基于插值的雨量預(yù)報評價模型的改進

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白,在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等與隊外的任何人(包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料,必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾,嚴格遵守競賽規(guī)則,以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為,我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是(從A/B/C/D中選擇一項填寫:2005年C題我們的參賽報名號為(如果賽區(qū)設(shè)置報名

2、號的話:所屬學(xué)校(請?zhí)顚懲暾娜?許昌學(xué)院參賽隊員(打印并簽名 :1. 張亮2. 顧崇偉3. 趙超指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人(打印并簽名:張亞東日期:2011 年7 月13 日基于插值的雨量預(yù)報評價模型摘 要本文討論了雨量預(yù)報方法的評價問題,給出了散亂數(shù)據(jù)擬合的若干方法及誤差確定方法,同時存顧及公眾反應(yīng)的情形下考慮了評價準則,最后針對評閱中發(fā)現(xiàn)的一些問題作了評述。關(guān)鍵詞:散亂數(shù)據(jù)插值 誤差分析一、問題的提出今年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 C 題來源于氣象部門的一個實際問題。天氣預(yù)報與人民群眾的生活密切相關(guān),如何提高預(yù)報的準確性是氣象部門非常關(guān)注的問題。本題考慮的是對預(yù)報方法的評價問題。氣象部門研

3、究6小時雨量的兩種預(yù)報方法,預(yù)報位置位于一個等距網(wǎng)格的53×47個網(wǎng)格點上。同時在91個分布不均勻的觀測站點實測各時段的實際雨量。如何評價兩種預(yù)報方法的準確性?二、插值方法要評價預(yù)報方法的準確性,必須對同一位置上的預(yù)報值和實測值進行比較,計算它們之間的誤差大小。然而。由于條件的限制,我們得到的預(yù)報數(shù)據(jù)和實測值并不處于同一位置,這就需要根據(jù)已知信息推算出其它位置的信息。有兩種方法:由實測站點的實值推算出預(yù)報網(wǎng)格點上的實測值,或者由預(yù)報網(wǎng)格點上的預(yù)報值推算出實測站點處的預(yù)報值。若采用第一種方案,由于觀測站點的分布是散亂的,應(yīng)采用散亂數(shù)據(jù)插值方法。散亂數(shù)據(jù)插值方法很多,主要有Shepard

4、 插值和徑向基插值。設(shè),2,1(,(N k y x P k k k =為觀測站點的坐標(biāo),k f 為k P 處的實測值,(y x Q 為某個預(yù)報網(wǎng)格點。為了由,2,1(N k P k =處的實測數(shù)據(jù)推算出Q 點的實測數(shù)據(jù),容易想到的原則是,距離越近的點對 Q 的影響越大,距離越遠的點對 Q 的影響越小。一個典型的方法是“反距離加權(quán)平均”,即Shepaxd 方法。記r k =k P 到Q 點的距離,則定義插值函數(shù) 2211,1.(,yk N N k k k k k f f r r f x = (1于是由散亂點k P 處的實測值可以得到任一點處的實測值。按程序1利用Matlab 軟件可以模擬出91個

5、觀測點的位置,其站點分布圖見下圖(1所示,圖中的*表示91個站點位置。當(dāng)0k r =時, 否則. X 緯度Y 經(jīng)度圖(1各站點位置圖另一種常用的方法是徑向基插值。例如用多二次徑向基插值,設(shè)插值函數(shù)為1221(,(,N k kk f x y r c -=+ (2 其中k 為待定系數(shù),c 為常數(shù),可取為 c=1。根據(jù)插值條件(,k k k f x y f = (1,2,N k = , (3 求解關(guān)于k 的線性代數(shù)方程組,可得到系數(shù)k 的值。若采用第二種方案,上述兩種方法仍然有效,也有參賽隊采用雙線性插值等其他插值方法進行計算。具體情況我們在第5節(jié)中加以說明。利用二次三元樣條插值法選取部分數(shù)據(jù)對降雨

6、量的觀察圖,用Matlab 按程序2可模擬出圖(2所示部分降雨量的預(yù)測圖。 1X 降雨量預(yù)測圖Y Z 降雨量圖(2部分降雨量預(yù)測圖三、誤差分析記Q ij (1,2,1,2,i m j n = 為預(yù)報網(wǎng)格點,g ij 為Q ij 處的預(yù)報值。利用插值方法,得到Q ij 上的實測值,記為ij f ,這樣可定義兩者之間的平方誤差為(2.ij ij ij E f g =- (4 考慮到不同的實測雨量的預(yù)報誤差對公眾的感受是不同的,應(yīng)采用相對平方誤差的概念,即定義ij ij ER = (5 當(dāng)0ij f =,即Q ij 處無雨時,(5式的分母為零,必須對這一情形作相應(yīng)的處理。一種處理方式是定義(22mi

7、n 1,1,0,ij ij ij ij f g f ER -=(6 也可以有其他的處理方法,例如(22.1i j i j ij ij f g ER f -=+ (7在此基礎(chǔ)上定義相對均方誤差 111.m nij i j MER ER mn = (8 也可用連續(xù)區(qū)域中實測數(shù)據(jù)與預(yù)報數(shù)據(jù)之間的誤差值。用(1或(2式等插值方法分別對實測數(shù)據(jù)和預(yù)報數(shù)據(jù)進行插值。得到整個區(qū)域(記為內(nèi)實測值和預(yù)報雨量的分布函數(shù),分別記為(,f x y 和(,g x y ,相對均方誤差可定義為(22,.,f x y g x y dxdyMER f x y dxdy -= (9對問題提供的41天共164個時段的數(shù)據(jù)分別求出相

8、對均方誤差的平均值和標(biāo)準差,作為評價預(yù)報方法優(yōu)劣的依據(jù)。四、考慮公眾感受的模型在分級模型中,將不同等級的雨量與數(shù)值建立一一對應(yīng)關(guān)系,如用06 分別對應(yīng)于無雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨和特大暴雨七個等級。然后建立公眾不滿意度函數(shù)。最簡單的定義方法是11,m nij ij i j S d e =- (10其中ij d 表示預(yù)報網(wǎng)格點處預(yù)報雨量的等級,ij e 表示網(wǎng)格點處實測雨量的等級。(1O式反映了實測等級與預(yù)報等級相差越大,公眾的不滿意程度也越大這一0ij f 當(dāng)時, 0,ij ij f g =當(dāng)0時, 0ij ij f g =當(dāng)時.事實。但是這個定義較為粗糙,沒有考慮到不同等級的雨量的

9、誤報及不同時段的誤報對公眾的不同影響。一種處理方法是,對不同等級的實測雨量,定義公眾不滿意度函數(shù)為11,ij m ne ij ij i j S d e =- (11其中k 表示第k 等級的雨量的權(quán)系數(shù),當(dāng)然也可取權(quán)系數(shù)為kl ,表示權(quán)系數(shù)與預(yù)報等級和實測等級均有關(guān)系。然后對一天中4個時段的不滿意度再加權(quán)求和,得到41d k k k S S =, (12其中k 表示第k 個時段的權(quán)系數(shù),k S 為由(11式計算得到的第k 個時段的公眾不滿意度函數(shù),d S 表示公眾對一天中各時段預(yù)報的總體不滿意度。這樣,根據(jù)41天各時段的數(shù)據(jù)分別求出兩種預(yù)報方法41天的總體不滿意度的平均值和標(biāo)準差,作為評價依據(jù)。

10、五、評閱中發(fā)現(xiàn)的問題在今年的評閱過程中,我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對 問題一般都能很好地理解,查閱了很多有關(guān)的書籍,對數(shù)學(xué)軟件 (如 MATLAB 等也能很好地使用。但也發(fā)現(xiàn)一些問題。1 對數(shù)據(jù)的處理問題,很多參賽隊未能采用插值或擬合的方法,而簡單地采用了最鄰近點法。預(yù)報網(wǎng)格點及實測點之間不可能離得很近,一般都有很大的距離,這是一個常識。因此,最鄰近點法會產(chǎn)生很大的誤差。有些參賽隊采用了簡單平均的方法,即某點的預(yù)報雨量用圍繞其周圍的4個預(yù)報網(wǎng)格點上的預(yù)報值作平均,由于沒有考慮實測點與預(yù)報點之間距離的影響,同樣會產(chǎn)生較大的誤差。還有些參賽隊采用了多項式插值,如雙線性插值,理論上來說,這是一種可以接受的方法,

11、但它過于局部化,實測點上的預(yù)報值僅依賴于周圍4個預(yù)報網(wǎng)格點上的值。一種解決方法是擴展區(qū)域,用周圍16個或更多點作多項式擬合。2 在數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用中,絕大多數(shù)參賽隊都采用了 MATLAB 軟件,并使用了其中的 griddata 函數(shù)來作數(shù)據(jù)插值。但只有少數(shù)參賽隊說明了擬合的方法,并對 griddata 函數(shù)中的插值方法加以說明。事實上,griddata 函數(shù)有四種插值方法可供選擇,缺省是線性插值。大多數(shù)參賽隊在沒有弄清方法的情況下,盲目使用數(shù)學(xué)軟件,這是一種不好的傾向, 應(yīng)加以克服。3 很多參賽隊在處理數(shù)據(jù)誤差時,采用了絕對誤差。對本題來說,最終結(jié)果與采用相對誤差是相同的,但從問題出發(fā),這不是很

12、好。在工程問題中,涉及誤差的問題,通常都采用相對誤差。試想,實際降雨量為0.01 mm ,而預(yù)報值為0.02 mm ;與實際降雨量為10201 mm ,預(yù)報值為10.02 mm ,它們的誤差帶給公眾的感受難道是一樣的嗎?4 在考慮等級問題中,只有極少數(shù)參賽隊考慮了不同等級的降雨量的誤報對公眾的不同影響,而考慮不同時段對公眾的影響的參賽隊就更少了。有一個參賽隊考慮用層次分析法進行處理,這是很好的想法,可惜未能深入下去,給出相參考文獻： 參考文獻： 1 葉其孝主編大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材(二M長沙：湖南教育出版社。1997 2 譚永基，曾舍榮，王健用 MQ 方法數(shù)值求解偏微分方程J.數(shù)學(xué)的實踐與

13、認識，1997， 27(4;327-334 3 Hardy R LMultiquadric equations of topography and other irregular surfacesJJournal of Geophysical Researchj,1971，76(8:1905-1915 Rain Quantity Forecasting Evaluation Model Based on Interpolation TAN Yong-ji， CAI Zhi-jie (School of Mathematical Sciences，b-ldan University，Shanghai 200433 Abstract： this paper， study the problem of evaluating different methods of rain In we ： quantity forecasting describe some interpolate methods for scattering data and the We method to es