北師大版本數(shù)學(xué)八上1.1（探索勾股定理）教案3篇

1、1.1探索勾股定理（一）教學(xué)目標(biāo)：1、 經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推力意識，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。2、 探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡單的推理的意識及能力重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：了結(jié)勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。難點(diǎn)：勾股定理的發(fā)現(xiàn)教學(xué)過程一、 創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題出示投影1 （章前的圖文 p1）教師道白：介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻(xiàn)，并結(jié)合課本p5談一談，講述我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高(三千多年前周期的數(shù)學(xué)家)在勾股定理方面的貢獻(xiàn)。出示投影

2、2 （書中的P2 圖12）并回答：1、 觀察圖1-2，正方形A中有_個(gè)小方格，即A的面積為_個(gè)單位。 正方形B中有_個(gè)小方格，即A的面積為_個(gè)單位。正方形C中有_個(gè)小方格，即A的面積為_個(gè)單位。2、 你是怎樣得出上面的結(jié)果的？在學(xué)生交流回答的基礎(chǔ)上教師直接發(fā)問：3、 圖12中，A,B,C 之間的面積之間有什么關(guān)系？學(xué)生交流后形成共識，教師板書，A+B=C，接著提出圖11中的A.B,C 的關(guān)系呢？二、 做一做出示投影3（書中P3圖14）提問：1、圖13中，A,B,C 之間有什么關(guān)系？2、圖14中，A,B,C 之間有什么關(guān)系?3、 從圖11，12，13，1|4中你發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生討論、交流形成共識后

3、，教師總結(jié)：以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。三、 議一議1、 圖11、12、13、14中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？2、 你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關(guān)系嗎？在同學(xué)的交流基礎(chǔ)上，老師板書：直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c那么我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。3、 分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個(gè)直角三角形，并測量斜邊的長度（學(xué)生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對這個(gè)三角形仍然成立嗎？（

4、回答是肯定的：成立）四、 想一想這里的29英寸（74厘米）的電視機(jī)，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的款嗎？那他指什么呢五、 鞏固練習(xí)1、 錯(cuò)例辨析：ABC的兩邊為3和4，求第三邊解：由于三角形的兩邊為3、4所以它的第三邊的c應(yīng)滿足=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應(yīng)具備直角三角形這個(gè)必不可少的條件，可本題 ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)（2）若告訴ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并為交待C 是斜邊綜上所述這個(gè)題目條件不足，第三邊無法求得。2、 練習(xí)P6 §1.1 1六、 作業(yè)1.1探索勾股定理（二）教學(xué)目標(biāo)：1 經(jīng)歷運(yùn)用拼圖

5、的方法說明勾股定理是正確的過程，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣。2 掌握勾股定理和他的簡單應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)： 能熟練運(yùn)用拼圖的方法證明勾股定理難點(diǎn)：用面積證勾股定理教學(xué)過程七、 創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，導(dǎo)入課題我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關(guān)系，究竟是幾個(gè)實(shí)例，是否具有普遍的意義，還需加以論證，下面就是今天所要研究的內(nèi)容，下邊請大家畫四個(gè)全等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個(gè)直角三角形，拼一拼、擺一擺，看看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長的正方形，并與同學(xué)交流。在同學(xué)操作的過程中，教師展示投影1（書中p7 圖17）接著提問：大正方形的面積可表示為什

6、么？（同學(xué)們回答有這幾種可能：（1） （2） ）在同學(xué)交流形成共識之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來。= 請同學(xué)們對上面的式子進(jìn)行化簡，得到： 即 = 這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學(xué)們?nèi)ビ脛e的拼圖方法說明勾股定理八、 講例1. 飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛機(jī)飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000多米處，過20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米？分析：根據(jù)題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中ABC的米，AB=5000米，欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒的時(shí)間里的飛行路程，即圖中的CB的長，由于直角ABC的斜邊AB=5000

7、米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。這里一定要注意單位的換算。解：由勾股定理得 即BC=3千米 飛機(jī)20秒飛行3千米，那么它1小時(shí)飛行的距離為：答：飛機(jī)每個(gè)小時(shí)飛行540千米。九、 議一議展示投影2（書中的圖19）觀察上圖，應(yīng)用數(shù)格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長是否滿足同學(xué)在議論交流形成共識之后，老師總結(jié)勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。十、 作業(yè)1、 1、課文 P9§1.2 1§1. 1 、22、 選用作業(yè)。 第一章 勾股定理1.1探索勾股定理教材 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北師大版）八年級數(shù)學(xué)上冊第一章第1節(jié)P2 P6

8、。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的作用。本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時(shí)也是學(xué)生認(rèn)識無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性。此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊(yùn)涵著豐富的科學(xué)與人文價(jià)值教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能目標(biāo)：掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)用符號表示。學(xué)生在經(jīng)歷用數(shù)格子與割補(bǔ)等辦法探索勾股定理的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，體驗(yàn)從特殊到一般的邏輯推理過程。2、能力目標(biāo)：通過分層訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算，在解決實(shí)際問題中掌握勾股定理的應(yīng)用技能。3、情感

9、目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)史上對勾股定理的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，愛數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)的情感。使學(xué)生從經(jīng)歷定理探索的過程中，感受數(shù)學(xué)之美，探究之趣。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用面積法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。難點(diǎn)：計(jì)算以斜邊為邊長的大正方形C面積及割補(bǔ)思想的理解與應(yīng)用。教學(xué)方法選擇引導(dǎo)探索法，采用“問題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的模式進(jìn)行教學(xué)。教具準(zhǔn)備 多媒體課件；若干張已畫好直角三角形的方格紙；剪刀；已剪好的紙片若干張。教學(xué)過程一、 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（師）請同學(xué)們觀察動(dòng)畫，我國科學(xué)家曾向太空發(fā)射勾股圖試圖與外星人溝通，在2002年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上采用弦圖作為會(huì)標(biāo)，它為什么有如此大的魅力呢？它蘊(yùn)涵

10、著怎樣迷人的奧妙呢？這節(jié)課我就帶領(lǐng)大家一起探索勾股定理。（設(shè)計(jì)意圖：用一段生動(dòng)有趣的動(dòng)畫，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲，以景激情，以情激思，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)情境。）二、 師生互動(dòng)，探究新知活動(dòng)1：（觀察圖1）你知道正方形C的面積是多少嗎？你是怎樣得出上面結(jié)果的呢？ （生）獨(dú)立思考后交流，采用直接數(shù)方格的辦法，或者是分割成幾個(gè)等腰直角三角形的方法計(jì)算正方形C的面積。（多媒體演示）（過渡語）同學(xué)們用數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了正方形C的面積，那么對于下面圖2中的正方形C， “數(shù)方格子”的方法還行得通嗎？下面我們一起來研究?；顒?dòng)2：（觀察你手中方格紙上的圖2）正方形C的面積是多少？你是怎樣得出結(jié)果的呢？ （師）我們用數(shù)方

11、格子的方法能算出正方形C的面積嗎？參考弦圖，你想到什么好方法了嗎？（引出“割”法） 大家想一想還有沒有其它方法呢？受“割”法的啟示，我們能通過“補(bǔ)”的方法得出結(jié)論嗎？（生）獨(dú)立思考，在預(yù)先準(zhǔn)備的方格紙上將圖形剪一剪、拼一拼，用分割成四個(gè)全等直角三角形的方法或?qū)⒄叫蜟補(bǔ)成邊長為整數(shù)的大正方形的方法求出斜邊上的正方形C的面積。接著將成果與同伴交流，學(xué)生代表發(fā)言?；顒?dòng)3：分工1：（如圖3）請每個(gè)小組兩名組員試著將手中的已剪好的四個(gè)全等的四邊形拼成正方形B。 分工2：（如圖4）另兩名組員再將同樣的四個(gè)四邊形和正方形A一起拼成一個(gè)大正方形C。 A 圖3 圖4 思考：1、等腰直角三角形（師）觀察圖5，對

12、于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和已計(jì)算的正方形C的面積填入下表，它們的面積有什么關(guān)系？三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積一般直角三 角 形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積2、直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形（師）觀察圖6，直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面積又有什么關(guān)系呢？三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積等腰直角三 角 形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積3、任意直角三角形（師）那么，對于直角邊長不是整數(shù)的一般直角三角形上面的結(jié)論還成立嗎？（出示圖7）生合作：試著將已拼好的正方形B和大

13、正方形C同正方形A拼成如圖7所示的圖形。ACABC 圖7 圖8（師）同學(xué)們從活動(dòng)中都得出正方形A、正方形B、正方形C面積有什么關(guān)系？ （生）小組交流，學(xué)生代表發(fā)言。結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積師點(diǎn)撥：這里的四個(gè)全等的四邊形是正方形B按如圖8所示的方法分割的。師小結(jié)：通過以上活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)以任意直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形面積之和都等于以斜邊為邊長的正方形面積。（師）下面我們運(yùn)用幾何畫板進(jìn)一步驗(yàn)證上面的結(jié)論（改變直角三角形的三邊長度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立）。4、正方形面積與直角三角形三邊關(guān)系（師）若我們設(shè)兩條直角邊長分別為a、b，斜邊為c，你能用三角形的邊長來

14、表示這三個(gè)正方形的面積嗎？（將正方形的面積和三角形的邊長聯(lián)系起來） （生）正方形A面積為a2，正方形B面積為b2，正方形C面積為c2。（師）你發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間有什么聯(lián)系？（生）分組討論，交流并發(fā)言。 結(jié)論：由于 正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積，所以 a2 + b2 = c2 即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。5、認(rèn)識直角三角形三邊關(guān)系（師）利用幾何畫板展示任意直角三角形，我們發(fā)現(xiàn)：無論三邊長度如何變化，兩條直角邊的平方和總是等于斜邊平方。 （師）請將上述結(jié)論用數(shù)學(xué)語言表述并符號化。（生）學(xué)生討論，交流并發(fā)言。 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2

15、 + b2 = c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （師）在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以我國古代把上面的定理稱為“勾股定理”。再請學(xué)生看一看，讀一讀：早在三千多年前周朝數(shù)學(xué)家商高就提出勾三、股四、弦五，并在后來被記載在中國古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)之中，一千多年后西方的畢達(dá)哥拉斯證明了此定理。 （設(shè)計(jì)意圖：在探索定理的過程中， 為了突出本節(jié)重點(diǎn)，解決難點(diǎn)，我將按下面兩個(gè)層次設(shè)計(jì)探索過程。第一方面由等腰直角

16、三角形到一般直角三角形三邊關(guān)系的研究，體現(xiàn)從特殊到一般的方法，第二方面引導(dǎo)學(xué)生用割、補(bǔ)等方法計(jì)算正方形C面積到用拼圖的方法探索直角三角形三邊關(guān)系，展示由簡單到復(fù)雜的思想，探索出勾股定理。）三、 回歸生活，應(yīng)用新知要求：面向全體學(xué)生，部分學(xué)生可選擇從自己需要的層次做起。 A層： 1、 在ABC中，C=90°(1)若a=8，b=6，則c= ; (2)若c=20，b=12，a= 。2、若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（ ）A 25 B 14 C 7 D 7或25 3、情景探索小明的媽媽買來一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)，小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長4

17、6厘米寬，他認(rèn)為售貨員搞錯(cuò)了對不對？ （582=3364 462=2116 74.0325480）4、一根旗桿在離地9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？（設(shè)計(jì)意圖：本層是基礎(chǔ)性習(xí)題，強(qiáng)化學(xué)生掌握在直角三角形中已知任意兩邊，都能利用勾股定理求出第三邊的重要解題方法，以及定理的實(shí)際應(yīng)用。以當(dāng)堂檢測學(xué)生的達(dá)標(biāo)情況。） B層： 1、 兩個(gè)邊長分別為4個(gè)單位和3個(gè)單位的正方形連在一起的“L”形紙片，請你剪兩刀，再將所得圖形拼成一個(gè)正方形。 2、做一個(gè)長，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識說明。（ 70.7

18、125000 ） aabbcc（設(shè)計(jì)意圖：本層題目難度稍有提高，加強(qiáng)探索性和趣味性，以檢測學(xué)生對定理靈活運(yùn)用能力。）C層：cbaacbcaac閱讀分析題：迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。下面我們一起來了解這一證法。b b此證明方法的核心思想是“面積之間的等量關(guān)系”。右圖是歷史上著名的“弦圖”，你能通過此圖，利用面積之間的等量關(guān)系來證明勾股定理嗎？（設(shè)計(jì)意圖：本層題目面向?qū)W有余力的學(xué)生，注重思維開放性的培養(yǎng)。其中勾股定理總統(tǒng)證法和弦圖證法，不但拓展了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，而且使學(xué)生感受到勾股定理證明的博大精深。）四、 感悟收獲，