有限射影平面

1、1、2、有限射影平面我們先看一個(gè)有趣的問(wèn)題：有一位好客的女主人打算邀請(qǐng)7位朋友來(lái)家里聚會(huì),每次聚會(huì)她只想邀請(qǐng)3位賓客,但是她希望其中的任何兩位朋友都恰好在一次聚會(huì)上見(jiàn)面,那么她應(yīng)該怎樣安排呢？這樣的安排是否存在?我們簡(jiǎn)單試一下就會(huì)發(fā)現(xiàn),任何兩次聚會(huì)中必須有一位相同的朋友被邀請(qǐng)到.換句話說(shuō),如果第一次邀請(qǐng)A、B、C第二次邀請(qǐng)D、E、F這樣安排是行不通的.下面我們給出一種可行的安排方案：第一次邀請(qǐng)A、B、C;第二次，邀請(qǐng)A、D、E;第三次，邀請(qǐng)A、F、G;第四次，邀請(qǐng)B、D、F;第五次，邀請(qǐng)B、EG;第六次，邀請(qǐng)C、D、G;第七次，邀請(qǐng)C、E、F.我們可以用下面的一個(gè)圖形來(lái)表示這個(gè)邀請(qǐng)方案：上面的

2、圖形是非常有名的！它是由數(shù)學(xué)家G.Fano在1892年提出的，實(shí)際上,它就是定義在二元域上的二階射影平面PG（2,2）.射影幾何的研究始自法國(guó)數(shù)學(xué)家G.Desargue的勺1639年的著作，但是在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起人們的重視.一直到兩個(gè)世紀(jì)后，由于法國(guó)著名數(shù)學(xué)家J.V.Poncelet著作（1822）的發(fā)表，射影幾何才開(kāi)始受到數(shù)學(xué)界的重視，更使其成為19世紀(jì)幾何學(xué)研究的重點(diǎn).射影幾何學(xué)在古典幾何學(xué)中是最基礎(chǔ)的、最廣泛的而且是最自由的它是公理化數(shù)學(xué)的典型之一例，也可以說(shuō)它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū).定義射影平面（P,D是由點(diǎn)集合P和線集合L構(gòu)成的，它是滿足下面條件的平面1、任意兩個(gè)點(diǎn)決定一條直線，每條直線上至

3、少有兩個(gè)點(diǎn)；2、任意兩條直線都相交；3、存在4點(diǎn)集，使其中的任意三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上.注意,定義中的條件3是為了排除射影平面只有一條直線的平凡情形的.定理4.1設(shè)（P,D為射影平面，其中點(diǎn)集合P含v個(gè)點(diǎn)，線集合L有b條線，則存在2一整數(shù)k2，使vbkk1，而且每條直線上有k1個(gè)點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)有k1條線.我們稱上述定理中的k為射影平面（P,D的階數(shù).在有限射影幾何中一個(gè)非常重要的核心問(wèn)題是：對(duì)給定的自然數(shù)k,k階射影平面是否存在？如果存在，則有幾種類型？定理4.22階射影平面是唯一的.證明由于是2階射影平面，所以只能有7個(gè)點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)集合為0,1,2,3,4,5,6.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)1有三條直線，不妨設(shè)它

4、們?yōu)?,2,4,1,3,0,1,6,5又過(guò)點(diǎn)2也有三條直線，而其中的一條已為1,2,4,所以另外的兩條直線可設(shè)為2,3,5和2,0,6.由射影平面的定義點(diǎn)4和點(diǎn)0應(yīng)該決定一條直線，而且其上的另外一點(diǎn)為點(diǎn)5 .同理點(diǎn)3和點(diǎn)4也決定一條直線，其上的另外一點(diǎn)為點(diǎn)6 .則其決定的射影平面如圖示：我們很容易驗(yàn)證，上圖與前面的Fano圖形是一致的，即2階射影平面唯一.下面我們?cè)俳o出3階射影平面的圖示：其中13條直線分別為1,2,3,11,4,5,6,11,7,8,9,11,1,4,7,13,2,5,8,13,3,6,9,13,1,5,9,12,2,6,7,12,3,4,8,12,1,6,8,10,2,4,9,10,3,5,7,10,10,11,12,13.rj理4.3如果給定的自然數(shù)kp,P為素?cái)?shù)，則k階射影平面存在.證明的方法是利用有限域上的線性空間去構(gòu)造k階射影平面.我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)會(huì)給出詳細(xì)的證明.通過(guò)上述的定理，我們知道2,3,4,5,7,8,9階射影平面是存在的，而且進(jìn)一步知道,2,3,4,5,7,8階射影平面是唯一的，9階射影平面至少有4種.6階射影平面不存3 / 4在.1991年加拿大的林永康(Clement