小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用

1、小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用摘要:主要分析了基于小波變換的圖像分解和圖像壓縮的技術(shù),并運(yùn)用Matlab 軟件對圖像進(jìn)行分解,然后提取其中與原圖像近似的低頻信息,達(dá)到對圖像進(jìn)行壓縮的目的. 分別作第一層分解和第二層分解,并比較圖像壓縮的效果.關(guān)鍵詞:小波變換;多分辨分析;圖像分解;圖像壓縮Abstract :This paper analysed the technologies of the picture decomposition and compression basecd on wavelet trans2form ,and decomposing the picture using

2、 Matlab ,and then picked up the low frequency information of approximate for2mer picture ,and achieved goals of picture was compression. The picture is respectively decomposed to the first layer andthen to the second layer ,and the effect of the compression of the picture is compared.Key words :wave

3、let transform; multiresolution analyse ; picture decomposition ; picture compression小波變換的理論是近年來興起的新的數(shù)學(xué)分支,素有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美稱. 它是繼1822 年傅立葉提出傅立葉變換之后又一里程碑式的領(lǐng)域,解決了很多傅立葉變換不能解決的困難問題. 小波變換可以使得信號的低頻長時(shí)特性和高頻短時(shí)特性同時(shí)得到處理,具有良好的局部化性質(zhì),能有效地克服傅氏變換在處理非平穩(wěn)復(fù)雜信號時(shí)存在的局限性,具有極強(qiáng)的自適應(yīng)性,因此在圖像處理中具有極好應(yīng)用價(jià)值. 本文主要分析了基于小波變換的圖像分解和圖像壓縮技術(shù),并運(yùn)用Ma

4、tlab 軟件對圖像進(jìn)行分解,然后提取其中與原圖像近似的低頻信息,達(dá)到對圖像進(jìn)行壓縮的目的. 分別作第一層分解和第二層分解,并比較圖像壓縮的效果. 先引入文中的有關(guān)基本理論.1 基本理論小波是指函數(shù)空間) 中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號 ,這里, = R - 0 表示非零實(shí)數(shù)全體.對于任意的函數(shù)或者信號f ( x) ,其小波變換定義為 ,因此,對任意的函數(shù)f ( x) ,它的小波變換是一個(gè)二元函數(shù).另所謂多分辨分析是指設(shè) Vj ; j Z 是上的一列閉子空間,其中的一個(gè)函數(shù),如果它們滿足如下五個(gè)條件,即(1) 單調(diào)性:Vj < Vj + 1 , P j Z ;(2) 惟一性: ;(3)

5、 稠密性: ;(4) 伸縮性: , ;(5) Riesz 基存在性:存在,使得構(gòu)成 的Riesz 基. 稱為尺度函數(shù). 那么,稱是上的一個(gè)多分辨分析.若定義函數(shù),;則由多分辨分析的定義, 容易得到一個(gè)重要結(jié)果, ,即函數(shù)族 是空間Vj 的標(biāo)準(zhǔn)正交基. 關(guān)于多分辨分析,在這里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說明, 多分辨分析只是對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解,而高頻部分則不予考慮. 分解具有關(guān)系;另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說明,如果要進(jìn)行進(jìn)一步分解,則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分,以下再分解,依次類推. 在理解多分辨分析時(shí),必須牢牢把握一點(diǎn),即分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間

6、的正交小波基,這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器. 多分辨分析只對低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解,使頻率的分辨率變得越來越高.而關(guān)于Mallat 算法是將上的多分辨分析記為,尺度方程和小波方程為和,其中,系數(shù)關(guān)系是,對任意的整數(shù)j 和k ,沿用記號,和對于任意信號引入記號稱為f ( x) 的尺度系數(shù)和小波系數(shù),同時(shí),將f ( x) 在閉子空間和上的正交投影記為和,這樣根據(jù)空間正交值和分解關(guān)系可得因此,信號的尺度變換系數(shù)和小波變換系數(shù)之間的關(guān)系現(xiàn)在可以寫成2 小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用二維離散小波變換后的系數(shù)分布 ,構(gòu)成了信號f ( x , y) 的二維正交小波分解系數(shù), 它們每

7、一個(gè)都可被看做一幅圖像,給出了f ( x , y) 垂直方向的高頻分量的小波分解系數(shù), 給出了f ( x , y ) 水平方向的高頻分量的小波分解系數(shù), 給出了f ( x , y) 對角方向高頻分量的小波分解系數(shù), 給出了f ( x , y) 的低頻分量的小波分解系數(shù). 由此可見,若用,分別表示,經(jīng)21 亞抽樣后的變換系數(shù)(簡稱為子圖像) ,則任一圖像都可以分解為之間的3J + 1 個(gè)離散子圖像: ,其中SJ 是原圖像的一個(gè)近似, 則是圖像在不同方向、不同分辨率下的細(xì)節(jié);如果原圖像有個(gè)像素,則子圖像,個(gè)像素,因而分解后總的像素?cái)?shù)為.可見,分解后總的像素?cái)?shù)不變.二維數(shù)字信號也即數(shù)字圖像, 對它的

8、處理是基于圖像的數(shù)字化來實(shí)現(xiàn)的. 圖像的數(shù)字化結(jié)果就是一個(gè)巨大數(shù)字矩陣,圖像處理就在這個(gè)矩陣上完成. 所以,可將二維數(shù)字信號看做,即并采用與一維情況類似的Mallat 算法. 由于兩次一維小波變換來實(shí)現(xiàn)一次二維小波變換,所以先對該矩陣的行進(jìn)行小波變換,再對列進(jìn)行小波變換.3 運(yùn)用Matlab 小波工具箱進(jìn)行圖像分解并壓縮下面的實(shí)例是基于二維小波分析對圖像進(jìn)行壓縮. 一個(gè)圖像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子圖像,不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的. 高分辨率(即高頻) 子圖像上大部分點(diǎn)都接近于0 ,越是高頻這種現(xiàn)象越明顯. 對一個(gè)圖像來說,表現(xiàn)一個(gè)圖像最主要的部分是低頻部分,所以一個(gè)

9、最簡單的壓縮方法是利用小波分解,去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分.圖像壓縮可按如下Matlab 程序進(jìn)行處理.load woman ;subplot (221) ;image (X) ;colormap (map) ;title (原始圖像) ;axis square ;% = c ,s =wavedec2 (X ,2 ,bior3. 7) ;ca1 = appcoef2 (c ,s ,bior3. 7,1) ;ch1 = detcoef2 (h,c ,s ,1) ;cv1 = detcoef2 (v,c ,s ,1) ;cd1 = detcoef2 (d,c ,s ,1) ;a1 =wrc

10、oef2 (a,c ,s ,bior3. 7,1) ;h1 =wrcoef2 (h,c ,s ,bior3. 7,1) ;v1 =wrcoef2 (v,c ,s ,bior3. 7,1) ;d1 =wrcoef2 (d,c ,s ,bior3. 7,1) ;c1 = a1 ,h1 ;v1 ,d1 ;subplot (222) ;image (c1) ;axis squaretitle (分解后低頻和高頻信息) ;% =ca1 = appcoef2 (c ,s ,bior3. 7,1) ;ca1 =wcodemat (ca1 ,440 ,mat,0) ;ca1 = 0. 5 3 ca1 ;sub

11、plot (223) ;image (ca1) ;colormap (map) ;title (第一次壓縮圖像) ;axis square% =ca2 = appcoef2 (c ,s ,bior3. 7,2) ;ca2 =wcodemat (ca2 ,440 ,mat,0) ;ca2 = 0. 25 3 ca2 ;subplot (224) ;image (ca2) ;colormap (map) ;axis square ;title (第二次壓縮圖像) ;在這里可以看出,第一次壓縮我們是提取原始圖像中小波分解第一層的低頻信息,此時(shí)壓縮效果較好,壓縮比較小(約為1/ 3) ;第二次壓縮是提

12、取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分) ,其壓縮比比較大(1/ 12) ,壓縮效果在視覺上也基本過得去,它不需要經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果.通過MATLAB仿真,所得圖像如下所示: 4 結(jié)論圖像壓縮是一個(gè)很有發(fā)展前途的研究領(lǐng)域,它的研究就是尋找高壓縮比的方法且壓縮后的圖像要有合適的信噪比,在壓縮傳輸后還要恢復(fù)原信號,且在壓縮、傳輸、恢復(fù)的過程中,還要求圖像的失真度小. 而將小波分析引入圖像壓縮的研究范疇,當(dāng)一個(gè)圖像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的子圖像,不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的. 高分辨率子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近0 ,越高就越明顯.而對于一個(gè)圖像來說,表現(xiàn)一個(gè)圖像的最主要部分是低頻部分. 而且小波分析能使壓縮比高、壓縮速度快,壓縮后能保持信號與圖像的特征基本不變. 在數(shù)字圖像處理中具有很強(qiáng)的使用價(jià)值.參考文獻(xiàn)1 程正興. 小波分析算法與應(yīng)用M . 西安:西安交通大學(xué)出版社,1998.2 冉啟文. 小波變換與分?jǐn)?shù)傅立葉變換理論及應(yīng)用M . 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2001.3 徐佩霞,孫公憲. 小波分析與應(yīng)用實(shí)例M . 合肥:中國科技大學(xué)出版社,1996.4 秦前清. 實(shí)用小波分析M . 西安:西安電