平面直角坐標(biāo)系知識(shí)梳理及題型

1、 平面直角坐標(biāo)系知識(shí)結(jié)構(gòu)圖： 一、知識(shí)要點(diǎn)： （一）有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)。記作（a ，b） （二）平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成了平面直角坐標(biāo)系； 1、坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)，都和惟一的一對(duì) 有序?qū)崝?shù)對(duì)（）一一對(duì)應(yīng)；其中，為橫坐標(biāo)，為 縱坐標(biāo)坐標(biāo)； 2、軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)等于0；軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)等于0；坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限 （三）四個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)具有如下特征：象限橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)第一象限正正第二象限負(fù)正第三象限負(fù)負(fù)第四象限正負(fù) 1、點(diǎn)P（）所在的象限 橫、縱坐標(biāo)、的取值的正負(fù)性； 2、點(diǎn)P（）所在的數(shù)軸 橫、縱坐標(biāo)、中必有一數(shù)為零；P（

2、） （四）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P，則 1、點(diǎn)P到軸的距離為； 2、點(diǎn)P到軸的距離為； 3、點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為PO （五）平行直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征： 1、在與軸平行的直線上， 所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等；YABB 點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)都等于； XYX2、 2、在與軸平行的直線上，所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等；CD 點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)都等于； （六）對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征： 1、點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為， 即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 2、點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為， 即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；XyPOXyPOXyPO 3、點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，即橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)； 關(guān)于x軸對(duì)稱 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （

3、七）兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征： 1、若點(diǎn)P（）在第一、三象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標(biāo)相等； 2、若點(diǎn)P（）在第二、四象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；yPOXXyPO 在第一、三象限的角平分線上 在第二、四象限的角平分線上 （八）利用平面直角坐標(biāo)系繪制區(qū)域內(nèi)一些點(diǎn)分布情況平面圖過(guò)程如下： 1、建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向； 2、根據(jù)具體問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度； 3、在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出這些點(diǎn)，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱。P（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移a個(gè)單位長(zhǎng)度

4、向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度 （九）用坐標(biāo)表示平移：見(jiàn)下圖 二、題型分析： 題型一： 代數(shù)式與點(diǎn)坐標(biāo)象限判定 此類問(wèn)題通常與不等式（組）聯(lián)系在一起，或由點(diǎn)所在的象限確定字母的取值范圍，或由字母的取值范圍確定點(diǎn)所在的象限【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在（）第一象限第二象限第三象限第四象限【解析】由各象限點(diǎn)的特征知，點(diǎn)在第四象限，故選D【點(diǎn)評(píng)】解答這類問(wèn)題所需的知識(shí)點(diǎn)是第一、二、三、四象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)分別是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）【例2】若點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則點(diǎn)一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】由題意

5、知，解得于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），于是點(diǎn)P在第二象限選B【點(diǎn)評(píng)】本題設(shè)置了一個(gè)小小的障礙，即先根據(jù)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)列出方程解出m，然后才能根據(jù)會(huì)標(biāo)特點(diǎn)確定象限 【例3】若點(diǎn)P（a，b）在第四象限，則點(diǎn)M（b-a，a-b）在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 答案：B分析：第四象限橫坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0. 【例4】如果ab0,且ab0,那么點(diǎn)(a，b)在 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 答案：B 【例5】對(duì)任意實(shí)數(shù)x，點(diǎn)P（x，x22x）一定不在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C 【例7

6、】點(diǎn)P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 。答案：（3，-2） 【例8】若點(diǎn)M (1 x，x + 2 ) 在第二象限內(nèi)，則x的取值范圍為 ；答案：x2習(xí)題演練：1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（）一定在 象限。2、點(diǎn)P（x1，x1）不可能在（ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限3、如果點(diǎn)M（ab，ab）在第二象限，那么點(diǎn)N（a，b）在第_象限。4、點(diǎn)Q (3 a，5 a )在第二象限，則= ；5、點(diǎn)M（a，a-1）不可能在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、如果0，那么點(diǎn)P（x，y）在 （ ） A、 第二象限 B、第四象

7、限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或第三象限 題型二：用代數(shù)式求坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo) 例1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（）在軸上，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 答案： （7，0） 例2：已知:A(1,2),B(x,y),ABx軸,且B到y(tǒng)軸距離為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 . 答案：（-2，2）或（2，2） 習(xí)題演練： 1、已知點(diǎn)A（m，-2），點(diǎn)B（3，m-1），且直線ABx軸，則m的值為 。2、已知線段AB=3，AB軸，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；3、已知點(diǎn)P（x2-3，1）在一、三象限夾角平分線上，則x= . 題型三：求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)解答此類問(wèn)題所需知識(shí)點(diǎn)是：點(diǎn)（a,b）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(a,

8、-b)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-a,b)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（-a,-b）圖1【例1】在如圖1所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，如果以所在的直線為軸，以小正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（）【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，MN所在直線為y軸，于是可確定原點(diǎn)為圖中O點(diǎn)位置，即x軸為過(guò)O點(diǎn)的一條橫線，于是C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），即選B【點(diǎn)評(píng)】本題逆向考查了兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，求C點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵是確定直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)所在 例1：點(diǎn)M（2，3）關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ； 關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。答案：（

9、2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2） 例2 已知點(diǎn)A（a，5），B（8，b）根據(jù)下列要求，確定a，b的值（1）A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（3）ABx軸；（4）A，B兩點(diǎn)在一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上 【分析】（1）兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，而縱坐標(biāo)相同； （2）兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)； （3）兩點(diǎn)連線平行于x軸時(shí)，這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同（但橫坐標(biāo)不同）； （4）當(dāng)兩點(diǎn)位于一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上時(shí)，每個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同 【解答】（1）當(dāng)點(diǎn)A（a，5），B（8，b）關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)有： （2）當(dāng)點(diǎn)A（a，5），B

10、（8，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有 （3）當(dāng)ABx軸時(shí)，有（4）當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于一，三象限兩坐標(biāo)軸夾角平分線上時(shí)有：xA=yB且xA=yB即a=5，b=8 【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵習(xí)題演練：1、點(diǎn)P(，)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；2、在平面直角坐標(biāo)系下，下列各組中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)是（  ）A、（3，2）（3，2） B、（0，3）（0，3） C、（3，0）（3，0） D、（3，2）（3，2） 題型四：根據(jù)坐標(biāo)對(duì)稱求代數(shù)式的值 例1：已知點(diǎn)P和點(diǎn)A關(guān)于軸對(duì)稱，那么= ； 答案：習(xí)題演練： 1、已知點(diǎn)A（

11、2a+3b，2）和點(diǎn)B（8，3a+2b）關(guān)于x軸對(duì)稱，那么a+b=（ ） A、2 B、2 C、0 D、4 答案：A2、已知：點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)，且點(diǎn)P關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(,)，則； 答案：-3 ； 題型五：根據(jù)到坐標(biāo)軸的距離求坐標(biāo) 例1：過(guò)點(diǎn)A（2，-3）且垂直于y軸的直線交y軸于點(diǎn)B，則點(diǎn)B坐標(biāo)為 （ ）A、（0，2） B、（2，0） C、（0，-3） D、（-3，0）答案：C 例2：已知點(diǎn)M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A、（3，2） B、（-3，-2） C、（3，-2） D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）答案：D 例3：若點(diǎn)P（，）到

12、軸的距離是，到軸的距離是，則這樣的點(diǎn)P有 （ ）、個(gè) 、個(gè) 、個(gè) 、個(gè)答案：D習(xí)題演練： 1、點(diǎn)P位于x軸下方，y軸左側(cè)，距離x軸4個(gè)單位長(zhǎng)度，距離y軸2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （ ）A、（4，2） B、（2，4） C、（4，2） D、（2，4）答案：B2、點(diǎn)E（a,b）到x軸的距離是4，到y(tǒng)軸距離是3，則有 （ ）A、a=3, b=4 B、a=±3,b=±4 C、a=4, b=3 D、a=±4,b=±3 答案：D3、已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2 a，3a + 6），且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)P坐標(biāo)是 ( )A、（3，3) B、(3，3) C、(6，

13、一6) D、(3，3)或(6，一6)答案：D 題型六：根據(jù)圖形的其他頂點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)坐標(biāo) 例1：在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，-5），（-2，-2），以這三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在第_象限 答案：一習(xí)題演練：1、一個(gè)長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）、（1，2）、（3,1），則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3） 答案：B 題型七：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求圖形的面積 例1：已知點(diǎn)A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B兩點(diǎn)之間的距離。（2）求點(diǎn)C到X軸的距離。（3）求

14、ABC的面積。 答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9習(xí)題演練：1、在坐標(biāo)系中，已知A（2，0），B（3，4），C（0，0），則ABC的面積為（ ）A、4 B、6 C、8 D、3答案：A技巧：割補(bǔ)法求面積 題型八： 求平移后的坐標(biāo) 例1：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（1，4）、（1，1）、（4，1），現(xiàn)將這三個(gè)點(diǎn)先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A、（2，2），（3，4），（1，7） B、（2，2），（4，3），（1，7）C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，2），（3，3），（1，7）答案：A 例2：線段CD是由線段AB平移得到的

15、.點(diǎn)A（1，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C（4，7），則點(diǎn)B（ 4， 1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ） A、（2，9） B、（5，3） C、（1，2） D、（ 9， 4）答案：C習(xí)題演練：1、已知點(diǎn)，將它先向左平移4個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 答案：（-1,1） 題型九：圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)【例4】將點(diǎn)沿軸的正方向平移個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)是（） 【解析】將點(diǎn)P沿軸的正方向平移時(shí)，橫坐標(biāo)發(fā)生變化，然縱坐標(biāo)是不變化的，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），即選C圖2【點(diǎn)評(píng)】處理類似問(wèn)題不妨新建一個(gè)直角坐標(biāo)系草圖分析一下，沿x軸正方向平移時(shí)，縱坐標(biāo)的不變性就很直觀了【例5】如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到若點(diǎn)的坐

16、標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】從圖形上可以看出，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的所在位置也很特殊，即B恰好落在y軸上，于是點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a,橫坐標(biāo)應(yīng)該為-b;故點(diǎn)的坐標(biāo)為（-b,a）【點(diǎn)評(píng)】本題分析出得到的所在位置很特殊還算容易，但在處理坐標(biāo)時(shí)更容易粗心致錯(cuò)，即認(rèn)為點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)該為b，忽視逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A所在象限變化到第二象限了 例1：如圖4所示，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2006次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P2006的位置，則P2006的橫坐標(biāo)x2006=_ 答案：2006 圖1 圖2 例2：已知ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖8所示，將ABC向右平移6個(gè)單位，則平移后A的坐標(biāo)是（ ） A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1） 答案：B 題型十：尋點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形 例1：在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），請(qǐng)你在坐標(biāo)軸上找出點(diǎn)B，使AOB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)B共有（ ）A6個(gè) B7個(gè) C8個(gè) D9個(gè)答案：C題型十