北京理工大學(xué)自動(dòng)控制原理輔導(dǎo)班筆記

1、410自動(dòng)控制原理輔導(dǎo)班筆記鐘海秋教授一、 自動(dòng)控制理論的分析方法：（1）時(shí)域分析法；（2）頻率法；（3）根軌跡法；（4）狀態(tài)空間方法；（5）離散系統(tǒng)分析方法；（6）非線性分析方法二、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1)解析表達(dá)：微分方程；差分方程；傳遞函數(shù)；脈沖傳遞函數(shù)；頻率特性；脈沖響應(yīng)函數(shù)；階躍響應(yīng)函數(shù)(2)圖形表達(dá)：動(dòng)態(tài)方框圖（結(jié)構(gòu)圖）；信號(hào)流圖；零極點(diǎn)分布；頻率響應(yīng)曲線；單位階躍響應(yīng)曲線時(shí)域響應(yīng)分析一、對(duì)系統(tǒng)的三點(diǎn)要求：(1)必須穩(wěn)定，且有相位裕量和增益裕量(2)動(dòng)態(tài)品質(zhì)指標(biāo)好。、%(3)穩(wěn)態(tài)誤差小，精度高二、結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化梅遜公式例1、解：方法一：利用結(jié)構(gòu)圖分析：方法二：利用梅遜公式 其中特征式 式中

2、： 為所有單獨(dú)回路增益之和 為所有兩個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和 為所有三個(gè)互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和其中， 為第K條前向通路之總增益； 為從中剔除與第K條前向通路有接觸的項(xiàng)；n 為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路數(shù)目對(duì)應(yīng)此例，則有：通路： ，特征式：則：例2：2002年備考題解：方法一：結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)繼續(xù)化簡(jiǎn)：于是有：結(jié)果為其中=方法二：用梅遜公式 通路：于是：三、穩(wěn)態(tài)誤差（1）參考輸入引起的誤差傳遞函數(shù)：；擾動(dòng)引起的誤差傳遞函數(shù)：（2）求參考輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)?？梢杂?、疊加，也可以用終值定理：（3）求擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差 時(shí)，必須用終值定理：（4）對(duì)階躍輸入： ，如，則，（5）對(duì)斜坡輸

3、入：，如，則，（6）對(duì)拋物線輸入：，如，則，例3：求：，令，求，令解：結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)：繼續(xù)化簡(jiǎn)，有：當(dāng)時(shí)，求得=。；當(dāng)時(shí)，有求得=例4：令，求，令，求為了完全抵消干擾對(duì)輸出的影響，則解：求，用用梅遜公式：則：，同理求得=若完全抵消干擾對(duì)輸出的影響，則干擾引起的輸出應(yīng)該為零。即=0,故=0，所以例5：2002年題4其中 ，r(t)和n(t)分別是參考輸入和擾動(dòng)輸入。(1)求誤差傳遞函數(shù) 和；(2)是否存在n10和n20,使得誤差為零？(3)設(shè)r(t)和n(t)皆為階躍輸入，若誤差為零，求此時(shí)的n1和n2解：， ，N(s)為負(fù) r(t)=t,要求=0.則系統(tǒng)應(yīng)為型系統(tǒng),那么n1+n2=2. r(t)=

4、1(t),n(t)= 1(t),要求=0,則n1+n2=1因?yàn)槿?則而事實(shí)上：可見積分環(huán)節(jié)在部分中，而不在中。故n1=1，n2=0。就可以實(shí)現(xiàn)要求例6：如圖，當(dāng)時(shí)，求穩(wěn)態(tài)輸出解：應(yīng)用頻率法：，則四、動(dòng)態(tài)指標(biāo)(1)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形：(2)，越大，越小(3)，（=5%或2%）例7：如圖，要求，試確定參數(shù)K，T。解：，則， 。由，可得=？，T=？例8：求： 選擇，使得%20%，ts=1.8秒() 求、，并求出時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差解：由%20%，則，求得由，求得。，從而得、。 由傳遞函數(shù)：得，當(dāng)時(shí)，頻率法一、基本概念：G(s)，輸入是正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)輸出。如：，則二、 慣性環(huán)節(jié)jw0+u，0+，則：，注

5、意：0+因?yàn)?，（如圖3）則0+，（如圖4）求w1。因，故兩邊取正切：，其中，（如圖5）0+增益裕量：，相位裕量：，如圖6注意：用求K；用求w1。例1：，T1>T2，K=10，作出波德圖例2：2002年題1求：(1)寫出開環(huán)傳遞函數(shù)(2)計(jì)算系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量(3)做出的Nyquist曲線，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：可見圖中，因?yàn)榉l特性曲線在w1=0.5和w2=10時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)折，顯然w=2時(shí)，曲線只在w1=0.5發(fā)生轉(zhuǎn)折，而未到w2=10。故w2=10不發(fā)生作用，所以，故相位裕量：因?yàn)椋瑒t：則Z=0，N=0，P=0。符合Z=P+N，故穩(wěn)定三、Nyquist判據(jù)Z為閉環(huán)右半平面根數(shù)，P

6、為開環(huán)右半平面根數(shù)，N為包圍-1圈數(shù)，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。當(dāng)符合Z=P+N是系統(tǒng)穩(wěn)定。其中Z=0例3：解：奈氏曲線如下圖。N=2，P=0，Z=N+P=20，故不穩(wěn)定。例4：，如圖：N=2，P=0，Z=N+P=20，故不穩(wěn)定。例5：，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。分析：判斷穩(wěn)定性，用勞斯判據(jù)：相鄰系數(shù)必須為正，不能缺項(xiàng)如：。顯然缺s項(xiàng)，故不穩(wěn)定。勞斯陣列第一列全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個(gè)負(fù)數(shù)，則變號(hào)次，即系統(tǒng)有個(gè)有根，不穩(wěn)定。系統(tǒng)如果與虛軸有交點(diǎn)，則勞斯陣有一行全為，此行的上一行為輔助多項(xiàng)式，由輔助多項(xiàng)式可求出與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。如，勞斯陣為：，則由于一行全為零。則系統(tǒng)與虛軸相交。輔助多項(xiàng)式為：，則與虛

7、軸的交點(diǎn)為。解：勞斯陣：，可見系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)右根。例：，解：勞斯陣：，因?yàn)榇颂幉荒芡掠?jì)算，換成。，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：2002年備考題單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)，要求： 畫出對(duì)數(shù)幅頻特性，求，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 加入矯正裝置，使擴(kuò)大一倍，求矯正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)和相位裕量。解： 開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)由所給的零極點(diǎn)形式化成時(shí)間常數(shù)形式：，由作圖可得，由勞斯判據(jù)可知，缺項(xiàng)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。也可由，判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。也可由零極點(diǎn)判斷畫圖，不穩(wěn)定。加入矯正裝置是，即（w1可由圖中按比例讀出），則。例8：2001年備考題求： 系統(tǒng)阻尼比=0.5時(shí), =0時(shí)，求%，、（）解：，則=0時(shí)，則，于是，=%=例9設(shè)計(jì)型題，

8、較易，主要考概念求：，使時(shí)，；使時(shí)，解：，利用基本概念，不用計(jì)算，則故：。根軌跡法一、定義：。其中為根軌跡增益。開環(huán)放大倍數(shù)閉環(huán)特征方程的根隨參數(shù)而變化的軌跡，稱為根軌跡。其符合兩個(gè)條件：幾條規(guī)則：實(shí)軸上的根軌跡最小相位系統(tǒng)右邊有奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)時(shí)，有根軌跡非最小相位系統(tǒng)右邊有偶數(shù)個(gè)零極點(diǎn)時(shí)，有根軌跡根軌跡條數(shù)=Max（n,m），起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)（），終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)（）漸進(jìn)線條數(shù)：（n-m）條，與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)：與實(shí)軸夾角：。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)：使，并使>0的點(diǎn)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角：對(duì)非最小相位系統(tǒng)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角：對(duì)非最小相位系統(tǒng)與虛軸交點(diǎn)：（a）用勞斯判據(jù)確定，用輔助方程求得（b）代入閉環(huán)特征方程，由

9、實(shí)部=0，虛部=0求得例1：解：漸進(jìn)線（3條）：，由，則，得與虛軸的交點(diǎn)：方法一，勞斯陣：要與虛軸有交點(diǎn)，則有一行全零，即輔助方程：方法二將代入特征方程：，則與虛部的交點(diǎn) 根軌跡如下圖例2：解：漸進(jìn)線一條。出射角分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)：，故：，則，得，可見根軌跡是圓弧。證明：取圓弧上一點(diǎn)。（應(yīng)用輻角條件）兩邊取正切：可見是圓。例3：解：結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn),有:閉環(huán)特征方程為,由此畫根軌跡圖。也可以由，畫根軌跡。例4：解：，則：=1，=9時(shí)，有一個(gè)分離點(diǎn)當(dāng)<1時(shí)，顯然不穩(wěn)定。當(dāng)>9時(shí)，如取=10，則，根軌跡如上圖。離散系統(tǒng)分析方法一、采樣定理鏡像作用,采樣頻率二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)，特征方程。判斷

10、穩(wěn)定性：用雙線性變換，將其代入特征方程中，再用勞斯判據(jù)。如果K給定，則直接解特征方程，若|z|<1則穩(wěn)定，若|z|>1則不穩(wěn)定。，對(duì)參考輸入有：求時(shí)，可以用兩種方法：a）部分分式法；b）長(zhǎng)除方法G(s)z變換公式：如：非線性系統(tǒng)分析方法G(s)注：1為sinwt；2為基波和高次諧波經(jīng)過G（s）后剩下的基波。一、分析方法：二、描述函數(shù)法：閉環(huán)特征方程：，則判斷是否包圍，包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。如同，判斷是否包圍-1，包圍則不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。負(fù)倒特性：A點(diǎn)不穩(wěn)定,自激振蕩B點(diǎn)為穩(wěn)定自激振蕩，因有干擾時(shí)系統(tǒng)發(fā)散，則系統(tǒng)正好進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，而系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)要衰減，則系統(tǒng)又回到B點(diǎn)右邊，

11、又再次進(jìn)入到不穩(wěn)定區(qū)，又要發(fā)散，然后又進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，如此反復(fù)，則系統(tǒng)始終穩(wěn)定再B點(diǎn)附近。例1：如圖。其中：，判斷是否存在穩(wěn)定的自激振蕩？為消除自激振蕩如何調(diào)整？解：例2：解：，則合成為：則，變換成：再畫圖分析例3：2002年題5其中：。討論參數(shù)T為系統(tǒng)自激振蕩的影響設(shè)T=0.25sec，求輸出自激振蕩的振幅和頻率。解：，兩者相切時(shí)，即頻率特性G(jw)的虛部等于-1/N(X)，B點(diǎn)穩(wěn)定，A點(diǎn)不穩(wěn)定。此時(shí)，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論一、李氏第一方法：線性化方法，線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)只有一個(gè)；非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)有多個(gè)。雅可比矩陣：，判斷其穩(wěn)定性用特征多項(xiàng)式，然后用勞斯判據(jù)。如果線性系統(tǒng)穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；

12、反之，如果線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果處于穩(wěn)定邊界（有純虛根），則不能判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李氏直接方法：1克拉索夫斯基方法；2變量梯度法（不考）二、對(duì)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性問題的解題步驟：先用線性化方法：，由得，若：（1），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是不穩(wěn)定的；（2），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（3），中至少有一個(gè)實(shí)部為0，則此方法失效。否則，用克拉索夫斯基方法：，當(dāng)Q(x)正定時(shí)，即當(dāng)主子式均大于零時(shí)，且當(dāng)時(shí)，有：，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。最后想到用李雅普諾夫第二方法：構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V(x)，例如：，要求V(0)=0，x0,V(x)>0。步驟：1、構(gòu)造；2

13、、，將，代入，若為負(fù)定，半負(fù)定，有。則系統(tǒng)在處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。例1：<2000年題6>使用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：線性化方法失效，則只好用克拉索夫斯基方法：，則且時(shí)，有，故此系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。例2：<2001年題6>試用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：用線性化方法：，狀態(tài)空間分析方法一、模型的建立則，即：令，則，如對(duì)，令則， 或例1：由傳遞函數(shù)來求，則，則，即例2：，有：即：可見-2為重根，則此為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)B陣中的行中有一列不為零，則能控；約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)C陣中的列中有一列不為零，則能觀。2

14、22-153二、對(duì)型題的解答步驟：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：，得，若則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。能控性判別矩陣：，若r(M)=n，即滿秩，為完全能控，否則不完全能控。能觀性判別矩陣：，若為滿秩，為完全能觀，否則不完全能觀。注意：如果A是對(duì)角陣且沒有重根時(shí)，則用直接觀察的方法判別能控、能觀便可。若b中對(duì)應(yīng)的值不為0，則此狀態(tài)分量能控，若b中全不為0，則為完全能控。若c中對(duì)應(yīng)的值不為0，則此狀態(tài)分量能觀，若c中全不為0，則完全能觀。如果A是對(duì)角陣且有重根，或是一般矩陣時(shí)，則必須用能控性判別矩陣M和能觀性判別矩陣N。狀態(tài)反饋：條件所調(diào)整的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分量必須能控。原理：，引入，則有解題方法：特征多項(xiàng)式=期望

15、多項(xiàng)式，即。狀態(tài)觀測(cè)器<不考計(jì)算，因?yàn)樘珡?fù)雜>條件：系統(tǒng)完全能觀，才可用狀態(tài)觀測(cè)器輸出可控性矩陣：，若滿秩，則輸出完全可控，否則輸出不完全可控。例3 、<2001年題5>要求：(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測(cè)，并指出各狀態(tài)分量的能控，能觀性(3)能否用線性狀態(tài)反饋將原有的極點(diǎn)-1，-2，3調(diào)整為-1，-2，-3？若能請(qǐng)計(jì)算出K1,K2,K3的值；若不能，請(qǐng)說明原因。(4)判斷系統(tǒng)的輸出可控性解：(1)顯然有+3特征根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定(2)由B陣知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C陣知不完全能觀，x2,x3能觀，x1不能觀。(3)能，因

16、為x3時(shí)能控的，設(shè)，由，因此有(4)輸出可控性矩陣，秩為1，可控。例4 ：<2002年題2>，要求：(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測(cè)，并說明理由。(3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？(4)能否應(yīng)用狀態(tài)觀測(cè)器？解：（1）顯然>0，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0邊界狀態(tài)；<0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）因?yàn)?1時(shí)重根，由不是約當(dāng)型，則用較穩(wěn)妥的方法，即用可控性矩陣。，則秩為2 ，為不完全能觀（3）狀態(tài)反饋要通過x3進(jìn)行，則要能觀測(cè)x3才行。當(dāng)C3不為0時(shí)，可以通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（4）系統(tǒng)完全能觀，才可應(yīng)用狀態(tài)觀測(cè)器。例5：<2000年題5>要求：

17、(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測(cè)，并說明理由。(3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？(4)能否應(yīng)用狀態(tài)觀測(cè)器？解：（1）顯然有+1根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）不完全能控，x1可，x2不可不完全能觀，x1不可，x2可（3）因?yàn)閤1能控，則可以改成-1，設(shè)故（4）不能，因?yàn)橄到y(tǒng)不完全能觀例6：<99年題五>要求：解：傳遞函數(shù)：，故三、狀態(tài)方程的解，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如：，則齊次，則。采用變換的方法：,特別當(dāng)如果有二重根，則如果有三重根，則分塊，有：注意：觀測(cè)器不考最后例1：<2000年題四>設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試畫出Nyquist圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：T1<T2時(shí)，顯然N=0，P=0 ，則Z=N+P=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定T1=T2時(shí)，臨界狀態(tài)，不穩(wěn)定。T1>T2時(shí)，顯然N=1，P=0，Z=N+P=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例2、<2001年題1>要求：（1）求出閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式f(s)；(2)(3)(4)解：(1)特征方程為：，則特征多項(xiàng)式為：(2)零極點(diǎn)：，漸近線：，分離點(diǎn)：三條根軌跡匯合，因?yàn)榇藭r(shí)K值相同。例3：<2001年題2>=9，要求：(1)(2)(3)(4)解：(1) (2) (3) 由勞斯判據(jù)：，故當(dāng)K>15時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。(4)當(dāng)K=