a|3，|b|1，且ab，求ab的值4在有些情況下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉例如：|67|67；|67|76；|76|76；|67|67.

4、1根據(jù)上面的規(guī)律，把以下各式寫成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：|721|_；|0.8|_；_2用合理的方法計(jì)算：|.5探究研究：1比較以下各式的大小填“或“：|2|3|_|23|；|_|；|6|3|_|63|；|0|8|_|08|.2通過以上比較，請(qǐng)你分析、歸納出當(dāng)a，b為有理數(shù)時(shí)，|a|b|與|ab|的大小關(guān)系直接寫出結(jié)論即可3根據(jù)2中得出的結(jié)論，解決以下問題：當(dāng)|x|2019|x2019|時(shí)，求x的取值范圍詳解詳析1解：1因?yàn)閨a4|b120，所以a4，b1，所以|AB|ab|5.2當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，|PA|PB|PB|PA|AB|52，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，|PA|PB|AB|52，

5、不符合題意當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A，B之間時(shí)，|PA|x4|x4，|PB|x1|1x.因?yàn)閨PA|PB|2，所以x41x2，解得x.2解：172因?yàn)閨x3|1，所以x3±1，解得x2或4.故x的值為2或4.3根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，x必在1與3之間，故x30，x10，所以原式可化為3xx1，所以x1.4在數(shù)軸上表示3和1的兩點(diǎn)之間的間隔 為4，那么滿足方程的x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的左邊或3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的右邊假設(shè)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的左邊，那么原式可化為3xx17，解得x2.5；假設(shè)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的右邊，那么原式可化為x3x17，解得x4.5.綜上可得，x的值為2.5或4.5.3解：1因?yàn)閍bc0，所以a，b，c都為負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)當(dāng)a，b，c都為負(fù)數(shù)，即a0，b0，c0時(shí)，那么1113；當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，設(shè)a0，b0，c0，那么1111.綜上所述，的值為3或1.2因?yàn)閨a|3，|b|1，且ab，所以a3，b1或1，那么ab2或4.4解：12170.82原式.5解：1因?yàn)閨2|3|5，|23|1，所以|2|3|23|.因?yàn)閨，|，所以|.因?yàn)閨6|3|639，|63|3，所以|6|3|63|.因?yàn)閨0|8|8，|08|8，所以|0|8|08|.2當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，|a|b|ab|；當(dāng)a，b同號(hào)或