微分中值定理的應(yīng)用之中值點(diǎn)存在性研究

1、微分中值定理的應(yīng)用之中值點(diǎn)存在性的研究1 引言微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分學(xué)的基本定理，在微積分中占有非常重要的地位，有著廣泛的應(yīng)用，其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點(diǎn)的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，也是在歷年考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一.利用中值定理證明中值點(diǎn)的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路，解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，而構(gòu)造輔助函數(shù)技巧性較強(qiáng)，本文通過一些典型題目的求解，全面總結(jié)了證明此類問題的技巧與方法.2 一個中值點(diǎn)的情形（1） 原函數(shù)法在利用微分中值定理證明中值點(diǎn)的存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)所證明的結(jié)論構(gòu)造

2、輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同. 直接法這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)直接得到輔助函數(shù).例1 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.分析：結(jié)論等號左側(cè)顯然是函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值的差與區(qū)間長度之商,于是聯(lián)想到對函數(shù)使用拉格朗日中值定理.證明：令，顯然在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.于是知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 得 ，而，即得結(jié)論.證畢.例2 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在，使得.分析：將結(jié)論變形為，等式左端的形式很容易聯(lián)想到柯西中值定理，輔助函數(shù)顯然可取為.證明：令，易知，在上滿足柯西中

3、值定理的條件，于是可得：存在，使 ，即 ，亦即.證畢.值法此方法的解題思路是：把常數(shù)部分設(shè)為，然后作恒等變形使等式一端為與構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為與構(gòu)成的代數(shù)式，分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式或輪換對稱式，若是，則把（或）改為，相應(yīng)的函數(shù)值（或）改為，則替換變量后的表達(dá)式就是所求的輔助函數(shù).例3（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.分析：結(jié)論可變形為，令，則，顯然這是一個對稱式，故可令.證明：作輔助函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因此上滿足羅爾定理的條件，于是至少存在一點(diǎn)使得，即，亦即.證畢.注：例1、例2也可以用此

4、方法證明. 積分法這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的換成，通過恒等變形將結(jié)論化成的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過觀察得到）求得原函數(shù)，積分常數(shù)取為0. 例4 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.證明：至少存在一點(diǎn)，使.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有根，而 ，即證明函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn).因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故可考慮利用羅爾定理.通過觀察易發(fā)現(xiàn)，于是輔助函數(shù)可取為.證明：令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知：至少存在一點(diǎn)，使，而，故，即.證畢.注：例1，例2，例3也可使用這種方法證明.例5 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使.分析：

5、結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故考慮利用羅爾定理，而此函數(shù)的原函數(shù)通過觀察可能感到有點(diǎn)困難.將變形為 ，即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn).而，顯然與的導(dǎo)數(shù)有相同的零點(diǎn)，于是可取原函數(shù)為.證明：令,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知：至少存在一點(diǎn)，使，而，故，又，于是.證畢.當(dāng)所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)時通?？煽紤]兩次使用中值定理證明.例6 設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且,，證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，可考慮對函數(shù)使用羅爾定理,關(guān)鍵是要找到使得函數(shù)值相等的兩個點(diǎn).而，易知，而由題設(shè)知顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故必存在點(diǎn),使得，在上對函數(shù)使用羅爾定

6、理即得結(jié)論.證明：顯然在上滿足羅爾定理的條件，故存在點(diǎn),使得.因?yàn)?，由條件易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.證畢.例7 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，.試證：（1）在內(nèi)；（2）至少存在一點(diǎn)，使.分析：（1）類似，或多用反證法證明.（2）仍可考慮使用羅爾定理，關(guān)鍵是尋找輔助函數(shù)，結(jié)論可變形為，即證函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn).由.故可取為原函數(shù).證明：（1）假設(shè)存在一點(diǎn)使，顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.于是存在，使得，.而在上又滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是存在，使得，與題設(shè)條件矛盾.故在內(nèi).（2）令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)，使得，又，故.由(1)知，即得.證畢

7、.（2） 泰勒公式法當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時，通?？煽紤]使用泰勒公式證明中值點(diǎn)的存在性.例8 若函數(shù)在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在內(nèi)至少存在一個點(diǎn)，使.分析：由題設(shè)顯然函數(shù)在上有三階導(dǎo)數(shù)，故考慮利用的泰勒展開式.證明：在處的二階泰勒展開式為：至少存在一個點(diǎn)，使得.因?yàn)?，所以 ，于是得.而，故.證畢.注：此題也可使用三次羅爾定理證明.例9 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設(shè)知 ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知

8、，至少存在一點(diǎn)，使得.證畢.3 兩個中值點(diǎn)的情形在證明兩個中值點(diǎn)存在性的命題時，通常可考慮使用兩次中值定理.例10 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明:（1）存在，使；（2）存在不同的兩個點(diǎn)，使得分析：（1）即證函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，可用零點(diǎn)定理證之.（2）要證滿足條件的兩個不同點(diǎn),可考慮在不同區(qū)間上使用中值定理.而(1)中點(diǎn)即把區(qū)間分為兩個區(qū)間，對在兩個區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理，再尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系即可.證明：(1) 令，顯然在上連續(xù)，且，則由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即.（2） 顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在一點(diǎn)，使得，即；存在一點(diǎn)，使得，即.從而.證畢.例11 函

9、數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，試證:存在，使得.分析：結(jié)論中兩點(diǎn)只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一區(qū)間上使用兩次中值定理.同時結(jié)論中的部分可看作函數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之商，故聯(lián)想到柯西中值定理.再對使用拉格朗日中值定理，然后尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且.由柯西中值定理知,存在，使得，即 ， .而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在 ， 使 即.證畢.4 含中值點(diǎn)的積分等式的證明這種命題的基本思路是：將題設(shè)中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)，這一函數(shù)通常即可作為輔助函數(shù)，再結(jié)合微分中值定理得到證明.例12 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明：（1

10、）在內(nèi)；（2）在內(nèi)存在一點(diǎn)，使；（3）在內(nèi)存在與（2）中不同的點(diǎn)，使.分析：（1）可用連續(xù)性及極限的相關(guān)知識證明.（2）將結(jié)論變形為，則左側(cè)可看作函數(shù)在端點(diǎn)函數(shù)值之差，而.再由等式特點(diǎn)可知對函數(shù)在上利用柯西中值定理即可.（3）結(jié)論中出現(xiàn)了，聯(lián)想到對函數(shù)在區(qū)間上利用拉格朗日中值定理.證明：（1）由存在及函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，知.又因知在內(nèi)單調(diào)增加，故當(dāng)時，有.（2）令，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，故滿足柯西中值定理的條件，所以存在一點(diǎn)，使得，即.(3) 對函數(shù)在區(qū)間上利用拉格朗日中值定理知存在，使得，即，代入（2）的結(jié)論，即得.證畢.注：將題設(shè)中的定積分轉(zhuǎn)化為變限積分的函數(shù)是定積分證明題中的常用方法.例13 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，.證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)，使.分析：直接證明函數(shù)在內(nèi)至少存在兩個不同的零點(diǎn)比較困難，若令，而，故可證在內(nèi)至少存在兩