復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、 (一)復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念：，是實(shí)數(shù), . 注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等。 一個(gè)復(fù)數(shù)等于零，當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部與虛部同時(shí)等于零。 稱復(fù)數(shù)x+iy和x-iy互為共軛復(fù)數(shù)。2.復(fù)數(shù)的表示1）模：；2）幅角：在時(shí)，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數(shù)）；主值是位于中的幅角。（有無窮個(gè)值，是復(fù)數(shù)z的輻角的主值 =+2k3）與之間的關(guān)系如下： 當(dāng) ； 當(dāng)；4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”號(hào)。（r=|z|）5）指數(shù)表示：，其中。(二) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若，則··2.乘除法：1）若，則； 。2）若,

2、 則； 3.乘冪與方根對(duì)任何整數(shù)n,有，特別地當(dāng)r=1時(shí)，有，即 若則稱復(fù)數(shù)w為復(fù)數(shù)z的n次方根，記作設(shè)，則有 故 （k=0,.(n-1）與表示的是同一個(gè)復(fù)數(shù)。一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓可表示為：|z|=R.一個(gè)圓心在，半徑為R的圓可表示為：（三）復(fù)變函數(shù)1復(fù)變函數(shù)2復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導(dǎo)，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）對(duì)數(shù)函數(shù)： （多值函數(shù)）； 主值：。（單值函數(shù)）的每一個(gè)主值分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)處處解析，且；注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）3）乘冪與冪函數(shù)：4）三角函數(shù)： 在平面內(nèi)解析，且注：有界性不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同

3、）雙曲函數(shù) ； 奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內(nèi)解析，且。導(dǎo)數(shù)1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)：=；2）區(qū)域可導(dǎo)： 在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2解析函數(shù)的概念1）點(diǎn)解析： 在及其的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱在點(diǎn)解析；2）區(qū)域解析： 在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱在區(qū)域內(nèi)解析；3）若在點(diǎn)不解析，稱為的奇點(diǎn)；3解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：在可導(dǎo)和在可微，且在 處滿足條件：, 此時(shí)， 有。2函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內(nèi)解析和在在內(nèi)可微，且滿足條件：；此時(shí)。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)是可微的

4、。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足條件時(shí)，函數(shù)一定是可導(dǎo)或解析的。3函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義）2）利用充要條件 （函數(shù)以形式給出）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)是以的形式給出）（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足，為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系l 解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，而且它們的一階偏導(dǎo)數(shù)滿足柯西黎曼方程，則稱虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。l 兩個(gè)調(diào)和函數(shù)與構(gòu)成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是若如果滿足柯西黎曼方程，則一定是解析函數(shù)。3已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部

5、，求解析函數(shù)的方法。1）偏微分法：若已知實(shí)部，利用條件，得；對(duì)兩邊積分，得 （*）再對(duì)（*）式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得 （*） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得 虛部 。 2）線積分法：若已知實(shí)部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑（如折線）計(jì)算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。3）不定積分法：若已知實(shí)部，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故 （為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部也可用類似方法求出實(shí)部（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1 復(fù)變函數(shù)積分的概念：，是光滑曲線。注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。2 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1）

6、 （與的方向相反）；2） 是常數(shù)；3） 若曲線由與連接而成，則。3復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線： ，其中對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線的終點(diǎn)，則 。（被積函數(shù)不解析時(shí)，積分結(jié)果與路徑有關(guān)；反之，無關(guān)）（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1柯西定理：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，則 2復(fù)合閉路定理： 設(shè)在多連域內(nèi)解析，為內(nèi)任意一條簡單閉曲線，是內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內(nèi)，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復(fù)合閉路。3閉路變形原理 ： 一個(gè)在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值

7、，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點(diǎn)。4解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設(shè)在單連域內(nèi)解析，為在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則 說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。5。 柯西積分公式： 設(shè)f(z)在簡單正向閉曲線c及其所圍區(qū)域D內(nèi)處處解析，為D內(nèi)任意一點(diǎn)，那么即6解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于。7重要結(jié)論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若在區(qū)域內(nèi)處處不解析，用一般積分法2）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，l 是內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理， l 是內(nèi)的一

8、條非閉曲線，對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有3）設(shè)在區(qū)域內(nèi)不解析l 曲線內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：（在內(nèi)解析）l 曲線內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：（內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)）或：（留數(shù)基本定理）l 若被積函數(shù)不能表示成，則須改用留數(shù)定理來計(jì)算。（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列（）收斂于復(fù)數(shù)的充要條件為 （同時(shí)成立）2）復(fù)數(shù)列收斂實(shí)數(shù)列同時(shí)收斂。2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂；2）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是。注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。（十）冪級(jí)數(shù)的斂散性1冪級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式或?yàn)閮缂?jí)數(shù)。2冪級(jí)數(shù)的斂散性1）冪級(jí)數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級(jí)數(shù)在處收斂

9、，那么對(duì)滿足的一切，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果在處發(fā)散，那么對(duì)滿足的一切，級(jí)數(shù)必發(fā)散。2）冪級(jí)數(shù)的收斂域圓域冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。l 比值法 如果，則收斂半徑；l 根值法 ，則收斂半徑；l 如果，則；說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果，則；說明僅在或點(diǎn)收斂；注：若冪級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）3冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)的收斂半徑分別為與，記，則當(dāng)時(shí)，有 （線性運(yùn)算） （乘積運(yùn)算）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解析且，則當(dāng)時(shí)，。3） 分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則l 其

10、和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；l 在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且 l 在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變； （十一）冪函數(shù)的泰勒展開1. 泰勒展開：設(shè)函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)可以展開成冪級(jí)數(shù) ；并且此展開式是唯一的。注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離。 2常用函數(shù)在的泰勒展開式1） 2） 3） 4） 3解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1）直接法：直接求出，于是。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開 1. 洛朗級(jí)數(shù)的概念：，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。 2

11、洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有 ，且展開式唯一。3解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開。*4利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)在內(nèi)解析，為內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則 。其中為在內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中的系數(shù)。留數(shù)（十三）孤立奇點(diǎn)的概念與分類1。 孤立奇點(diǎn)的定義 ：在點(diǎn)不解析,但在的內(nèi)解析。2。孤立奇點(diǎn)的類型：1）可去奇點(diǎn)：展開式中不含的負(fù)冪項(xiàng)；2）極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；其中在解析，且；3）本性奇點(diǎn)：展開式中含無窮多項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)； （十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法1可去奇點(diǎn)

12、：常數(shù)；2極點(diǎn)：3本性奇點(diǎn)：不存在且不為。4零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1）零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)，如果能表示成，其中在解析，為正整數(shù)，稱為的級(jí)零點(diǎn)；2）零點(diǎn)級(jí)數(shù)判別的充要條件是的級(jí)零點(diǎn)3）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：是的級(jí)零點(diǎn)是的級(jí)極點(diǎn)；4）重要結(jié)論若分別是與的級(jí)與級(jí)零點(diǎn)，則l 是的級(jí)零點(diǎn)；l 當(dāng)時(shí)，是的級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是的級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是的可去奇點(diǎn)；l 當(dāng)時(shí)，是的級(jí)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是的級(jí)零點(diǎn)，其中（十五）留數(shù)的概念 1留數(shù)的定義：設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)解析，為該域內(nèi)包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數(shù)（或殘留），記作 2留數(shù)的計(jì)算方法若是的孤立奇點(diǎn)，則，其中為在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。

13、1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若是的可去奇點(diǎn)，則2）級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法則I 若是的級(jí)極點(diǎn)，則 特別地，若是的一級(jí)極點(diǎn)，則 注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比低，上述規(guī)則仍然有效。法則II 設(shè)，在解析，則（十六）留數(shù)基本定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，為內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。積分變換復(fù)習(xí)提綱一、傅里葉變換的概念ll二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換llll三、傅里葉變換的性質(zhì)l 位移性（時(shí)域）：l 位移性（頻域）： l 位移性推論：l 位移性推論：l 微分性（時(shí)域）： （）， l 微分性（頻域）： l 相似

14、性： 四、拉普拉斯變換的概念l五、幾個(gè)常用函數(shù)的拉普拉斯變換l ； l 是自然數(shù)；（）l ；llll 設(shè)，則。（是以為周期的周期函數(shù)）六、拉普拉斯變換的性質(zhì)l 微分性（時(shí)域）：l 微分性（頻域）：，l 積分性（時(shí)域）： l 積分性（頻域）：（收斂）l 位移性（時(shí)域）：l 位移性（頻域）：（,）l 相似性： 七、卷積及卷積定理llll八、幾個(gè)積分公式lll 16l復(fù)變函數(shù)考試試題一、填空題（每題分）設(shè)，則_設(shè)函數(shù)，則的充要條件_設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_設(shè)為的可去奇點(diǎn)，_設(shè)，則是的_階零點(diǎn)設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是_設(shè)，則的三角表示為_設(shè)，則在處的留數(shù)為_二、計(jì)算題計(jì)算下列各題（分）(1) ； (2) ; (3) 2求解方程（分）設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之（分）計(jì)算積分，其中路徑為（）自原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；(2)自原點(diǎn)沿虛軸到，再由沿水平方向向右到（10分）試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式（分）計(jì)算下列積分（分）(1) ； (2) 計(jì)算積分（分）求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，的值（分）三、證明題設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)（分）復(fù)變函數(shù)考試試題參考答案一、 1、 2、且3、0 4、有