微分方程考研

1、常微分方程§1 一階微分方程【大綱基本要求】（1） 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.（2） 掌握變量分離微分方程及一階線性微分方程的解法.（3） 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程.一、 基本概念定義（微分方程）含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程.注：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程叫做偏微分方程，我們以后討論的只是常微分方程，簡稱微分方程.定義（微分方程的階）微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.定義（微分方程的解）如果能找到這樣的

2、函數(shù)，把它代入微分方程，能使該方程成為恒等式，稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解.若解中含有任意常數(shù)，當(dāng)獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)正好與方程的階數(shù)相等時(shí)，該解叫做通解（或一般解）；不含有任意常數(shù)的解叫做特解.定義（初值問題）用來確定通解中任意常數(shù)的定解條件中最常見的是初始條件，求n階微分方程的一個(gè)解，使它滿足預(yù)先給定的初始條件的問題，稱為微分方程的初值問題.二、一階微分方程的分類及其解法1 變量分離微分方程形如的一階微分方程，稱為變量分離微分方程.解法：對變量分離微分方程，分離變量后兩邊積分，便可求得其通解.2. 可以化為變量分離方程的微分方程（1）齊次微分方程.形如的微分方程中可以寫成的形式，我們稱這類微

3、分方程為齊次微分方程.解法： 對，做變換，則，代入方程得，化為變量分離微分方程求解.（2）形如是可化為齊次的方程.解法：情形1：若則令方程化為齊次微分方程.情形2：若則通解為.情形3：若則令 從而.情形4：方程化為齊次微分方程.，其中待定.于是，從而原方程化為 .如果方程組有解，那么可以定出，使上式變?yōu)?，然后化為齊次微分方程求解.3. 一階線性微分方程形如的微分方程稱為一階線性微分方程.如果恒等于零，稱方程為齊次的，如果不恒等于零，稱方程為非齊次的.解法1：常數(shù)變易法.在求得其對應(yīng)的齊次方程的通解，將解中的常數(shù)C變易為x的函數(shù)C(x).即，其中C(x)是待定的函數(shù)，對 ，兩端積分后得 ，于是方

4、程的通解為.解法2：直接用公式求通解 .4可以化為一階線性方程的微分方程-伯努利方程形如的微分方程稱為伯努利方程.解法：做變量代換： 化原方程為這是一階線性微分方程，可用上述一階線性微分方程求出關(guān)于的通解，再將換成便可得到的通解.5 全微分方程若 則稱形如的微分方程為全微分方程.解法： 由 得到再由推出=？ =？故=C為原微分方程的通解.注：若方程不是全微分方程，但如果方程兩邊乘上函數(shù)后可將方程化為全微分方程，我們稱為該微分方程的積分因子，該方程稱為具有積分因子的微分方程.若 則有積分因子 ，若 則有積分因子 .三 典型例題精解1微分方程的基本概念例1 已知曲線過點(diǎn),且其上任一點(diǎn)出的斜率為，則

5、.例2 驗(yàn)證的通解.2. 可分離變量的微分方程例3 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))例4 求方程的解.(答案)例5 求的通解.(答案，為常數(shù))3. 一階線性微分方程例6 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))例7 求微分方程滿足初始條件的特解.(答案)例 8 求微分方程滿足的特解.(答案)4伯努利方程例9 求微分方程滿足初始條件的特解.(答案)例10 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))例11 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))5全微分方程例12 求微分方程的滿足條件的解.(答案)例13 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))例14 驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它的通解.(答案，為常數(shù))下面給出一些分項(xiàng)

6、組合時(shí)常用的微分公式：例15 求的通解.(答案，為常數(shù))例16 已知，求.(答案，為常數(shù))6一階微分方程綜合題思路：在試題中，有時(shí)要求一個(gè)滿足某種條件的未知函數(shù)，這種情況通常歸結(jié)為求解一個(gè)微分方程.此時(shí)，需要先根據(jù)給定的條件，利用高等數(shù)學(xué)中其他章節(jié)的知識，導(dǎo)出未知函數(shù)滿足的微分方程（一階或高階），再求解該方程.例17 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且對任何, 有，求函數(shù).(答案，為常數(shù))例18 求連續(xù)函數(shù)，使曲線積分與積分路徑無關(guān)，且.(答案)§2 可降階的高階微分方程【大綱基本要求】會用降階法解下列微分方程：一 基本概念定義 二階或二階以上的微分方程，稱為高階微分方程.定義 對于高階微分方程，通過代

7、換將它化為較低階的方程，這種方法稱為降階法.二、可降階的高階微分方程及其解法1方程解法：這個(gè)方程的特點(diǎn)是它的右端不含未知函數(shù)及其1至n-1階導(dǎo)數(shù)，用逐次求不定積分的方法可求得方程的通解.方程可改為將上式兩邊分別求積分，得n-1階微分方程再按同樣的方法積分n-1次，即可得所求方程的通解.2方程解法：這個(gè)方程的特點(diǎn)是它的右端不顯含，令，則，代入方程，其化為一階微分方程解此一階微分方程，可求得其通解，設(shè)它為，因，于是原方程的通解為.3. 方程解法：方程的特點(diǎn)是方程右端不顯含自變量x，令 則，代入原方程得關(guān)于的一階微分方程 設(shè)此方程的通解為，即，在分離變量后，便可求得原方程得通解.三、典型例題精解1方

8、程的解法例1 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))2. 方程的解法例2 求方程的通解.(答案，為常數(shù))3. 方程的解法例3 求微分方程的通解.(答案，為常數(shù))例4 求微分方程滿足初始條件的特解.(答案)4. 可降價(jià)的高階微分方程的綜合題 解這類題的基本分析方法與步驟與一階微分方程的情形類同.例5 設(shè)對任意的，曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于，求的表達(dá)式. (答案，為常數(shù)) §3 高階線性微分方程【大綱基本要求】（1）理解線性微分方程的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu).（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.（3）會解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦

9、函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.（4）會解歐拉方程.一、基本概念定義 形如 （9.1）的微分方程稱為階線性微分方程，其中為連續(xù)函數(shù).當(dāng)時(shí)，（9.1）式成為 （9.2）（9.2）式稱為階齊次線性微分方程，而當(dāng)時(shí)，稱（9.1）式為階非齊次線性微分方程.二、高階線性微分方程的重要定理、性質(zhì)及其解法1. 齊次線性微分方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)定理定理1 若函數(shù)是齊次線性微分方程（9.2）的個(gè)解，則它們的線性組合，即也是微分方程（9.2）的解.定理2 若是n階齊次線性微分方程（9.2）的個(gè)線性無關(guān)的解，則它們的線性組合 是方程（9.2）的通解，其中是個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù). 2. 非齊次線性微

10、分方程的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)定理 定理3 設(shè)與分別是非齊次線性微分方程 和 的解，則是方程的解.定理4 設(shè)方程（9.2）是非齊次線性微分方程（9.1）相對應(yīng)的齊次線性微分方程. 若Y是方程（9.2）的通解，是方程（9.1）的一個(gè)特解，則是非齊次線性微分方程（9.1）通解.3. 非齊次線性微分方程的解與對應(yīng)的齊次線性微分方程的解的關(guān)系定理5 設(shè)是非齊次線性微分方程（9.1）的兩個(gè)解，則是對應(yīng)的齊次線性微分方程（9.2）的解. 4. 二階常系數(shù)齊次微分方程二階常系數(shù)齊次微分方程的一般形式為 （9.3）其中為常數(shù). 對于二階常系數(shù)齊次微分方程（9.3），只要求得它的特征方程的根，無需積分就能求得它的通解，

11、如9.1所示.表9.1特征方程的根微分方程的通解兩個(gè)不等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對共軛復(fù)根注 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法，可以推廣到高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.設(shè)n階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為 （9.4）它的特征方程為根據(jù)特征方程根的不同情況，可以寫出與其對應(yīng)的微分方程的解，如表9.2所示表9.2特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根給出一項(xiàng)：重實(shí)根給出項(xiàng)：一對單復(fù)根給出兩項(xiàng)：一對重復(fù)根 給出2項(xiàng)： 5. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的的一般形式為 （9.5）其中是常數(shù)，設(shè)方程（9.3）是它對應(yīng)的齊次微分方程，且其通解為，而是方程（9

12、.5）的通解為 （9.6）由此知，求方程（9.5）的通解的方法步驟是：（1）先求出其對應(yīng)齊次方程（9.6）的通解；（2）在求出方程（9.6）的一個(gè)特解.按照考試大綱，只要求會求方程（9.5）中的自由項(xiàng)的多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及它們的和與積時(shí)的特解. 一般用待定系數(shù)法求特解，而的結(jié)構(gòu)與自由項(xiàng)的具體形式有關(guān). 下面分別就的不同情況進(jìn)行討論.5.1 自由項(xiàng)的情形這里為常數(shù)，為的次多項(xiàng)式.(1) 當(dāng)，時(shí)成為多項(xiàng)式;(2) 當(dāng)=常數(shù)時(shí)，成為與指數(shù)函數(shù)的乘積，這是兩種特殊情形.設(shè)方程（9.5）中的，其對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為，則該方程的一個(gè)特解具有形式 其中為的次多項(xiàng)式. 5.2 自由

13、項(xiàng)的情形這里 為常數(shù), 且（當(dāng)時(shí)，稱為上述的5.1情形），分別為的次和次多項(xiàng)式.設(shè)方程（9.5）中的，其對應(yīng)的齊次方程的根為，則該方程的一個(gè)特解具有形式其中是的次多項(xiàng)式，. 若的表達(dá)式中的或，方程（9.5）的特解仍可能具有上述形式，因此在求特解是必須設(shè)其為上述形式.5.3 自由項(xiàng)的情形設(shè)方程（9.5）中的自由項(xiàng)，其中為上述5.1，5.2中的. 可根據(jù)定理3求出它的一個(gè)特解.6. 可化為常系數(shù)的二階變系數(shù)線性微分方程的解法-歐拉方程二階變系數(shù)線性微分方程的一般形式為 （9.7）其中為連續(xù)函數(shù).方程（9.7）目前尚無一般的解法，只是對某些特殊情況可以求出它的通解，按照考試大綱要求，這里主要介紹所謂

14、歐拉方程的解法.形如 （9.8）或 （9.9）的微分方程稱為歐拉方程，其中均為實(shí)的常數(shù).歐拉方程的求解方法是：做變量代換 （對應(yīng)于方程9.8）或 （對應(yīng)于方程9.9）可將其化為常系數(shù)線性微分方程.7. 含有兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組的解法 方程組 （9.10）稱為含有兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程，其中為常數(shù).若方程（9.10）中的，則稱為齊次線性微分方程. 反之，稱為非齊次線性微分方程.解常系數(shù)線性微分方程（9.10）的一般方法和步驟如下：第一步，從方程組中消去一個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，從而得到僅含有一個(gè)未知數(shù)的二階常系數(shù)線性微分方程；第二步，解所得到的二階常系數(shù)線性微分方程組

15、，得到滿足該方程的未知函數(shù)；第三步，把所求得的函數(shù)代入原方程組，即可求得另一個(gè)未知函數(shù)，且一般無需經(jīng)過積分.三、典型例題精講1. 線性微分方程解的性質(zhì)及通解結(jié)構(gòu)的應(yīng)用例1 設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性微分方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（D）（A） （B） （C） （D）. 例2 設(shè)是二階齊次微分方程的一個(gè)非零解，這里為連續(xù)函數(shù)，證明：利用線性變換可把此方程化為的一階微分方程. (答案)2. 求解二階常系數(shù)齊次微分方程及某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程例3 求微分方程的通解，其中為實(shí)常數(shù).(答案,為常數(shù);,為常數(shù);,為常數(shù))例4 求微分方程的通解（為常數(shù)）(答案,為常數(shù);

16、,為常數(shù);,為常數(shù);,為常數(shù).)3. 求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程例5 求微分方程的通解.(答案,為常數(shù))例6 求微分方程滿足初始條件的特解.(答案)例7 求微分方程的通解.(答案,為常數(shù))例8 寫出微分方程的一個(gè)特解形式.(答案)4. 求解可化為常系數(shù)的二階變系數(shù)線性微分方程例9 求微分方程的通解.(答案,為常數(shù))例10 求微分方程的通解.(答案,為常數(shù))5. 求解含有兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組例11 解微分方程組 (答案為常數(shù))6. 二階線性微分方程的綜合題 例12 設(shè)，連續(xù)，求.(答案) 例13 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程 試求的表達(dá)式. (答案)§

17、;4 微分方程的應(yīng)用【大綱基本要求】 會用微分方程解決一些簡單的問題.一、導(dǎo)言利用微分方程解決實(shí)際問題是考研的重點(diǎn)之一，在應(yīng)用微分方程理論和方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先碰到的是如何建立該問題的數(shù)學(xué)模型，即如何建立微分方程，同時(shí)提出相應(yīng)定解條件.這不僅需要我們了解未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)在不同學(xué)科中的意義，而且要求我們知道不同學(xué)科中的有關(guān)定律和原理.下面通過數(shù)學(xué)應(yīng)用與物理應(yīng)用兩類問題的舉例來說明對不同問題建立微分方程的具體做法.2、 微分方程的在數(shù)學(xué)中應(yīng)用例1 假設(shè)（1）函數(shù)滿足條件和；（2）平行于軸的動直線與曲線和分別相交于點(diǎn)；（3）曲線，動直線與軸所圍封閉圖形的面積S等于線段的長度. 求函數(shù)的表達(dá)式.(答案

18、)例2 設(shè)曲線L位于平面的第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)記為A，已知，且L過點(diǎn)，求L的方程.(答案)例3 設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)()到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且L經(jīng)過點(diǎn)（1） 試求出曲線L的方程；（2） 求L位于第一象限的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小.(答案（1），（2）)例4 已知滿足，n為正整數(shù)，且，求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和.(答案，)例5 （1）驗(yàn)證函數(shù) 滿足微分方程.（2） 利用（1）的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).(答案（1），（2），)三、微分方程的物理應(yīng)用思路 解物理應(yīng)用問題，一般分四步進(jìn)行：（1） 根據(jù)問題具體情況，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并設(shè)定物理量. （2） 用適當(dāng)?shù)奈锢矶桑瑢懗鲆粋€(gè)（或一組）等式，常用的如牛頓第二定律，動量或能量守恒定律，胡克定律，光的折射定律等. （3） 將等式轉(zhuǎn)化為微分方程. （4） 解所得微分方程并還原其物理意義. 例6 某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出琥珀的水量為. 已知從1999年底湖中污染物A的含量為