平面向量的概念及線性運(yùn)算講義

1、平面向量的概念及線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或稱_)平面向量是自由向量零向量長度為_的向量；其方向是任意的記作_單位向量長度等于_的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向_或_的非零向量0與任一向量_或共線共線向量_的非零向量又叫做共線向量相等向量長度_且方向_的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度_且方向_的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：ab_.(2)結(jié)合律：(ab)c_.減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差_法則aba(

2、b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|_；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向_；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向_；當(dāng)0時(shí)，a_(a)_；()a_；(ab)_3.共線向量定理a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1向量的兩要素向量具有大小和方向兩個(gè)要素用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒有關(guān)系同向且等長的有向線段都表示同一向量或者說長度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等，而沒有誰大誰小之說，即向量不能比較大小2向量平行與直線平行的區(qū)別向量平行包括向量共線和重合的情況，而直線平行不包括共線的情況因而要利用向量平行證明

3、向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合1(課本改編題)化簡的結(jié)果為_2在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且a，b，則_.3下列命題：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；相等向量一定共線其中不正確命題的序號(hào)是_4已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足0，則實(shí)數(shù)的值為_5已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且20，那么() A. B.2C.3 D2題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b

4、|且ab.其中正確命題的序號(hào)是_探究提高(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖像移動(dòng)混為一談(5)非零向量a與的關(guān)系是：是a方向上的單位向量 判斷下列命題是否正確，不正確的請(qǐng)說明理由(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a與b方向相同，則ab；(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與

5、向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上；(7)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等題型二向量的線性運(yùn)算例2如圖，在ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB2GE，設(shè)a，b，試用a，b表示，.探究提高(1)解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問題間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果如圖，在ABC中，E、

6、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a，b表示.題型三平面向量的共線問題例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線探究提高(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時(shí)成立，則向量a、b不共線 如圖所示，ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使得ANAC，在AB上取一點(diǎn)M，使得AMAB，在BN的延長線上取點(diǎn)P，使得

7、NPBN，在CM的延長線上取點(diǎn)Q，使得時(shí)，試確定的值11.用方程思想解決平面向量的線性運(yùn)算問題試題：(13分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.審題視角(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用共線定理建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點(diǎn)共線，與共線存在實(shí)數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，ba

8、ab.又C、M、B三點(diǎn)共線，與共線10分存在實(shí)數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.12分由得m，n，ab.13分批閱筆記(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度(2)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧如本題學(xué)生易忽視A、M、D共線和B、M、C共線這個(gè)幾何特征(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì)方法與技巧1將向量用其它向量(特別是基向量)

9、線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ)2可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線問題如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點(diǎn)共線失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；a0 (為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)

10、誤命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D42設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2，則()A.0 B.0C.0 D.03已知向量a，b不共線，ckab (kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向二、填空題4設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_5在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中，R，則_.6.如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_三、解答題7. 如圖，以向量a，b為邊作OADB，用a、b表示、.8若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同

11、，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1已知P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中R，則點(diǎn)P一定在()AABC的內(nèi)部 BAC邊所在直線上CAB邊所在直線上 DBC邊所在直線上2已知ABC和點(diǎn)M滿足0，若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m等于()A2 B3 C4 D53O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足： ，0，)，則P的軌跡一定通過ABC的()A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心二、填空題4已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，則在下列四個(gè)條件中，能使a、b共線的條件是_(將正確的序號(hào)填在橫線上)2a3b4e，且a2b3e；存在相異實(shí)

12、數(shù)、，使·a·b0；x·ay·b0(實(shí)數(shù)x，y滿足xy0)；若四邊形ABCD是梯形，則與共線5. 如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_6在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若2，則_.7已知直線xya與圓x2y24交于A、B兩點(diǎn)，且|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_三、解答題8已知點(diǎn)G是ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)(1)求；(2)若PQ過ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求證：3. 答案要點(diǎn)梳理1大小方向長度模零01個(gè)單位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2三角

13、形平行四邊形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)相同相反0aaaab基礎(chǔ)自測1.2.ba3.4.25.A題型分類·深度剖析例1變式訓(xùn)練1解(1)不正確，因?yàn)橄蛄恐挥懻撓嗟群筒坏龋荒鼙容^大小(2)不正確，因?yàn)橄蛄磕Ｏ嗟扰c向量的方向無關(guān)(3)正確(4)不正確，因?yàn)橐?guī)定零向量與任意向量平行(5)不正確，因?yàn)閮烧咧腥粲辛阆蛄浚阆蛄康姆较蚴侨我獾?6)不正確，因?yàn)榕c共線，而AB與CD可以不共線即ABCD.(7)正確(8)不正確，因?yàn)榱阆蛄靠梢耘c它的相反向量相等例2解()ab；()()ab.變式訓(xùn)練2解()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.例3(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(2)解kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，kk10，k210.k±1.變式訓(xùn)練3課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1C2.B3.D4.1