《常微分方程》教學(xué)大綱

1、常微分方程教學(xué)大綱課程編碼：110826 課程名稱：常微分方程學(xué)時/學(xué)分：72/4先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、大學(xué)物理適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課教研室：分析方程教研室 一、課程性質(zhì)與任務(wù)1課程性質(zhì)：本課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課。2課程任務(wù)：常微分方程是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實際的主要橋梁之一。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確掌握常微分方程的各種基本概念和處理微分方程問題的思維方法，諸如定性和定量近似求解的思想。通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握用來精確求解幾類重要的常微分方程（組）的方法，包括各種初等解法和線性常系數(shù)方程（組）的解法，以及了解定性和穩(wěn)定性的初步理論和方法。通過常微分方程的教學(xué)，使學(xué)生了解

2、和掌握常微分方程這一學(xué)科的基本概念，理論，培養(yǎng)學(xué)生的理論思維能力，為從事數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)和研究打下一定的理論基礎(chǔ)，同時它在訓(xùn)練學(xué)生分析問題和初步解決某些實際問題的能力方面起著顯著作用。二、課程教學(xué)基本要求常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課，安排在三年級上學(xué)期進行，把學(xué)生前階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、普通物理等方面的知識首次較普遍、較深入地結(jié)合起來，用以初步解決數(shù)學(xué)理論和實際問題中出現(xiàn)的一批重要而基本的微分方程問題，同時在這個過程中自然地提出和建立起常微分方程本身的基礎(chǔ)理論和基本方法，也為若干后繼課程（如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等）作好準(zhǔn)備。該課程主要以講授為主，理論課

3、時為72學(xué)時，考核方式為閉卷考試。成績考核形式：末考成績（閉卷考試）（70%）平時成績（平時測驗、作業(yè)、課堂提問、課堂討論等）（30)。成績評定采用百分制，60分為及格。三、課程教學(xué)內(nèi)容第一章 緒 論1.教學(xué)基本要求讓學(xué)生了解常微分方程的歷史，以及它在生活實踐中的應(yīng)用；激發(fā)學(xué)生對本課程學(xué)習(xí)的興趣。了解常微分方程中的基本概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。2.要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能通過本章的教學(xué)使學(xué)生初步掌握常微分方程產(chǎn)生于社會實踐中,掌握常微分方程的線性、非線性,解、隱式解,通解、特解,積分曲線、方向場等基本概念.3.教學(xué)重點和難點教學(xué)重點是常微分方程及其解的概念，能判斷方程的階數(shù)，線性與非

4、線性。教學(xué)難點是常微分方程的隱式解、通解、特解,積分曲線、方向場等基本概念。4.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 常微分方程模型1. 一些物理背景和建立微分方程模型的基本方法 第二節(jié) 基本概念和常微分方程的發(fā)展歷史1. 常微分方程基本概念2. 積分曲線和方向場的概念及幾何解釋3. 常微分方程的發(fā)展史及課程在數(shù)學(xué)系的課程體系中的地位和作用第二章 一階微分方程的初等解法1.教學(xué)基本要求 本章討論一階方程的若干類型的初等解法.首先使學(xué)生掌握若方程能就解出,即方程取形式或，主要采用變量分離或全微分方程的方法。使學(xué)生掌握若方程能就(或)解出,把問題化成一階微分方程去解。使學(xué)生掌握在方程缺少或的解法。2.要求學(xué)生掌握的基

5、本概念、理論、技能通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握一階微分方程的初等解法，包括變量分離法，變量變換法，常數(shù)變易法，積分因子法等微分方程的初等解法，并掌握一階隱式微分方程的解法。3.教學(xué)重點和難點教學(xué)重點是分離變量方程的解法；一階線性非齊次線性方程解法；恰當(dāng)方程的解法；一階隱方程的解法。教學(xué)難點是用變量變換法求解一階微分方程和積分因子的求解。4.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 變量分離方程與變量代換1. 變量分離方程2. 可化為變量分離方程的類型3. 應(yīng)用舉例 第二節(jié) 線性微分方程與常數(shù)變易法 第三節(jié) 恰當(dāng)微分方程與積分因子1. 恰當(dāng)微分方程2. 積分因子 第四節(jié) 一階隱式微分方程與參數(shù)表示1. 可以解出 (或)的方

6、程2. 不顯含 (或)的方程 第三章 一階微分方程的解的存在定理1.教學(xué)基本要求 本章重點介紹和證明了解的存在唯一性定理和解的一些基本性質(zhì)，解的延拓定理及解對初值的連續(xù)性和可微性定理。2.要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能 通過本章教學(xué)使學(xué)生理解解的存在唯一性定理，解的延拓定理及解對初值的連續(xù)性和可微性定理，掌握逐步逼近法。3.教學(xué)重點和難點教學(xué)重點是一階常微分方程解的存在唯一性定理和逐步逼近法。教學(xué)的難點是解的存在惟一性定理的證明和應(yīng)用逐步逼近法證明數(shù)學(xué)問題，解對初值的連續(xù)性和可微性定理。4.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 解的存在惟一性定理和逐步逼近法1. 存在惟一性定理2. 近似計算和誤差估計 第二節(jié)

7、 解的延拓 第三節(jié) 解對初值的連續(xù)性和可微性定理1. 解對初值的對稱性2. 解對初值的連續(xù)依賴性3. 解對初值的可微性 第四章 高階微分方程1.教學(xué)基本要求理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，熟練掌握n階常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法。掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，理解n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法。熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級數(shù)解法。掌握高階方程的應(yīng)用。 2.要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能 通過本章學(xué)習(xí)，通過本章教學(xué)使學(xué)生理解高階線性微分方程的一般理論，能夠求解高階常系數(shù)線性微分方程，

8、掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法，熟練高階方程的降階法和冪級數(shù)解法及高階方程的應(yīng)用。3.教學(xué)重點和難點教學(xué)重點是常系數(shù)線性微分方程的解法。教學(xué)的難點是常系數(shù)齊次線性微分方程的求解以及非齊次常系數(shù)線性微分方程的求解，歐拉方程的求解。4.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 線性微分方程的一般理論1. 引言2. 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)3. 非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法第二節(jié) 常系數(shù)線性微分方程的解法1. 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解2. 常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程3. 非齊次線性微分方程.比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法4. 質(zhì)點振動第三節(jié) 高階微

9、分方程的降階和冪級數(shù)解法1. 可降階的一些方程類型 2. 二階線性微分方程的冪級數(shù)解法3. 第二宇宙速度計算 第五章 線性微分方程組1.教學(xué)基本要求理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，理解n 階線性微分方程與一階線性微分方程組的關(guān)系。掌握非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，理解常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基解矩陣的方法。 2.要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、技能 通過本章學(xué)習(xí)，通過本章教學(xué)使學(xué)生理解解的存在唯一性定理，理解線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，能夠求解常系數(shù)線性微分方程組 3.教學(xué)重點和難點教學(xué)重點是求解常系數(shù)非齊次線性微分方程組。教學(xué)的難點是非齊次線性微分方程組的常數(shù)變易法，常系數(shù)齊線性微分方程組基解矩陣的解法。4.教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 存在惟一性定理1. 記號和定義2. 存在惟一性定理第二節(jié) 線性微分方程組的一般理論1. 齊次線性微分方程組2. 非齊次線性微分方程組第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組1. 矩陣指數(shù)的定義和性質(zhì) 2. 基解矩陣的計算公式四、學(xué)時分配章序內(nèi)容課時備注一緒論6二一階微分方程的初等解法16三一階微分方程的解的存在定理14四高階微分方程18五線性微分方程組18合計72五、教材及參考書：（一）教材：常微分方程（第三版）主編：王高雄等 出版社：高等教育出版社 出版時間：