《導(dǎo)數(shù)的幾何意義》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)安徽省宿州市宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 羅風(fēng)云一、教材依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是北京師范大學(xué)出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修1-1第三章第二節(jié)的內(nèi)容。二、設(shè)計(jì)思想教材分析：導(dǎo)數(shù)是微積分的重要部分，是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的；同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。它不但在天文、物理、工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在日常生活及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也日漸顯示出其重要的功能。本節(jié)內(nèi)容分了兩部分也即兩個(gè)課時(shí)，一是導(dǎo)數(shù)的概念；二是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。之前學(xué)習(xí)的瞬時(shí)變化率是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念，介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。教材中利用逼近方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為

2、曲線的切線，這種定義才反映了切線的真正本質(zhì)，在教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生了解“從有限中找到無(wú)限，從暫時(shí)中找到永久，并使之確定起來(lái)”（恩格斯語(yǔ)）的微積分思想，讓學(xué)生反復(fù)通過圖形（數(shù)與形的結(jié)合）去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率，并且注重引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的一種方式幾何直觀，從而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和理解。學(xué)情分析：現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備（1）平均變化率、瞬時(shí)變化率；（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率；（3）函數(shù)的極限；（4）導(dǎo)數(shù)的概念等現(xiàn)有能力特征具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力現(xiàn)有情感態(tài)度對(duì)導(dǎo)數(shù)這一新鮮的概念在具體情境（函數(shù)圖像等）中的應(yīng)用具有強(qiáng)烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度設(shè)計(jì)理念：學(xué)生為本，重視思維發(fā)生的過

3、程，重視切線定義的形成過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)毅力。讓學(xué)生學(xué)習(xí)有趣的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值和人文價(jià)值。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）使學(xué)生掌握切線的形成過程，理解函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：切線的斜率；（2）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。（3）通過讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中探索、觀察、反思、討論、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，思維能力，應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的目的。2.過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷切線定義的形成過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其

4、內(nèi)涵，完善對(duì)切線的認(rèn)識(shí)與理解，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想和函數(shù)思想；提高類比歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：領(lǐng)悟切線定義的形成過程中所體現(xiàn)的量變與質(zhì)變、運(yùn)動(dòng)與靜止、有限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng)一等的辯證觀點(diǎn)，接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的積極態(tài)度，體會(huì)數(shù)形結(jié)合及“逼近”等思想和方法。感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，意識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，促使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。四、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及和“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。難點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。重、難點(diǎn)突破措施：1.以情感人，以理醒人創(chuàng)設(shè)情境中：?jiǎn)栴}開題，扣人心弦；層層探究中：分

5、類探究，步步為營(yíng)，絲絲入扣。2.數(shù)形結(jié)合現(xiàn)代的多媒體技術(shù)直觀、形象展示切線的形成過程，突破重難點(diǎn)。3.切合實(shí)際，分層提高利用分層訓(xùn)練達(dá)到因材施教的效果。五、教學(xué)手段：利用ppt、Flash、幾何畫板等多媒體手段輔助教學(xué)。六、課 型：新授課七、教學(xué)過程結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過程之中，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)切線的形成過程。抽象概括自發(fā)探究自主探究引導(dǎo)探究情境導(dǎo)入分層練習(xí)例題探究小結(jié)復(fù)習(xí)完成任務(wù)單新知探究（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課數(shù)學(xué)上對(duì)于函數(shù)講究數(shù)形結(jié)合，上節(jié)課介紹了導(dǎo)數(shù)的概念，這是從“數(shù)”的角度來(lái)研究導(dǎo)數(shù)，若從“形”的角度來(lái)探索導(dǎo)數(shù)，我們?cè)撛趺慈胧帜?？本?jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)如

6、何從“形”的角度探究導(dǎo)數(shù)，這就是今天要學(xué)習(xí)的課題導(dǎo)數(shù)的幾何意義。我們先來(lái)看一個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：在初中我們學(xué)習(xí)過圓的切線的概念，即直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，該直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。那么能否將圓這種特殊的曲線的切線定義推廣為一般曲線的切線呢？即直線和曲線有且只有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線在該點(diǎn)的切線。這種推廣妥當(dāng)嗎？如果不妥當(dāng)，你能舉出反例嗎？（課件展示）師：軸與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，但我們不能說(shuō)它們相切于點(diǎn)；直線與正弦曲線有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，我們還是可以說(shuō)它們是相切的。通過上面的分析，對(duì)于一般曲線的切線該如何定義呢？下面一起來(lái)探究。設(shè)計(jì)意圖：通過推翻學(xué)生對(duì)曲線

7、切線的定義的這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)（將直線與圓的切線的定義推廣到一般曲線的切線的定義），學(xué)生勢(shì)必就會(huì)產(chǎn)生要探究一般曲線的切線定義的迫切要求，這樣就可以激發(fā)學(xué)生的求知欲。另外，通過剛才的分析，使學(xué)生能認(rèn)識(shí)到曲線的切線與曲線本身可能有多個(gè)交點(diǎn)，也為例2中的切線與曲線本身有兩個(gè)交點(diǎn)埋下了伏筆。（二）新知探究，進(jìn)入新課若從“形”的角度探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義就要用到一種重要的思想方法數(shù)形結(jié)合，要研究“形”，自然要結(jié)合“數(shù)”。 1.引導(dǎo)探究下面來(lái)看一個(gè)問題： 問題2：你能借助函數(shù)圖像說(shuō)說(shuō)平均變化率表示什么嗎？其中。請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖像中畫出來(lái)。（課件給出函數(shù)圖像）師: 在函數(shù)圖像中實(shí)際表示的是,在中，而割線的斜率就是，因此平均

8、變化率在圖像中表示的是割線AB的斜率。（展示課件）設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)直線的斜率的計(jì)算公式，能夠讓學(xué)生快速想起平均變化率與斜率的計(jì)算公式之間的聯(lián)系，為平均變化率在函數(shù)圖像中的表示鋪平道路，另外通過課件的展示讓學(xué)生立即聯(lián)想到,之后立即想到斜率，讓學(xué)生通過圖像直觀感受到平均變化率與斜率之間的關(guān)系，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。2.自主探究下面來(lái)探究一下在過程中，割線AB的變化情況你能描述一下嗎？請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖像中畫出來(lái)。（課件動(dòng)畫展示）師：類比數(shù)的變化： （數(shù)），當(dāng)，割線有一個(gè)無(wú)限趨近的確定位置，這個(gè)確定位置上的直線叫做曲線在處的切線，（教師說(shuō)明：通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于

9、各種曲線。）請(qǐng)把它畫出來(lái)。(課件動(dòng)畫展示)師：（形），割線切線，則割線的斜率切線的斜率由數(shù)形結(jié)合，得切線的斜率(課件展示) 設(shè)計(jì)意圖：利用flash動(dòng)畫展示由割線到切線的動(dòng)態(tài)變化過程，反復(fù)通過圖形（數(shù)與形的結(jié)合）去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率，注重讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的一種方式幾何直觀，從而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)和理解，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合及“逼近”等思想和方法。3.自發(fā)探究通過剛才的分析過程，我們得到了一個(gè)概念與一個(gè)結(jié)論.師：（1） 一個(gè)概念：設(shè)函數(shù)的圖像是一條光滑的曲線，當(dāng)趨于時(shí)，點(diǎn)將趨于點(diǎn)，割線將繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)最后趨于直線，此時(shí)直線和曲線在點(diǎn)處相切，稱直線為曲線在點(diǎn)處的切線；（2） 一個(gè)結(jié)論：

10、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就等于曲線的圖像在處的切線AD的斜率。設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)上述兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的梳理，讓學(xué)生經(jīng)歷切線定義的形成過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，完善對(duì)切線的認(rèn)識(shí)與理解，使學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；提高抽象概括的能力。（三）抽象概括，點(diǎn)明主題 通過剛才的敘述，將結(jié)論概括如下：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率。函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。請(qǐng)同學(xué)們注意上面結(jié)論中的兩點(diǎn)：（1） 若設(shè)曲線的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，則用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述上面的結(jié)論就是；（2） 由于切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，因此切點(diǎn)坐標(biāo)既滿足曲線方程又滿足切線方程。設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意

11、義的解讀，使學(xué)生抓住其中的關(guān)鍵要素，為后面的例題解析與學(xué)生分層練習(xí)做好鋪墊。（四）例題探究，主題重現(xiàn)例1： 已知函數(shù) 分別對(duì)求在區(qū)間的平均變化率，并畫出過點(diǎn)（）的相應(yīng)割線; 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，并畫出曲線在點(diǎn)（-2，4）處的切線.解： 當(dāng)時(shí)，區(qū)間相應(yīng)為-2，0，-2，-1，-2，-1.5。在這些區(qū)間中的平均變化率分別為， 其相應(yīng)割線，如圖所示（課件展示），分別是過點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（0，0）的直線，過點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（-1，1）的直線，過點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（-1.5,2.25）的直線.（此處教師帶領(lǐng)學(xué)生處理第一部分，剩余兩部分由學(xué)生課后處理） 在區(qū)間上的平均變化率為 . 令趨于零，知函數(shù)在處的

12、導(dǎo)數(shù)為-4. 曲線在（-2，4）處的切線為，如圖所示。（課件演示） 設(shè)計(jì)意圖：主要通過此題復(fù)習(xí)一下切線的形成過程，從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)一步詮釋導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例2：求函數(shù)在處的切線方程。解：先求在處的導(dǎo)數(shù)， 令趨于零，知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為.這樣，函數(shù)在點(diǎn)（1，）=（1，2）處的切線斜率為6，即該切線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），斜率為6.因此切線方程為，即.思考：通過剛才的解析過程，你能概括出利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的解題步驟嗎？師：步驟如下： 求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切點(diǎn)坐標(biāo)； 根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為.變式延伸：此時(shí)切線與有幾個(gè)交點(diǎn)？怎樣求解交點(diǎn)坐標(biāo)呢？（課件演示）師：通過圖像的觀察，此

13、時(shí)切線與有兩個(gè)交點(diǎn)，將切線方程與曲線方程聯(lián)立組成方程組，解得兩點(diǎn)坐標(biāo)為，.設(shè)計(jì)意圖：此題一個(gè)基礎(chǔ)題型，通過此題讓學(xué)生學(xué)會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求曲線的切線方程，并且通過變式訓(xùn)練改變?cè)瓉?lái)的錯(cuò)誤觀點(diǎn)（切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)）。（五）分層練習(xí)，因材施教1課本P37第1題(由學(xué)生獨(dú)立完成后，教師引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生處理補(bǔ)充練習(xí)2，3） 2函數(shù)的圖像與直線在處相切，則 . 3已知拋物線，在點(diǎn)P（1，2）處與直線相切，求實(shí)數(shù)，.設(shè)計(jì)意圖：通過典例解析，使學(xué)生掌握了如何利用導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義解題常見題型的方法，通過練習(xí)1的鍛煉使之更熟練，練習(xí)2的設(shè)置主要是考察學(xué)生對(duì)于兩個(gè)式子（與）的理解的，而練習(xí)3考察的是學(xué)生

14、綜合知識(shí)運(yùn)用的能力（今天的主要的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在同一個(gè)試題中得到體現(xiàn)）。通過這三題的訓(xùn)練，基本上就可以使每一層學(xué)生都能夠吃得飽，吃得好，體現(xiàn)了對(duì)每一層學(xué)生都應(yīng)該因材施教。（六）小結(jié)復(fù)習(xí)，主題回顧同學(xué)們，我們今天學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，你能概括出今天的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生自行說(shuō)出）師：有三個(gè)，分別是：1切線的定義（略）；2函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。即：切線的斜率； 3曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則切線方程是.設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生小結(jié)復(fù)習(xí)，使他們自己能很好的回顧知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，并且能夠培養(yǎng)他們歸納與概括的思維能力。（七）布置作業(yè)，課后鞏固課本P63習(xí)題32 A組5，B組2.

15、思考：在曲線上過點(diǎn)的切線垂直于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)計(jì)意圖：通過思考題的探究，使學(xué)生抓住其中的兩個(gè)關(guān)鍵要素：一是；二是切點(diǎn)坐標(biāo)既滿足曲線方程又滿足切線方程。八、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容研究了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由于教材未設(shè)計(jì)極限的知識(shí),于是我盡量采用形象直觀的方式，通過動(dòng)手作圖,感受整個(gè)逼近的過程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動(dòng)態(tài)的過程，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決問題”這個(gè)教學(xué)重心展開。首先拋出如何定義曲線的切線，然后由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用

16、逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”，而后通過兩個(gè)例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用?？偟膩?lái)說(shuō)，有以下幾點(diǎn)感觸：1.“以學(xué)生為本”的教育觀是教學(xué)設(shè)計(jì)的根本指導(dǎo)思想。學(xué)生通過“經(jīng)歷”、“體會(huì)”、“感受”的過程學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)了學(xué)生為本的現(xiàn)代教育觀；練習(xí)和作業(yè)的分層設(shè)計(jì)盡量滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求做到因材施教。2.在難點(diǎn)的突破上采取了有效的措施：（1）三類探究符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；（2）問題2的有效分解，突破重難點(diǎn)；（3）充分利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)，數(shù)形結(jié)合分解難點(diǎn)；（4）情景

17、貫穿始終，興趣伴隨學(xué)習(xí)。3.形式和內(nèi)容得到統(tǒng)一，具有很強(qiáng)的可操作性。 各類探究中，形式和內(nèi)容和諧統(tǒng)一，具有很強(qiáng)的可操作性。但是，作為一堂容量較大的微課，時(shí)間如果控制不好，易講不完，所以時(shí)間要注意調(diào)配。通過反思，自己也意識(shí)到：1.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過程應(yīng)該成為我今后數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是對(duì)函數(shù)圖像特征的一種數(shù)學(xué)描述，它經(jīng)歷了由圖像直觀感知到自然語(yǔ)言描述，再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述的進(jìn)化過程，這個(gè)過程充分反映了數(shù)學(xué)的理性精神，是一個(gè)很有價(jià)值的數(shù)學(xué)教育載體。2教學(xué)設(shè)計(jì)最根本的著力點(diǎn)是“為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)”，而不是“為教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)”。通過對(duì)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)，我對(duì)“為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)”有了更深的理解。如果把教學(xué)看作是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起去遠(yuǎn)足，那么學(xué)情分析的目的是要分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，確定一個(gè)合情合理的教學(xué)起點(diǎn)；目標(biāo)導(dǎo)向這是要教師分析預(yù)期達(dá)到的教學(xué)效果，即遠(yuǎn)足所期望到達(dá)的目的地，這是教學(xué)的根本和核心任務(wù)，是教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵；知識(shí)定位則好比是教師要預(yù)先