冪級數(shù)講稿2011325

1、注意：對于級數(shù)，當(dāng)收斂時(shí)，絕對收斂.例 證絕對收斂：令，則收斂收斂故 原級數(shù)絕對收斂. §7.5 冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念1【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù).2收斂域(1) 收斂點(diǎn) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 收斂； (3) 收斂域 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)形成的集合；3和函數(shù) , .若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)都對應(yīng)于的一個(gè)函數(shù)值，則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù).4余項(xiàng) , , . 注: 只有在收斂域上, 才有意義； , .二、冪級數(shù)及其收斂半徑和收斂域1【定義】形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為的冪級數(shù).（也稱為一般冪級數(shù)），其中 為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù).當(dāng)時(shí), 稱為的冪

2、級數(shù)（也稱為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)）, 其中常數(shù)（）稱為冪級數(shù)的系數(shù).結(jié)論：對于級數(shù)，作代換可以將一般冪級數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，例如: , 均為冪級數(shù). 顯然: 的收斂域. 和函數(shù) .此結(jié)論可當(dāng)公式使用.2.級數(shù)的收斂域把級數(shù)的各項(xiàng)取絕對值得正項(xiàng)級數(shù)，記 ，則 ；于是由比值判別法知（1）若，即，絕對收斂.(2) 若，即，發(fā)散.(3) 若，即，比值法失效，斂散另行判定.（4）若，即，此時(shí)對任意，收斂.上述分析顯示級數(shù)在一個(gè)以原點(diǎn)為中心，從到的區(qū)間內(nèi)絕對收斂，區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，為收斂半徑.若級數(shù)僅在點(diǎn)收斂，則規(guī)定，級數(shù)的收斂域?yàn)槔?級數(shù) 由于 ， 級數(shù)收斂域?yàn)?或 ；獨(dú)點(diǎn)集.若對任意都收斂，則，級數(shù)的收

3、斂域?yàn)?當(dāng)時(shí)，要討論級數(shù)在處的斂散性才能確定收斂域.此時(shí)收斂域可能是下列區(qū)間之一：3.【定理7.13】若冪級數(shù)系數(shù)滿足條件 或（為常數(shù)或），則 (1) 當(dāng)時(shí), 則； (2) 當(dāng)時(shí), 則. （3）當(dāng)時(shí), 則. 常用公式: ，.例如: 冪級數(shù)的收斂半徑,時(shí)，級數(shù)發(fā)散，故其斂區(qū)與斂域均為.例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解 (1) 級數(shù)的通項(xiàng)為 . (2) 當(dāng)時(shí), 級數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí), 級數(shù)為發(fā)散.故收斂區(qū)間（斂區(qū)）是，收斂域?yàn)椋〝坑颍?例2（1） 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解: ,故 收斂區(qū)間和收斂域均是 .（2） 求冪級數(shù)的收斂半徑.解: .練習(xí)：求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.提示：，又時(shí)級數(shù)發(fā)

4、散.收斂域.例3 （1）求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.（缺項(xiàng)級數(shù)）提示：當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時(shí)，原級數(shù)是，收斂的交錯(cuò)級數(shù).所以 收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域.注意：缺項(xiàng)級數(shù)可以直接用比值法求收斂半徑.（2）求冪級數(shù)的收斂域.解：由時(shí)級數(shù)收斂，由由時(shí)級數(shù)發(fā)散. 得 當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，收斂，所以 收斂域?yàn)?.例4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.（中心不在原點(diǎn)的級數(shù)求收斂域時(shí)先作變量替換）解 令,冪級數(shù)變形為,， 當(dāng)時(shí)原級數(shù)為收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故 原級數(shù)收斂半徑，收斂域?yàn)?注意：一般冪級數(shù)求收斂半徑時(shí)作變量代換.提問：（1）(02.3) 設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級數(shù)的收斂半徑為（A）

5、(A) 5； (B) ； (C) ； (D) 答案 ,（2） (92.3) 級數(shù)的收斂域?yàn)?答 令 對于,由,于是收斂半徑,則,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時(shí),原級數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域?yàn)?三、冪級數(shù)以及和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,. 其中: 待定, 而由系列表達(dá)式,確定.此處, , 但.2.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù).3.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項(xiàng)積分公式 ,.(積分前后的收斂半徑不變).例: , .逐項(xiàng)積分時(shí)在處無意義.4.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微，且在收斂區(qū)間上 , .說明：求導(dǎo)與

6、積分前后兩級數(shù)的收斂半徑不變，但收斂域有可能改變.公式 收斂域?yàn)槔? 求冪級數(shù)的和函數(shù),并求.解：(1) .當(dāng)時(shí), 級數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí), 級數(shù)為發(fā)散. 故原級數(shù)收斂域是.(2) 當(dāng)時(shí), 有.于是 , 由于且冪級數(shù)在其收斂域上連續(xù), 取 代入和函數(shù)可得 .（2）求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)及級數(shù)的和.解 1），所以.當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，發(fā)散.所以 級數(shù)斂域?yàn)?2）設(shè)，則為所求和函數(shù).3）令，則有 ，所以.4）令，則有 ，所以.例6 (00.6) 設(shè)求的和.解 由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是 ,令,則,從而 .練習(xí):求下列級數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù):（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)：(2) (99.3) .因?yàn)?令，則有,所以答案為4.(3)解 該級數(shù)為,由,知當(dāng)時(shí)冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時(shí),冪級數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),冪級數(shù)收斂,所以原冪級數(shù)的收斂域?yàn)?設(shè),則當(dāng)時(shí)有,所以 .(4)解 該冪級數(shù)為,由,知當(dāng)時(shí)冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時(shí),冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),冪級數(shù)發(fā)散,所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè),則當(dāng)時(shí),有.小結(jié)：1.注意收斂區(qū)間與收斂域的聯(lián)系與區(qū)別. 2.利用冪級數(shù)的性質(zhì)求冪級數(shù)的和函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)或求積分時(shí)前后的收斂區(qū)間不變. 3.利用冪級數(shù)的和函數(shù)可以求常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和；求出和函數(shù)后， 取的特值代入和函數(shù)即得所求. 4對缺項(xiàng)冪級數(shù)在求收斂半徑時(shí)應(yīng)設(shè)輔助變量轉(zhuǎn)化為常規(guī)形冪級數(shù)或直接用正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法求收斂區(qū)間