小專題(五)　函數(shù)中的決策問題

1、.小專題五函數(shù)中的決策問題要解決二次函數(shù)模型作決策的問題必須做到兩點(diǎn):一是建模,它是解容許用題的最關(guān)鍵的步驟,即在閱讀材料,理解題意的根底上,把實(shí)際問題的本質(zhì)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,從而根據(jù)題意建立二次函數(shù)模型;二是解模,即運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)展分析、運(yùn)算,解答純數(shù)學(xué)問題,最后檢驗(yàn)所得的解,寫出實(shí)際問題的結(jié)論.類型1利潤(rùn)問題中的決策1.某商家方案從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái),空調(diào)的采購單價(jià)y1元/臺(tái)與采購數(shù)量x1臺(tái)滿足y1=-20x1+15000<x120,x1為整數(shù);冰箱的采購單價(jià)y2元/臺(tái)與采購數(shù)量x2臺(tái)滿足y2=-10x2+13000<x220,x2為整數(shù).1

2、經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的119倍,且空調(diào)采購單價(jià)不低于1200元,問該商家共有幾種進(jìn)貨方案?2該商家分別以1760元/臺(tái)和1700元/臺(tái)的銷售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱,且全部售完,在1的條件下,問采購空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大?并求最大利潤(rùn).解:1由題意可知,空調(diào)的采購數(shù)量為x1臺(tái),那么冰箱的采購數(shù)量為20-x1臺(tái),由題意,得x1119(20-x1),-20x1+15001200,解得11x115.x1為整數(shù),x1可取的值為11,12,13,14,15.該商家共有5種進(jìn)貨方案.2設(shè)總利潤(rùn)為W元,y2=-10x2+1300=-1020-x1+1300=10x1+1100,那么W=1

3、760-y1x1+1700-y2x2=1760x1-20x1+1500x1+1700-10x1-110020-x1=1760x1+20x12-1500x1+10x12-800x1+12019=30x12-540x1+12019=30x1-92+9570.當(dāng)x1>9時(shí),W隨x1的增大而增大,11x115,當(dāng)x1=15時(shí),W最大值=30×15-92+9570=10650.答:采購空調(diào)15臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為10650元.2.某文具店購進(jìn)一批紀(jì)念冊(cè),每本進(jìn)價(jià)為20元,出于營(yíng)銷考慮,要求每本紀(jì)念冊(cè)的售價(jià)不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊(cè)每周的銷售量y本與每本紀(jì)念

4、冊(cè)的售價(jià)x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價(jià)為22元時(shí),銷售量為36本;當(dāng)銷售單價(jià)為24元時(shí),銷售量為32本.1請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)解析式.2設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊(cè)所獲得的利潤(rùn)為w元,將該紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),才能使文具店銷售該紀(jì)念冊(cè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?解:1設(shè)y=kx+b,把22,36與24,32代入得22k+b=36,24k+b=32,解得k=-2,b=80,那么y=-2x+80.2由題意可得w=x-20-2x+80=-2x2+120x-1600=-2x-302+20020x28,又x<30時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x=28時(shí),w最大=-2×28-3

5、02+200=192元.類型2幾何問題中的決策3.如圖,ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB,BC方向勻速挪動(dòng),它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),P,Q兩點(diǎn)停頓運(yùn)動(dòng),設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.1當(dāng)t為何值時(shí),PBQ是直角三角形?2設(shè)四邊形APQC的面積為ycm2,求y關(guān)于t的函數(shù)解析式,當(dāng)t取何值時(shí),四邊形APQC的面積最小?并求出最小值.解:1由題意可知,B=60°,BP=3-t cm,BQ=t cm.假設(shè)PBQ是直角三角形,那么BPQ=30°或BQP=30°,于是BQ=12BP或BP=12BQ.即t=123-

6、t或3-t=12t,解得t=1或t=2,即當(dāng)t為1 s或2 s時(shí),PBQ是直角三角形.2過點(diǎn)P作PMBC于點(diǎn)M,那么易知BM=12BP=123-t cm,PM=BP2-BM2=323-t.S四邊形APQC=SABC-SPBQ=12×3×332-12t·323-t=34t2-334t+934,即y=34t2-334t+934,易知0<t<3,于是y=34t-322+27316,當(dāng)t=32時(shí),y獲得最小值,為27316.4.如圖,把一張長(zhǎng)10 cm,寬8 cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形,再折合成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子紙板的厚度忽略不計(jì),從美

7、觀的角度考慮要求底面的短邊與長(zhǎng)邊的比不小于23,設(shè)四周小正方形的邊長(zhǎng)為x cm.1求盒子的側(cè)面積S側(cè)與x的函數(shù)解析式,并求x的取值范圍;2求當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)x為何值時(shí)側(cè)面積S側(cè)有最大值;3假設(shè)要求側(cè)面積不小于28 cm2,直接寫出正方形的邊長(zhǎng)x的取值范圍.解:1由題意,得S側(cè)=210-2xx+28-2xx,S側(cè)=-8x2+36x.因?yàn)?-2x10-2x23,所以x2.因?yàn)閤>0,所以0<x2.2因?yàn)镾側(cè)=-8x2+36x,所以S側(cè)=-8x-942+812.因?yàn)閍=-8<0,所以在對(duì)稱軸的左側(cè),S側(cè)隨x的增大而增大,因?yàn)?<x2,所以當(dāng)x=2時(shí),S側(cè)=40.故當(dāng)x=2時(shí),S

8、側(cè)有最大值為40.3由題意,得-8x2+36x28,整理得x-12x-70,所以x-10,2x-70,x-10,2x-70,解得原不等式組無解,解得1x72.又因?yàn)?<x2,故正方形的邊長(zhǎng)x的取值范圍是1x2.類型3實(shí)際問題中的決策5.青島中考如圖,隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12 m,寬是4 m.按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線可以用y=-16x2+bx+c表示,且拋物線的點(diǎn)C到墻面OB的程度間隔 為3 m時(shí),到地面OA的間隔 為172 m.1求該拋物線的函數(shù)解析式,并計(jì)算出拱頂D到地面OA的間隔 .2一輛貨運(yùn)汽車載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為6 m,寬為4 m,假如隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否平安通過?3在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,假如燈離地面的高度不超過8 m,那么兩排燈的程度間隔 最小是多少米?解:1拋物線解析式為y=-16x2+2x+4,即y=-16x-62+10,所以D6,10,所以拱頂D到地面OA的間隔 為10 m.