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文檔簡介

1、第六章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型一、 影響期權(quán)價值的主要因素由前面的分析知道決定期權(quán)價值(價格)的因素是到期的股票市場價格和股票的執(zhí)行價格X。但是到期是未知的,它的變化還要受價格趨勢和時間價值等因素的影響。1)標(biāo)的股票價格與股票執(zhí)行價格的影響。標(biāo)的股票市場價格越高,則買入期權(quán)的價值越高,賣出期權(quán)的價值越低;期權(quán)的執(zhí)行價越高,則買入的期權(quán)價值越低,賣出期權(quán)的價值越高。2)標(biāo)的股票價格變化范圍的影響。在標(biāo)的股票價格變動范圍增大的,雖然正反兩方面的影響都會增大,但由于期權(quán)持有者只享受正向影響增大的好處,因此,期權(quán)的價值隨著標(biāo)的股價變動范圍的增大而升高。如下圖: x s股票的價格由密度函數(shù)變?yōu)?,S&

2、gt;X的可能性增大,買入期權(quán)的價值增大,對賣出期權(quán)的價值則相反。3)到期時間距離的影響。距離愈長,股價變動的可能性愈大。由于期權(quán)持有者只會在標(biāo)的股價變動中受益,因此,距離期權(quán)到期的時間越長,期權(quán)的價值就越高。4)利率的影響。利率越高,則到期的現(xiàn)值就越低,使得買入期權(quán)價值提高,而賣出期權(quán)價值降低。5)現(xiàn)金股利的影響。股票期權(quán)受到股票分割或發(fā)放股票股利的保護,期權(quán)數(shù)量也適應(yīng)調(diào)整,而不受影響,但是期權(quán)不受現(xiàn)金股利的保護,因此當(dāng)股票的價格因公司發(fā)放現(xiàn)金股利而下降時,買入期權(quán)的價值下降,賣出期權(quán)的價值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的假設(shè)條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權(quán)定價模型,它的假定

3、條件,除了市場無摩擦(例如無稅、無交易成本、可以無限制自由借貸等)以外,還有:1 股票價格是連續(xù)的隨機變量,所以股票可以無限分割。2 T時期內(nèi)各時段的預(yù)期收益率ri和收益方差i保持不變。3 在任何時段股票的復(fù)利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布,即在t1-t2時段內(nèi)有:因為股票的價格可以用隨機過程表示,其中S(t)表示第t日股票的價格,它是一個隨機變量. 則第t日股票的收益率(年收益率)為Rt:股票的年收益率(單利)R應(yīng)該是:為了簡化計算兩邊同時取自然對數(shù)可得:設(shè)r,r1,r2,r365為和R,R1,R2,R365相對應(yīng)的連續(xù)復(fù)利。則根據(jù)單復(fù)利之間的關(guān)系In(1+R)=r有:同理,對任何時間間隔T都有:由

4、中心極限定理知服從正態(tài)分布。即有:式中,分別為rt的數(shù)學(xué)期望和方差令,則y,而進行簡單的變量替換,可以求出S(T)的數(shù)學(xué)期望為:對于股票的二叉樹定價來說,如果從t=0時刻到t=T,時刻,所分的階段數(shù)趨于無限大時,股票的價格也趨于對數(shù)正態(tài)分布。即股票的二叉樹定價和對數(shù)正態(tài)分布定價是一致的。因為二叉樹定價時股票的價格變化的規(guī)律是:所以 即服從兩點分布且相互獨立.所以服從二項分布.當(dāng),二項分布趨近于正態(tài)分布。即在一定的條件下,股票的二叉樹定價和對數(shù)正態(tài)分布定價是一致的。B-S定價模型是二叉樹定價模型的極限式。三、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的直觀理解作為無現(xiàn)金股利的歐式買權(quán)定價模式是:式中C是買權(quán)價格

5、,S0是期初股票價格,N(·)是累計正態(tài)分布函數(shù),為了更容易從經(jīng)濟意義上理解B-S定價模型,我們可以從現(xiàn)實直觀的角度來作一些解釋:已知 式中為到期T時買權(quán)的價格,為到期標(biāo)的股票市場價格X為期權(quán)協(xié)定的執(zhí)行價格。則有 設(shè)到期的概率為P,此時則有 考慮到期初的期權(quán)合理定價等于的現(xiàn)值而有 (1)式中C:期初期權(quán)合理價格,r:無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利率,t到期時間長度這里關(guān)鍵的問題,要找出P和的表達式。1) 由于1N(d) N(-d) -d d= 這是由于正態(tài)分布的對稱性其中服從對數(shù)正態(tài)分布 服從對數(shù)正態(tài)分布(為常數(shù))服從正態(tài)分布。收益率平均為,或。而且是以年為基礎(chǔ)計算的,但期權(quán)通常不超一年。T為分?jǐn)?shù),

6、應(yīng)用代替。即為新正態(tài)分布的期望值。為新分布的標(biāo)準(zhǔn)差。2) 由于其中為對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù) 其中u為的均值,是的方差 令 其中注意到: 并且,式中將以上計算結(jié)果代入(1)式,得 這便是有名的Black-Scholes期權(quán)定價公式。舉例:已知股票期初市價,協(xié)議執(zhí)行價X=45,距到期日時間t=3個月0.25年無風(fēng)險利率r=10%,=0.16,則有: 查正態(tài)分布表:N()N(0.7520)=0.7740N()N(0.552)=0.7095一般地,期權(quán)交易市場上買入的價格即由B-S公式定價,如果實際市場價格比計算的價值低,說明期權(quán)的價格被低估,存在套利機會,可以買入期權(quán)。四、B-S期權(quán)定價模型微分方程推

7、導(dǎo)的基本思路隨機方程(某變量以某種不確定的方式隨時間變化) 馬爾可夫過程(隨機過程變量的未來預(yù)測值只與該變量的當(dāng)前值有關(guān),而與該變量的過去值無關(guān)時,該隨機過程稱為馬爾可夫過程) 基本維納過程(在內(nèi)變量Z的變化滿足:,其中滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的一個隨機值。且兩個不同的的值相互獨立) 一般維納過程(變量X滿足:)如圖: 一般維納過程 基本維納過程 伊騰過程(S遵循ITO過程,即有變量G是S、t的函數(shù),G=F(S,t),則G也是ITO過程,并且有: 股票價格的ITO過程(股價S的變動可用瞬時期望漂移率為:,瞬時方差率為的ITO過程,即,即其中當(dāng)股價的方差率恒為0時,則有,得說明當(dāng)方差率為0時,股價得單位時間為的連續(xù)復(fù)利方式增長。五、關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布我們已經(jīng)知道很多獨立同分布的隨機變量之和趨于正態(tài)分布。那么許多獨立同分布隨機變量的連乘積便服從于對數(shù)正態(tài)分布,即 對數(shù)正態(tài)分布因為令則這是n個隨機變數(shù)之和,根據(jù)中心極限定理,y趨于正態(tài)分布,如圖:設(shè),每年增長10%則有對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)100 110

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