平面幾何中及幾個(gè)重要定理

1、平面幾何中的幾個(gè)重要定理一 塞瓦定理塞瓦（G。Ceva 16471743），意大利著名數(shù)學(xué)家。塞瓦定理 設(shè)為三邊所在直線外一點(diǎn)，連接分別和的邊或三邊的延長(zhǎng)線交于（如圖1），則與塞瓦定理同樣重要的還有下面的定理。塞瓦定理逆定理 設(shè)為的邊或三邊的延長(zhǎng)線上的三點(diǎn)（都在三邊上或只有其中之一在邊上），如果有，則三直線交于一點(diǎn)或互相平行。 E例1 如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，分別與邊交于，過三點(diǎn)作圓，與三邊交于。求證：交于一點(diǎn)。例2 設(shè)分別為三邊的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，分別交于（如圖4）。求證：三線共點(diǎn)。例3 以各邊為底邊向外作相似的等腰三角形（如圖5）。求證相交于一點(diǎn)。二 梅涅勞斯定理Menelaus（公元98年左右）

2、，希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，梅涅勞斯定理包含在其幾何著作球論里。梅涅勞斯定理 設(shè)的三邊或它們的延長(zhǎng)線與一條不經(jīng)過其頂點(diǎn)的直線交于三點(diǎn)（如圖6），則。梅涅勞斯定理逆定理 設(shè)分別是的三邊上或它們延長(zhǎng)線上三點(diǎn)，若有，則三點(diǎn)在同一直線上。例4設(shè)的A的外角平分線與BC的延長(zhǎng)線交于P,B的平分線與AC交于Q,C的平分線和AB交于R.求證：三點(diǎn)在同一直線上。例5 圖8，過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線。注： 直線PQR叫做ABC的萊莫恩（Lemoine）線例6（戴沙格定理）設(shè)ABC和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線、交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊和、和

3、、和（或它們的延長(zhǎng)線）相交，則它們的交點(diǎn)D、E、F在同一直線上。注：戴沙格定理是射影幾何中的重要定理。例7（牛頓定理）設(shè)四邊形的一組對(duì)邊和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，另一組對(duì)邊和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的中點(diǎn)、的中點(diǎn)及的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。三斯特瓦爾特定理Stewart （17531828），英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。斯特瓦爾特定理 如圖，設(shè)P是的邊上一點(diǎn)，且=，則有 斯特瓦爾特定理另外形式：或 當(dāng)時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，有 （巴布斯定理）（中線定理）當(dāng)AP是ABCA的平分線是，有 。 例8在ABC中設(shè)AB=c，AC=b，c>b，AD是A的平分線，E為BC上一點(diǎn)，且BE=CD。求證：。例9設(shè)為ABC的重心，M是平面上任

4、意一點(diǎn)，求證：練習(xí)1ABC的邊BC上任意一點(diǎn)D，設(shè)ADB和ADC的角平分線分別交AB、AC于F和E，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)。2已知AD是ABC的邊BC上的高，P為AD上任意一點(diǎn)，直線BP、CP分別交AC、AB于E、F，求證：FDA=ADE。3ABC中，內(nèi)切圓O與各邊BC、CA、AB相切于D、E、F，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)。4在ABC中，AM為BC邊上的中線，AD為A的平分線，頂點(diǎn)B在AD上的射影為E，BE交AM于N，求證：DNAB。5設(shè)ABC的三個(gè)旁切圓在BC、CA、AB上的切點(diǎn)分別為D、E、F，則AD、BE、CF交于一點(diǎn)。6設(shè)平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，過E引AB的平行線與A

5、D、BC交于K、G，過E引AD的平行線與AB，CD交于F、H，則FK、BD、GH互相平行或交于一點(diǎn)。7一條直線與三角形三邊或其延長(zhǎng)線交于L、M、N，若點(diǎn)與L、M、N關(guān)于三邊的中點(diǎn)對(duì)稱，求證三點(diǎn)共線。8設(shè)四邊形ABCD外切于O，切點(diǎn)分別為，則相交于一點(diǎn)（或相交于一點(diǎn)）9設(shè)D、E為的邊上兩點(diǎn)，且，則10設(shè)正三角形ABC邊長(zhǎng)為a，P為平面上任意一點(diǎn)，證明：。三托勒密定理 Ptolemy（約公元85165年），希臘大數(shù)學(xué)家，他的主要著作天文集被后人稱作“偉大的數(shù)學(xué)書”。托勒密定理 設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有。例1 如圖，設(shè)為平行四邊形的邊上的兩點(diǎn)，的外接圓交對(duì)角線于。求證：。例2設(shè)為圓內(nèi)接正方形，

6、為弧上一點(diǎn)，求證：例3。如圖，已知圓內(nèi)接正五邊形，若為弧上一點(diǎn)，則例4設(shè)為同心圓，的半徑是的半徑的2倍，四邊形內(nèi)接于圓，分別延長(zhǎng)交圓于，求證：四邊形的周長(zhǎng)不小于四邊形的周長(zhǎng)的2倍。三 西姆松定理RSimson（18671768），英國(guó)數(shù)學(xué)家，曾于1756年校訂了歐幾里德的幾何原本。 西姆松定理 從的外接圓上任意一點(diǎn)向或它們的延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為，則三點(diǎn)共線。過點(diǎn)的直線叫做關(guān)于點(diǎn)的西姆松線西姆松定理的逆定理也成立，即：從的三邊或它們的延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為在同一直線上，則點(diǎn)在的外接圓上。西姆松定理還可以推廣為：（卡諾定理）過的外接圓上一點(diǎn)，引與三邊分別成同向的等角直線，與三邊交點(diǎn)分別為，則

7、三點(diǎn)共線。例5設(shè)的三條高為，過作的垂線，垂足分別為，則在同一直線上。例6（史坦納定理）設(shè)垂心為，其外接圓上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的西姆松線過線段的中點(diǎn)。例7如圖，設(shè)為外接圓上的兩點(diǎn)，若關(guān)于的西姆松線和交于，則四 歐拉定理LEuler（17071783），瑞士大數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都作出過重大貢獻(xiàn)。歐拉定理 設(shè)的外心、重心、垂心分別為，則三點(diǎn)共線，且。 我們稱的連線為歐拉線。例8如圖，設(shè)為三邊的中點(diǎn)，求證：的外心在的歐拉線上。例9三角形三邊中點(diǎn)、三垂線足、三頂點(diǎn)、和垂心所連線的中點(diǎn)，此九點(diǎn)在同一圓周上，此圓稱為九點(diǎn)圓，或歐拉圓。九點(diǎn)圓的圓心在三角形的歐拉線上，即三角形的外心、重心和九點(diǎn)圓的圓心在同一直線上。例10設(shè)為O的內(nèi)接四邊形，依次為、的垂心。求證：四點(diǎn)在同一圓上，并定出該圓圓心的位置。毆拉公式 設(shè)三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為和，則兩圓的圓心距練習(xí)1若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則兩對(duì)邊乘積的和等于四邊形的面積的兩倍。2已知為上兩點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，求證：或?yàn)槎ㄖ怠?設(shè)圓內(nèi)接四邊形的四邊，兩對(duì)角線。求證：4設(shè)為的一條弦，為弧的中點(diǎn)，過作弦和分別交于，求證：。5利用西姆松定理證明托勒密定理。6為等邊的外接圓上的弧上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的西姆松線為（在上，在上），與交于。求證：。7圓內(nèi)接四