微積分基本定理MicrosoftWord文檔

1、1.6微積分基本定理一：教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分過程與方法通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法情感態(tài)度與價值觀通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二：教學(xué)重難點重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點了解微積分基本定理的含義三：教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)：定積分的概念及用定義計算2、引入新課我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一

2、般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達，即 =而。 對于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個原函數(shù)，則證明：因為=與都是的原函數(shù)，故 -=C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有此處并不要求學(xué)生理解

3、證明的過程為了方便起見，還常用表示，即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。例1計算下列定積分：（1）； （2）。練習(xí)：計算例2計算下列定積分：。由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因為，所以，. 可以發(fā)現(xiàn)，定

4、積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0: ( l ）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積 例3汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開

5、始剎車到停車，汽車走了多少距離？微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果四：課堂小結(jié)：本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！1.7定積分的簡單應(yīng)用一、學(xué)習(xí)

6、目標(biāo)1.進一步讓學(xué)生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2.讓學(xué)生了解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；3.初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；4.體會定積分在物理中應(yīng)用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功）二、教學(xué)重難點重點 曲邊梯形面積的求法難點定積分求體積以及在物理中應(yīng)用教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)1.求曲邊梯形的思想方法是什么？2.定積分的幾何意義是什么？3.微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到

7、?！军c評】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習(xí) 計算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫坐標(biāo)，直線與 x 軸的交點由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限例3.求曲線與直

8、線軸所圍成的圖形面積。 練習(xí)1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。xyoy=x2+4x-32、求由拋物線及其在點M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標(biāo)以及切線方程. 略解：如圖由題可設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，切線與軸的交點坐標(biāo)為，則由題可知有，所以切點坐標(biāo)與切線方程分別為總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分

9、不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1） 畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；（2） 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；（3） 確定被積函數(shù)；（4） 求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。（二）定積分在物理中的應(yīng)用1、求變速直線運動的路程我們知道，作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即例3、一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示求汽車在這1 min 行駛的路程2、變力作功一物體在變力F（x）（單位：N）的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相

10、同的方向從x=a移動到x=b(a<b)，則力F所作的功為例4、如圖，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所做的功例5、一物體按規(guī)律做直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比（比例系數(shù)為正實數(shù)k），試求物體由x=0運動到x=a時，阻力做的功課堂小結(jié)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積，即定積分在幾何中的應(yīng)用，以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解 課下提高練習(xí)、1、如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（）A0.18JB0.26JC0.12JD0.28J2、求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（）A0，B0，2C1，2 D0，13、已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為（）ABCD二、填空題4、將由y=cosx，x=0，x=，y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為_三、解答題5、求直線y2x3與拋物線yx2所圍成的圖形面積6、求由拋物線及其在點M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積7、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為試求：切點A的坐標(biāo)以及切線方程8、如圖，求由兩條曲線，及直線y=1所圍成