應(yīng)變的計(jì)算方法

1、應(yīng)變的計(jì)算方法本章介紹了幾種網(wǎng)格應(yīng)變的計(jì)算方法，通過分析網(wǎng)格變形的特點(diǎn)及規(guī)律，將網(wǎng)格的變形分解為分別沿兩個(gè)主應(yīng)變的方向一次變形而得，從而通過歐拉法推導(dǎo)了有限應(yīng)變解析的方網(wǎng)格應(yīng)變計(jì)算方法，并把三維空間網(wǎng)格的每個(gè)網(wǎng)格作為線性孔斯曲面介紹了三維空間網(wǎng)格的應(yīng)變計(jì)算方法。此外還介紹了工程應(yīng)變、等效應(yīng)變和厚度的計(jì)算。 4.2 基于歐拉法和有限應(yīng)變理論解析的方網(wǎng)格計(jì)算方法根據(jù)有限應(yīng)變的理論，不同的應(yīng)力加載可以獲得相同的應(yīng)變結(jié)果。對(duì)于近似于平面應(yīng)力狀態(tài)的板材成形來說，每個(gè)單元體的應(yīng)變主方向（除去因?yàn)槲灰圃斐傻霓D(zhuǎn)動(dòng)）在成形過程中保持不變。這樣就可以將應(yīng)變分成不同的加載階段，利用真實(shí)應(yīng)變的可疊加性，就可

2、以推導(dǎo)出方網(wǎng)格變形的應(yīng)變計(jì)算方法。連續(xù)體的有限變形有兩種表述方法。一種方法的相對(duì)位移計(jì)算是以變形前后物體內(nèi)一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，即以變形前的坐標(biāo)作為自變量，這種方法稱為拉格朗日法。另一種方法的相對(duì)位移計(jì)算是以變形后物體內(nèi)一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，以及已變形后的坐標(biāo)作為自變量，這種方法稱為歐拉法48。這里給出基于歐拉法和有限應(yīng)變理論解析的方網(wǎng)格計(jì)算原理。4.2.1 方網(wǎng)格內(nèi)部的變形設(shè)任意方向正方形網(wǎng)格內(nèi)接于圓網(wǎng)格，將其變形過程分解為兩個(gè)階段，如圖4-5所示。第一個(gè)階段沿著X方向變形，Y方向保持不變；第二個(gè)階段沿著Y方向變形，X方向保持不變，即應(yīng)變主方向與坐標(biāo)軸相平行。變形的結(jié)果使圓網(wǎng)格變形為橢圓，正方形網(wǎng)格變形

3、為平行四邊形（假設(shè)單元網(wǎng)格內(nèi)沿主應(yīng)變方向的變形是均勻的）  (a)初始網(wǎng)格        (b)橫向變形后的網(wǎng)格        (c)縱向變形后的網(wǎng)格圖4-5  基于有限應(yīng)變的網(wǎng)格分解變形過程4.2.2 應(yīng)變主方向和真實(shí)應(yīng)變的計(jì)算對(duì)于方網(wǎng)格中心的應(yīng)變，假設(shè)網(wǎng)格內(nèi)部變形是均勻的，所以變形前后四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)就是網(wǎng)格中心，對(duì)角線把方網(wǎng)格劃分成四個(gè)三角形。將變形后的網(wǎng)格中心和變形前的網(wǎng)格中心重合，建立直角坐標(biāo)系，如圖4-6所示。圖

4、4-6  以歐拉法建立的變形前后網(wǎng)格中心重合的坐標(biāo)系統(tǒng)根據(jù)歐拉方法，以變形之后的網(wǎng)格坐標(biāo)來分析，將主應(yīng)變方向定為坐標(biāo)方向，設(shè)X方向?yàn)橹鲬?yīng)變的方向，Y方向?yàn)橹鲬?yīng)變的方向，兩個(gè)方向分別有拉形比：                               (4-20)  &

5、#160; 則兩個(gè)方向的真實(shí)應(yīng)變等于兩次分別變形的疊加：                (4-21)    設(shè)變形前方網(wǎng)格邊長(zhǎng)為，為所取初始三角形的直角邊長(zhǎng)，則有：    取其中初始三角形，其變形后為，根據(jù)變形后的網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)、，得到變形后三角形邊長(zhǎng)為：           

6、60; (4-22)    沿兩個(gè)主應(yīng)變方向的拉形比為：            (4-23)    已知：               (4-24)    得：         &

7、#160;               (4-25)    由此得到根據(jù)三角形計(jì)算出來的主應(yīng)變的方向，進(jìn)而可以求出主應(yīng)變：              (4-26)    根據(jù)四邊形網(wǎng)格劃分的三角形分別求出來的主應(yīng)變的方向和大小，就得到了方網(wǎng)格中心O點(diǎn)的真實(shí)應(yīng)變值。由于進(jìn)

8、行多次計(jì)算，四邊形的網(wǎng)格都得到了利用，平均之后，計(jì)算的精度得以提高，減小了誤差。4.2.3 網(wǎng)格點(diǎn)上的應(yīng)變    以上應(yīng)變的計(jì)算獲得的都是方網(wǎng)格中心的應(yīng)變值，對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)上的應(yīng)變值，則三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都要取網(wǎng)格點(diǎn)才能計(jì)算出網(wǎng)格點(diǎn)上的應(yīng)變值。圖4-7中所示有9個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)19構(gòu)成四個(gè)網(wǎng)格四邊形，A、B、C、D分別為四個(gè)網(wǎng)格的中心。通過四個(gè)網(wǎng)格（1、2、4、5），（2、3、5、6），（4、5、7、8）和（5、6、8、9）可以分別求出中心點(diǎn)A、B、C、D的應(yīng)變值。那么網(wǎng)格點(diǎn)5的應(yīng)變值的獲得有下面幾種方法：一種是利用（1、3、7、9）四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形利用上小節(jié)所述的方法進(jìn)行計(jì)

9、算，分別求出三角形（1、5、3），（1、5、7），（3、5、9），（7、5、9）的直角頂點(diǎn)5的應(yīng)變值，然后再求平均值，從而獲得主應(yīng)變和主方向。如圖4-8所示。圖4-7 網(wǎng)格點(diǎn)上應(yīng)變的獲得圖4-8 由斜側(cè)方向點(diǎn)求網(wǎng)格點(diǎn)上應(yīng)變        圖4-9 由縱橫方向點(diǎn)求網(wǎng)格點(diǎn)上應(yīng)變另一種方法就是利用（2、4、8、6）四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形同樣利用上小節(jié)所述的方法進(jìn)行計(jì)算，分別求出三角形（2、5、4），（2、5、6），（4、5、8），（8、5、6）的直角頂點(diǎn)5的應(yīng)變值，然后再求平均值，從而獲得主應(yīng)變和主方向。如圖4-9所示。以上兩種方法都

10、僅利用了網(wǎng)格點(diǎn)5周圍的4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，而沒有充分利用網(wǎng)格點(diǎn)5四周的8八個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，因此從計(jì)算精度上來說，前一種方法在45°方向上精度比較高，而后一種方法在90°方向上精度比較高。為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度，可以將以上兩種方法結(jié)合起來，再一次進(jìn)行平均，由此獲得由某個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)連同周圍8個(gè)點(diǎn)計(jì)算出來的網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)變值。?顯然，這種方法所帶來的問題就是需要的計(jì)算時(shí)間相應(yīng)地要增加很多。 4.3 其它應(yīng)變4.3.1 工程應(yīng)變    工程應(yīng)變雖然不具有疊加性質(zhì)，但它比較直觀，在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛。    如圖4-10所示，是材料的原始長(zhǎng)度，是材

11、料的伸長(zhǎng)量。則工程應(yīng)變?yōu)樯扉L(zhǎng)量相對(duì)于原始長(zhǎng)度的比值：                      (4-27)圖4-10  材料伸長(zhǎng)變形    真實(shí)應(yīng)變是伸長(zhǎng)比（拉形比）的自然對(duì)數(shù)，可以表示為：             &

12、#160;       (4-28)    因此可以由真實(shí)應(yīng)變獲得工程應(yīng)變：                     (4-29)    工程應(yīng)變值如果為正，可以解釋為伸長(zhǎng)率，如果為負(fù)值，則為收縮率，而對(duì)于厚度工程應(yīng)變，則可以解釋為減薄率。對(duì)于拉延成形，材料變薄情況是最需要關(guān)注的

13、，用減薄率來反映材料的變形就非常直觀。相應(yīng)地，真實(shí)應(yīng)變也可以表示為：                   (4-30)4.3.2 等效應(yīng)變    等效應(yīng)變也可以由真實(shí)最大主應(yīng)變和最小主應(yīng)變獲得：               (4-31)4.3.3 厚

14、向應(yīng)變   由體積不變條件可以得到真實(shí)厚向應(yīng)變：                        (4-32)    材料的真實(shí)厚度可由真實(shí)應(yīng)變獲得：              &#

15、160;          (4-33)4.3.4 增量應(yīng)變對(duì)于板材成形工序次數(shù)較多的零件，工序之間的應(yīng)變變化也是需要關(guān)注的。從上一次工序到下一道工序之間的變形的增量應(yīng)變的計(jì)算方法和平面應(yīng)變的計(jì)算方法相似。但在這種情況下，網(wǎng)格已經(jīng)發(fā)生了變形，原先變形的網(wǎng)格和再次變形的網(wǎng)格如圖4-11所示。    圖4-11 增量變形前后三角形網(wǎng)格的形狀文獻(xiàn)49介紹一種通過坐標(biāo)變換，將變形前后的三角形的某個(gè)邊重合而獲得的增量應(yīng)變?nèi)切喂?jié)點(diǎn)計(jì)算方法：有四個(gè)張量50,51：變形梯度張量：的轉(zhuǎn)置：柯

16、西-格林變形張量：拉格朗日應(yīng)變張量變形梯度張量F是從初始三角形的坐標(biāo)到再次變形的三角形的線性變換，有：                       (4-34)為了簡(jiǎn)化，將初始三角形和變形后的三角形通過旋轉(zhuǎn)是其中一個(gè)邊和軸重合，則有，另有變形梯度張量F為：          &#

17、160;              (4-35)柯西-格林變形張量可以表達(dá)為：                             (4-36)    代入

18、前式，有                    (4-37)    則拉格朗日應(yīng)變就可以通過柯西-格林變形張量計(jì)算獲得：    其中是單位矩陣，拉格朗日應(yīng)變可以以如下形式給出：              

19、60;      (4-38)    有：              (4-39) 真實(shí)應(yīng)變則可表達(dá)為：                       (4-40

20、) 則主應(yīng)變的方位角為：                     (4-41)4.3.5 厚度和曲率修正應(yīng)變可以通過節(jié)點(diǎn)之間的距離計(jì)算出來。初始的網(wǎng)格距離就是網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離，而在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的新的距離在以上的計(jì)算過程中都是當(dāng)作直線來計(jì)算的的。實(shí)際上工件表面是有曲率的并且是變化的，因此對(duì)于曲率形狀變化劇烈的工件，采用直線距離作為曲面上的距離所帶的誤差就比較大了。 同樣，通過圖像處理和三維

21、重建的網(wǎng)格點(diǎn)都位于板料的表面，計(jì)算的僅僅是板料表面的應(yīng)變值，而板料是有一定的厚度的，因此有必要進(jìn)行厚度和曲率修正，文獻(xiàn)49介紹了一種進(jìn)行曲率和半徑修正的方法為：當(dāng)節(jié)點(diǎn)處曲率半徑為，初始節(jié)點(diǎn)之間的距離為，厚度為，則修正的公式為：              (4-42)在應(yīng)變分析實(shí)際應(yīng)用中，為了獲得比較高精度的測(cè)量結(jié)果或者為了準(zhǔn)確地測(cè)量應(yīng)變變化梯度較大的區(qū)域，如曲率半徑比較小的區(qū)域，采用方法使用比較小直徑的網(wǎng)格，能夠獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。4.4 三維空間網(wǎng)格的應(yīng)變計(jì)算前面的

22、描述都是基于平面應(yīng)變的假設(shè)基礎(chǔ)上，實(shí)際上，在沖壓后，工件的形狀是三維立體的，印制在平面板料上網(wǎng)格經(jīng)過變形后變成了三維空間立體網(wǎng)格。每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都具有三維坐標(biāo)，網(wǎng)格應(yīng)變的計(jì)算就必須考慮空間坐標(biāo)的問題。平面正方形網(wǎng)格經(jīng)過變形后變成了空間網(wǎng)格，網(wǎng)格中心也從點(diǎn)變到了點(diǎn)。如圖4-12所示（斜側(cè)圖）。圖4-12  平面正方形網(wǎng)格變形為空間網(wǎng)格由于網(wǎng)格中心經(jīng)過變形后不再是空間四邊形的幾何中心了，因此在計(jì)算網(wǎng)格應(yīng)變時(shí)需要通過四個(gè)邊長(zhǎng)的變化確定網(wǎng)格中心點(diǎn)的坐標(biāo)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，參照線性孔斯曲面的定義我們可以獲得四點(diǎn)構(gòu)成的曲面片的方程，從而求得變形后空間網(wǎng)格中心點(diǎn)的坐標(biāo)。4.4.1 線性Coons曲面19

23、64年S.A.Coons提出了一種曲面分片、拼合造型的思想，他用四條邊界構(gòu)造曲面片并通過疊加修正曲面片，產(chǎn)生滿足用戶需要的曲面52。    線性Coons曲面，也稱之為簡(jiǎn)單曲面，是通過四條邊界曲線構(gòu)成的曲面。若給定四條邊界曲線，且。在向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為：                  (4-43)在向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為：    

24、0;             (4-44)如圖4-13所示：圖4-13  線性Coons曲面的生成則用四條邊界曲線構(gòu)造的曲面可用矩陣形式表示為：         (4-45)4.4.2 基于線性Coons曲面的四點(diǎn)空間網(wǎng)格應(yīng)變的計(jì)算設(shè)：已知變形后空間網(wǎng)格四點(diǎn)的坐標(biāo)為，則可將變形后的空間網(wǎng)格看成四條邊界曲線都是直線的線性Coons曲面。如圖4-14所示。   

25、       圖4-14  變形后的空間網(wǎng)格根據(jù)線性Coons曲面的描述和網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)變形是均勻的假設(shè)前提，有變形后網(wǎng)格中心點(diǎn)坐標(biāo)：               (4-46)根據(jù)4.1.3所述的方法就可以計(jì)算出點(diǎn)的應(yīng)變值。以三角形為例，有應(yīng)變主方向矢量落在三角形所在的平面內(nèi)，如圖4-15所示：     圖4-15 空間坐標(biāo)三角形單元的計(jì)算  

26、;                        (4-47)                     (4-48)有：    &

27、#160;                (4-49)同樣，其他三角形可以得到相類似的結(jié)果。由于四個(gè)三角形不共面，根據(jù)每個(gè)三角形計(jì)算出來的主應(yīng)變矢量方向分別落在各個(gè)三角形所在的平面內(nèi)，而一點(diǎn)的主應(yīng)變方向及大小是唯一的，因此，需要對(duì)應(yīng)變主矢進(jìn)行平均求取網(wǎng)格中心點(diǎn)的切向應(yīng)變。但是由于考慮到計(jì)算精度和計(jì)算效率的問題，本文在實(shí)現(xiàn)時(shí)只計(jì)算一個(gè)三角形內(nèi)部的應(yīng)變。應(yīng)力應(yīng)變的切線模量和割線模量1、初始切線模量應(yīng)力值為零時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的正切. 

28、60;2、切線模量某一應(yīng)力級(jí)位處應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率. 3、割線模量以某一應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)同起始點(diǎn)相連的割線的斜率. 4、回彈模量應(yīng)力卸除階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線的割線模量.    前三種模量取值時(shí)的應(yīng)變值是包含殘余應(yīng)變和回彈應(yīng)變?cè)趦?nèi)的總應(yīng)變，而回彈模量取值時(shí)已扣除殘余應(yīng)變后的回彈就變。因此，將前三種模量籠統(tǒng)地稱為土的彈性模量顯然是不合適的。而回彈模量能反映土所具有的那部分彈性性質(zhì)，所以，在以彈性力學(xué)為理論基礎(chǔ)的路面設(shè)計(jì)方法中，往往將土的回彈模量視為土的彈性模量，并且作為路面設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要計(jì)算參數(shù)。取混凝土應(yīng)力應(yīng)變曲線在原點(diǎn)O切線的

29、斜率，作為混凝土的初始彈性模量，簡(jiǎn)稱彈性模量Ec，即:Ec = tg0 Ec初始彈性模量；a0原點(diǎn)切線的斜率夾角。當(dāng)應(yīng)力較大時(shí)，混凝土已進(jìn)入彈塑性階段，彈性模量已不能正確反映此時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。比較精確的方法采用切線模量Ec，即在應(yīng)力應(yīng)變曲線任一點(diǎn)處作一切線。此切線的斜率即為該點(diǎn)的切線模量，其表達(dá)式為Ec= tg = d / d 割線模量是原點(diǎn)與某點(diǎn)連線即割線的斜率作為混凝土的割線模量，稱為變形模量Ec，它的表達(dá)式為Ec= tg1 = c / c 它們之間的大小關(guān)系為：原點(diǎn)切線模量>割線彈性模量>切線彈性模量。原點(diǎn)彈性模量也就是我們平常用的混凝土彈性模量，值大約為30000MPa左

30、右，與混凝土強(qiáng)度等級(jí)有關(guān)。 土基的力學(xué)強(qiáng)度特性及其設(shè)計(jì)參數(shù)土的非線性特性土的非線性特性土基的模量 1）初始切線模量應(yīng)力值為零時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的正切，如圖所示，代表加荷開始時(shí)土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。    2）切線模量某一應(yīng)力級(jí)位處應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率，如圖所示，反映土在該級(jí)位應(yīng)力-應(yīng)變變化的精確關(guān)系。    3）割線模量以某一應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)同起始點(diǎn)相連的割線的斜率，如圖所示，反映在該應(yīng)力級(jí)范圍內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的平均情況。   4）回彈模量應(yīng)力卸除階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線的割線模量，如圖所示，反映土在回彈變形范圍內(nèi)

31、的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的平均情況。    土基的流變性質(zhì)土的變形隨時(shí)間變化的關(guān)系。土在荷載作用下的變形不僅與荷載大小有關(guān)，而且還與荷載作用的持續(xù)時(shí)間有關(guān)，是一種具有流變性質(zhì)的材料。土基回彈模量測(cè)試    回彈模量能較好地反映土基所具有的部分彈性性質(zhì)，可以用回彈模量表示土基在瞬時(shí)荷載作用下的可恢復(fù)變形性質(zhì)。我國公路水泥混凝土路面、瀝青路面設(shè)計(jì)方法都以回彈模量E作為土基的剛度指標(biāo)。    測(cè)定時(shí)宜采用逐級(jí)加載卸載法（直徑30.4cm的板）。每一級(jí)荷載經(jīng)過加載和卸載，取得穩(wěn)定的回彈彎沉之后，再加下一級(jí)荷載，如此施加n

32、級(jí)荷載后，即可點(diǎn)繪出荷載-彎沉曲線。    在多數(shù)情況下，試驗(yàn)曲線呈非線性。在確定模量時(shí)，可以根據(jù)土基實(shí)際受的壓力范圍或可能產(chǎn)生的彎沉范圍在曲線上取值。    路面設(shè)計(jì)中，按1mm線性歸納法來確定土基的回彈模量。  土基在圓形承載板下的壓力與撓度分布曲線 a）柔性承載板 b）剛性承載板地基反應(yīng)模量    文克勒地基模型是原捷克斯洛伐克工程師文克勒(Winkler)1876年提出的，其基本假定是地基上任一點(diǎn)的彎沉僅與作用于該點(diǎn)的壓力p成正比，而與相鄰點(diǎn)處的壓力無關(guān)。  

33、0; 直徑76cm的剛性板測(cè)定。當(dāng)?shù)鼗^軟弱時(shí)，取l=0.127cm時(shí)相對(duì)應(yīng)的壓力p計(jì)算地基反應(yīng)模量；當(dāng)?shù)鼗^為堅(jiān)硬時(shí)，取單位壓力p=0.07MPa時(shí)相對(duì)應(yīng)的彎沉值l計(jì)算地基反應(yīng)模量。 加州承載比CBR   加州承載比CBR是美國加利福尼亞州提出的一種評(píng)定基層材料承載能力的試驗(yàn)方法。承載能力以材料抵抗局部荷載壓入變形的能力表征，并采用標(biāo)準(zhǔn)碎石的承載能力為標(biāo)準(zhǔn)，以相對(duì)值的百分?jǐn)?shù)表示CBR值。土基的設(shè)計(jì)參數(shù)的確定我國在測(cè)定土基回彈模量時(shí)，常采用直徑30.4cm的剛性承載板用加載卸載的試驗(yàn)方法。試驗(yàn)通常在不利時(shí)期進(jìn)行，并取有84.1概率的回彈模量值作為土基回彈模量的計(jì)算值。規(guī)范給

34、出我國土基回彈模量設(shè)計(jì)參數(shù)選用的建議值。    土基回彈模量與CBR的關(guān)系一直是世界各國在路基土研究中比較關(guān)心的內(nèi)容。根據(jù)試驗(yàn)給出了國內(nèi)外部分土基回彈模量與CBR的關(guān)系，設(shè)計(jì)是可以根據(jù)實(shí)際參考選用。路面材料的幾種強(qiáng)度（1）主要材料類型     松散顆粒型材料及塊料     瀝青結(jié)合類材料     無機(jī)結(jié)合料類材料     水泥混凝土材料     由于材料（整體性材料和非整體性材料）的基本性質(zhì)和成型方式的不同，各種路面結(jié)構(gòu)具有不同的力學(xué)強(qiáng)度特性（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系），也使得路面具有不同的使用品質(zhì)和使用壽命。（2）抗剪強(qiáng)度    摩爾庫侖強(qiáng)度理論：其中c和是表征路面材料抗剪強(qiáng)度的兩項(xiàng)參數(shù)，c是材料的粘結(jié)力（kpa），是材料內(nèi)摩阻角，對(duì)于土可以通過直剪試驗(yàn)得到；對(duì)于松散粒料無法做直