2013年高考數(shù)學(xué)真題——江蘇卷（教師版含解析）有附加題

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差，其中.棱錐的體積公式：，其中S是錐體的底面積，h為高棱柱的體積公式：VSh，其中S是柱體的底面積，h為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1(2013江蘇，1)函數(shù)的最小正周期為_答案：解析：函數(shù)的最小正周期.2(2013江蘇，2)設(shè)z(2i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為_答案：5解析：|z|(2i)2|44ii2|34i|5.3(2013江蘇，3)雙曲線的兩條漸近線的方程為_答案：解析：由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為.4(2013江蘇，4

2、)集合1,0,1共有_個子集答案：8解析：由于集合1,0,1有3個元素，故其子集個數(shù)為238.5(2013江蘇，5)下圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是_答案：3解析：第一次循環(huán)后：a8，n2；第二次循環(huán)后：a26，n3；由于2620，跳出循環(huán)，輸出n3.6(2013江蘇，6)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為_答案：2解析：由題中數(shù)據(jù)可得，.于是(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，(8990

3、)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22，由，可知乙運動員成績穩(wěn)定故應(yīng)填2.7(2013江蘇，7)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_答案：解析：由題意知m的可能取值為1,2,3，7；n的可能取值為1,2,3，9.由于是任取m，n：若m1時，n可取1,2,3，9，共9種情況；同理m取2,3，7時，n也各有9種情況，故m，n的取值情況共有7×963種若m，n都取奇數(shù)，則m的取值為1,3,5,7，n的取值為1,3,5,7,9，因此滿足條件的情形有4×520種故所求概率為.8(2013江蘇，8)如

4、圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.答案：124解析：由題意可知點F到面ABC的距離與點A1到面ABC的距離之比為12，SADESABC14.因此V1V2124.9(2013江蘇，9)拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部和邊界)若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x2y的取值范圍是_答案：解析：由題意可知拋物線yx2在x1處的切線方程為y2x1.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示：當(dāng)直線x2y0平移到過點A時，x2y取得最大值

5、.當(dāng)直線x2y0平移到過點B(0，1)時，x2y取得最小值2.因此所求的x2y的取值范圍為.10(2013江蘇，10)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，.若(1，2為實數(shù))，則12的值為_答案：解析：由題意作圖如圖在ABC中，1，2.故12.11(2013江蘇，11)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_答案：(5,0)(5，)解析：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且x0時，f(x)x24x，則f(x)原不等式等價于或由此可解得x5或5x0.故應(yīng)填(5,0)(5，)12(2013江蘇，12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

6、(a0，b0)，右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為_答案：解析：設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為，即bxcybc0.于是可知，.，即.a2(a2c2)6c4.6e4e210.e2.13(2013江蘇，13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)(x0)圖象上一動點若點P，A之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為_答案：1，解析：設(shè)P點的坐標(biāo)為，則|PA|2.令，則|PA|2t22at2a22(ta)2a22(t2)結(jié)合題意可知(1)當(dāng)a2，t2時，|PA|2取得最小值此時(

7、2a)2a228，解得a1，a3(舍去)(2)當(dāng)a2，ta時，|PA|2取得最小值此時a228，解得a，a(舍去)故滿足條件的實數(shù)a的所有值為，1.14(2013江蘇，14)在正項等比數(shù)列an中，a6a73.則滿足a1a2ana1a2an的最大正整數(shù)n的值為_答案：12解析：設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，則由，a6a7a5(qq2)3可得q2，于是an2n6，則a1a2an.，q2，a61，a1a11a2a101.a1a2a111.當(dāng)n取12時，a1a2a1227a1a2a11a12a1226成立；當(dāng)n取13時，a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a1326·27213

8、.當(dāng)n13時，隨著n增大a1a2an將恒小于a1a2an.因此所求n的最大值為12.二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15(2013江蘇，15)(本小題滿分14分)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22a·bb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22a·b2，即a·b0.故ab.(2)解：因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，

9、所以由此得cos cos()由0，得0，又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而，所以，.16(2013江蘇，16)(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明：(1)因為ASAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點又因為E是SA的中點，所以EFAB.因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因為平面SAB平面SBC，且交線為SB，又AF平面

10、SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因為BC平面SBC，所以AFBC.又因為ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因為SA平面SAB，所以BCSA.17(2013江蘇，17)(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解：(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，

11、1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為MA2MO，所以，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.18(2013江蘇，18)(本小題滿分16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行

12、到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min，在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解：(1)在ABC中，因為cos A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理

13、，得1 040(m)所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(10050t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故當(dāng)(min)時，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理，得BC500(m)乙從B出發(fā)時，甲已走了50×(281)550(m)，還需走710 m才能到達C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得，解得，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行

14、的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)19(2013江蘇，19)(本小題滿分16分)設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項和記，nN*，其中c為實數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.證明：由題設(shè)，.(1)由c0，得.又因為b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b1b4，即，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*

15、，代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN*，有c(d1b1)令A(yù)，Bb1d1a，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，從而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，從而cd10.即0，b1d1a0，cd10.若d10，則由0，得d0，與題設(shè)矛盾，所以d10.又因為cd10，所以c0.20(2013江蘇，20)(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)ln xax，g(x)exax，其中a為實數(shù)(1)若f(x)在(1，)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，)上有最小值

16、，求a的取值范圍；(2)若g(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論解：(1)令f(x)0，考慮到f(x)的定義域為(0，)，故a0，進而解得xa1，即f(x)在(a1，)上是單調(diào)減函數(shù)同理，f(x)在(0，a1)上是單調(diào)增函數(shù)由于f(x)在(1，)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，)(a1，)，從而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a當(dāng)xln a時，g(x)0；當(dāng)xln a時，g(x)0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a1，即ae.綜上，有a(e，)(2)當(dāng)a0時，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a0時，令g(x)exa0，解得aex，即xln a.因為

17、g(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，類似(1)有l(wèi)n a1，即0ae1.結(jié)合上述兩種情況，有ae1.當(dāng)a0時，由f(1)0以及f(x)0，得f(x)存在唯一的零點；當(dāng)a0時，由于f(ea)aaeaa(1ea)0，f(1)a0，且函數(shù)f(x)在ea,1上的圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點另外，當(dāng)x0時，f(x)a0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個零點當(dāng)0ae1時，令f(x)a0，解得xa1.當(dāng)0xa1時，f(x)0，當(dāng)xa1時，f(x)0，所以，xa1是f(x)的最大值點，且最大值為f(a1)ln a1.當(dāng)ln a10，即ae1時，f(x)有一個零點xe.

18、當(dāng)ln a10，即0ae1時，f(x)有兩個零點實際上，對于0ae1，由于f(e1)1ae10，f(a1)0，且函數(shù)f(x)在e1，a1上的圖象不間斷，所以f(x)在(e1，a1)上存在零點另外，當(dāng)x(0，a1)時，f(x)a0，故f(x)在(0，a1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0，a1)上只有一個零點下面考慮f(x)在(a1，)上的情況先證f(ea1)a(a2ea1)0.為此，我們要證明：當(dāng)xe時，exx2.設(shè)h(x)exx2，則h(x)ex2x，再設(shè)l(x)h(x)ex2x，則l(x)ex2.當(dāng)x1時，l(x)ex2e20，所以l(x)h(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)x2時，h(

19、x)ex2xh(2)e240，從而h(x)在(2，)上是單調(diào)增函數(shù)，進而當(dāng)xe時，h(x)exx2h(e)eee20.即當(dāng)xe時，exx2.當(dāng)0ae1，即a1e時，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)0，又f(a1)0，且函數(shù)f(x)在a1，ea1上的圖象不間斷，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零點又當(dāng)xa1時，f(x)a0，故f(x)在(a1，)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a1，)上只有一個零點綜合，當(dāng)a0或ae1時，f(x)的零點個數(shù)為1，當(dāng) 0ae1時，f(x)的零點個數(shù)為2.數(shù)學(xué)(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多

20、做，則按作答的前兩小題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟21(2013江蘇，21)A選修41：幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.證明：連結(jié)OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以ADOACB90°.又因為AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.B選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A，B，求矩陣A1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則，即，故a1，b0，c0，從而A的逆矩陣為A1，所以A1B.C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)

21、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標(biāo)解：因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點的坐標(biāo)為(2,2)，.D選修45：不等式選講(本小題滿分10分)已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2

22、a3b32ab2a2b.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22(2013江蘇，22)(本小題滿分10分)如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因為cos，所以

23、異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)，所以n1·0，n1·0，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.23(2013江蘇，23)(本小題滿分10分)設(shè)數(shù)列an：1，2，2,3,3,3，4，4，4，4，即當(dāng)(kN*)時，an(1)k1k.記Sna1a2an(nN*)對于lN*，