緩沖算子、函數(shù)變換

1、 西華師范大學(xué)西華師范大學(xué) 灰色系統(tǒng)研究所灰色系統(tǒng)研究所 在建模過程中往往先通過看級比、級必偏差、光滑比來判斷能否建模，若不能再選擇恰當(dāng)算子或變換處理后再看能否建模定義3.1.1 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我們分別稱()()(),()| 1|(1)(1)xkxkkkxkxk為序列的級比(stepwise ratio).級比偏差(stepwise ratio dispersion). 序列的級比偏差 更合理，因為原來只適應(yīng)單調(diào)性相同時的比較，單調(diào)性相反時，不行。3.1 級比與光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)()|(1)(1)()|()x kkx

2、 kx kx k 定義3.1.1 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),我們稱1( 0 )()11()()()( )()(1)kixkx ikkxxk即為序列的光滑比(smooth ratio).3.1 級比與光滑比(Stepwise and Smooth Ratios)定義定義3.1.2 (傳統(tǒng)定義)若序列X滿足(1)(1()()kkk即123 0.5 則稱X為準(zhǔn)光滑序列(quasi-smooth sequence)., 0)(k1(1)(0)1(1)( )kixkxi稱 為一 次 累 加 (同 理 二 次 累 加 ,.)新定義新定義: 相對低增長序列的光滑性相對低增長序列的光滑性

3、(系統(tǒng)工程理論與實踐系統(tǒng)工程理論與實踐09年年8期期)(魏勇魏勇) 相對于齊次指數(shù)序列的光滑性相對于齊次指數(shù)序列的光滑性(Kybernite09年年8期期) 相對于非齊次指數(shù)序列的光滑性相對于非齊次指數(shù)序列的光滑性(美國會議美國會議09年年10月月) 比較原則: 光滑序列小好，級比接近1好， 級比偏差接近0好就相對于低增長序列的光滑性而言比較原則就相對于低增長序列的光滑性而言比較原則:X比比Y好分三種情況好分三種情況單增之間單增之間 單減之間單減之間 一增一減一增一減 也是統(tǒng)一形式也是統(tǒng)一形式The Jornal of Grey System07年年1、3期，期，08年年1、4期。期。1111

4、11111()1()11/11()(),/( )( )1( )( )kkikiikixxkykkykkxkkxiiiyyi即1111()()( )11(kkiiykxkyx ikiy1111111111111( )( )( )( )|/| |/|( )( )( )111( )kkkkiiiikkkx kx ky ky kx ix iy iy ik1111( )( )/( )( )11111kkiiy kxkkyikix即 定理3.1.1 X為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是,對于k=1,2, ,n,恒有(k)=const成立. 定義3.1.2 設(shè)序列X=(x(1), x(2), ,x(n),若 則

5、稱序列X具有負(fù)(降）的灰指數(shù)規(guī)律 則稱序列X具有正(升）的灰指數(shù)規(guī)律 則稱序列X具有絕對灰度為的灰指數(shù)規(guī)律(級比的絕對寬度) 0則稱X 為單調(diào)增長序列;1中反向不等號成立,則稱X 為單調(diào)衰減序列;存在k,k1 ,有 x(k)-x(k-1)0 x(k1)-x(k1-1)0則稱X為振蕩序列.設(shè) M=maxx(k)|k=1,2, ,n,m=minx(k)|k=1,2, ,n1 稱M-m 為序列X 的振幅.單調(diào)序列也有振幅（與物理振幅的區(qū)別。自由擺動時振幅的大小決定了振動的劇烈程度，用總變差或?qū)?yīng)時刻的瞬時變差來刻劃但外力強制振動則不然，往返的頻率則是一個重要指標(biāo)。定義3.2.2 設(shè)為系統(tǒng)真實行為序列

6、,而觀測到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為其中為沖擊擾動項,則稱X為沖擊擾動序列.要從沖擊擾動序列X出發(fā)實現(xiàn)對真實行為序列X(0)的系統(tǒng)之變化規(guī)律的正確把握和認(rèn)識,必須首先跨越障礙 .如果不事先排除干擾,而用失真的數(shù)據(jù)X 直接建模、預(yù)測，則會因模型所描述的并非由X(0) 所反映的系統(tǒng)真實變化規(guī)律而導(dǎo)致預(yù)測的失敗。)(,),2 (),1 () 0() 0() 0() 0(nxxxX (0)(0)(0)12(0)12( (1), (2), , ( )(1),(2), ,( ) ( ,.,)nnXxxx nxxxnX 這里排除方法:用緩沖算子處理數(shù)據(jù)后建模公理公理3.2.1(不動點公理不動點公理, Axiom

7、of Fixed Points) 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為序列算子, 則D滿足 x(n)d=x(n)(因新信息優(yōu)先原理)公理公理3.2.2(信息充分利用公理信息充分利用公理, Axiom on Suffi- cient Usage of Information)系統(tǒng)行為數(shù) 據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù) x(k),k=1,2, ,n,都應(yīng)充分參與算子作用.公理公理3.2.3(解析化、規(guī)范化公理解析化、規(guī)范化公理, Axiom of Ana- lytic Representations) 任意的x(k)d，皆 可由一個統(tǒng)一的x(1), x(2), ,x(n)的初等 解析式表達(dá)。3.2.2 緩沖算子公

8、理緩沖算子公理(the axioms of buffer operator) 定義3.2.3 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列,D為作用于X的算子,X經(jīng)過算子D作用后所得序列記為 XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)稱D為序列算子,稱XD為一階算子作用序列. 序列算子的作用可以進行多次,若D1,D2,D3皆為序列算子,我們稱D1D2為二階算子,并稱 XD1D2=(x(1)d1d2, x(2)d1d2 , ,x(n)d1d2)為二階算子作用序列.定義3.2.4 稱上述三個公理為緩沖算子三公理(three axioms of buffer operators),滿足緩沖算子三公理的序列算子,稱為

9、緩沖算子,一階、二階、 緩沖算子作用后的序列稱為一階、二階、 緩沖序列(buffer sequences)。定義3.2.5 設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列,D為緩沖算子,當(dāng)X分別為增長序列,衰減序列或振蕩序列時: 若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小,我們稱緩沖算子D為弱化算子;(是各瞬時速度還是僅平均速度?有歧義!)1 若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)加快或振幅增大,則稱緩沖算子D為強化算子. 定理3.2.1 設(shè)X為單調(diào)增長序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子x(k)x(k)d k=1,2，n(縮小差別) D為強化算子x(k) x(k)d k=1,2，

10、n(擴大差別) 直觀意義:最左、最高點沒有變,其他點被抬高 問題: 抬得太高，改變了增減趨勢，預(yù)測無效 彌補辦法：王正新論文系統(tǒng)工程理論與實踐 定理3.2.2 設(shè)X為單調(diào)衰減序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子x(k) x(k)d (縮小差別)1 D為強化算子x(k) x(k)d (擴大差別)3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)緩沖算子的性質(zhì)定理3.2.3 設(shè)X為振蕩序列,XD為其緩沖序列,則有 D為弱化算子(大變小, 小變大) maxx(k)maxx(k)d min x(k)minx(k)d (縮小差別) 2 D為強化算子(大變大,小變小) maxx(k) maxx(k)d1 min x(k)

11、minx(k)d (擴大差別)3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)緩沖算子的性質(zhì) 問題:以整體振幅變小為標(biāo)志，可能出現(xiàn)局部變化幅度增大的情形，注意實變函數(shù)論全變差思想，并應(yīng)用此思維方法改造緩沖算子定義3.2.3 緩沖算子的性質(zhì)（續(xù)）緩沖算子的性質(zhì)（續(xù)）12( ( )(2)( ( )(3)( ( )( )( )( (1)(2)( (1)(3)( (1)( )( ( )(1)( ( )(3)( ( )( ) ( (2)(1)( (2)(3)( (2)( )( ( )(1)( ( )(2)( ( ) +x kxx kxx kx nx k dyxxxxxx nx kxx kxx kx nyxxxxxx nx k

12、xx kxx k1(1)( ( )(1)( ( )(2)( ( )(1) ( )( )= ( )( )nnnikjnjijx nyx nxx nxx nx nx kx iyx jx i存在緩沖算子：存在緩沖算子：( )kyx k d滿足ky對任意即緩沖算子除即緩沖算子除x(n)d=x(n)以外其余可以隨可以隨心所欲規(guī)定！仍然滿足公理心所欲規(guī)定！仍然滿足公理2)、3）3.3.2 實用緩沖算子的構(gòu)造舉例實用緩沖算子的構(gòu)造舉例定理3.3.2 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X=(x(1),x(2), ,x(n),令XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d) 其中則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D

13、皆為弱化算子(weakening operator).推論3.2.1 對于定理3.3.2中定義的弱化算子D,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)() 1()(11)(nxkxkxkndkx )() 1()(11)(2dnxdkxdkxkndkx 則D2對于單調(diào)增長、單調(diào)衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。定理3.2.3 設(shè)原始序列和其緩沖序列分別為X=(x(1),x(2), ,x(n)XD=(x(1)d,x(2)d, ,x(n)d)其中x(n)d=x(n) 則當(dāng)X為單調(diào)增長序列或單調(diào)衰減序列時,D皆為強化算子(strengthening operator).（缺點： x(n

14、)d=x(n)不自然）推論3.2.2 設(shè)D為定理3.2.3中定義的強化算子,令XD2=(x(1)d2,x(2)d2, ,x(n)d2)其中x(n)d2=x(n)d=x(n)則 D2 對于單調(diào)增長序列和單調(diào)衰減序列皆為二階強化算子.(在強化基礎(chǔ)上再強化!)(1)(2)(1)( )( ) (21xxxkkxkxk dk 分 母 剛 好 是 分 子 系 數(shù) 和 )12)() 1() 2 () 1 ()(2 kdkkxdkxdxdxdkx定理定理3.2.4 設(shè)X=(x(1),x(2), ,x(n),令XDi=(x(1)di,x(2)di, ,x(n)di)其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=

15、(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2則D1對單調(diào)增長序列為強化算子,D2對單調(diào)衰減序列為強化算子. （缺點： x(n)d=x(n)仍然是不自然）推論3.2.3 對于定理3.2.4中定義的D1,D2,則 , 分別為單調(diào)增長,單調(diào)衰減序列的二階強化算子.2)() 1()(kxkxdkxi12D22D 現(xiàn)有緩沖算子的類型大部分是各種“平均”類型，在劉思峰教材,黨耀國、關(guān) 葉青、王正新、謝乃明等人在系統(tǒng)工程、系統(tǒng)工程理論與實踐、控制與決策、統(tǒng)計與決策、中國管理科學(xué)的文章。 萬琴構(gòu)造了近指數(shù)類型緩沖算子在英國、臺灣雜志、國際會議上發(fā)表 李俊杰、蘇海軍構(gòu)造了某種函數(shù)類型的緩沖算子在國際會議

16、上發(fā)表 魏勇構(gòu)造了幾類含參量的緩沖算子,討論強、弱緩沖的數(shù)字特征在控制與決策2010年2期上發(fā)表，如 弱化緩沖算子作用建模預(yù)測效果好，強化緩沖算子作用建模預(yù)測效果是否好,說不清楚!因為數(shù)據(jù)變化更劇烈了!甚至需要用優(yōu)化模型才行!11( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x kx i21( )( ) ( )/( )nini kii kx k dx k x nx i6( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x nx i5( )( ) ( )/()nii kini kx k dx k x kx i231( )() )()() 1 /()/( )ini

17、ntnntikiikikikxixkxkdxkixkixi 幾個其它算子 1.級比生成算子: 概念:級比 ,光滑比關(guān)系: 級比生成序列就是用前后級比來推測空缺值的一種方法.(首項用后,末走后門用前,中間項前后折中)( )( )(1)x kkx k11( )( )( )kix kkx i(1)(1)(1()()kkkk2.累加生成算子:3.累減生成算子:(1)(0)( )(1)11( )( ), ( )( )kkrriixkxixkxi( 1)(0)(0)( )( ( 1)( ( 1)( )( )( 1 ), ( )( )( 1 ) 1rrrxk x k x kxk xk xk 3.4.1 傳統(tǒng)

18、數(shù)據(jù)變換傳統(tǒng)數(shù)據(jù)變換 1.對數(shù)變換對數(shù)變換 2.開方變換開方變換 3.平移變換平移變換3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換3.4.2 論文中出現(xiàn)的新數(shù)據(jù)變換論文中出現(xiàn)的新數(shù)據(jù)變換 1.余弦函數(shù)變換余弦函數(shù)變換 2.正切函數(shù)變換正切函數(shù)變換 3.負(fù)指數(shù)函數(shù)變換負(fù)指數(shù)函數(shù)變換 4.冪函數(shù)變換冪函數(shù)變換 5.中心位似函數(shù)中心位似函數(shù)(序列序列)變換變換(王淑華王淑華) 1(),11,1,nnnniiF abaaa aaaan 其中為壓縮系數(shù)為位似中心3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換 6.公比單位化序列變換公比單位化序列變換 （黃福勇（黃福勇)( )( ),1sF a sa s dd其中(0)(0)(0)1(0)(0)(

19、0)1(2)(3)( )(1(1)(2)(1)yyyndnyyyn算術(shù)平均）1( 0 )12( 0 )()()(1)nyndy幾 何 平 均1,dd 不合理如果單調(diào)遞減絕對錯誤單調(diào)遞增, 取哪個值為好 等比時取公比非等比時取級比倒數(shù)的某種平均為好(王淑華)3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換(提高光滑性、縮小級比偏差證明方法提高光滑性、縮小級比偏差證明方法)3.4.3 單增函數(shù)變換單增函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級比偏差能縮小數(shù)據(jù)級比偏差 F(x)/x 單減函數(shù)變換單減函數(shù)變換F(x)能縮小數(shù)據(jù)級比偏差能縮小數(shù)據(jù)級比偏差 F(x)x 縮小數(shù)據(jù)級比偏差縮小數(shù)據(jù)級比偏差提高數(shù)據(jù)光滑度提高數(shù)據(jù)光滑度 (08年全球

20、第七屆控制論大會年全球第七屆控制論大會,論文集論文集,EI收錄收錄)1( )(1)ln ( )( )1( ) 1( )( )1( ) ln ( ) ( )( )(1),( ) 1,1( )( ) ( )( )1,( )(1), ( )(1)( )()mx kx kx kyxx kx kmmx kyxx kxmx kkkkx kky kx kkx kx ky kxkykky kkk鄧聚龍對對數(shù)變換:在大前提下縮小級比偏差的充分條件是對方根變換在且大前提下縮小級比偏差的充分條件是)認(rèn)識的逐漸深化過程認(rèn)識的逐漸深化過程:對一些具體結(jié)論不滿意對一些具體結(jié)論不滿意,如如:3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換先對這些

21、具體結(jié)論作適當(dāng)修改先對這些具體結(jié)論作適當(dāng)修改:( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=ln ( ) ( ) 1,1,2,.,( )( ),(!(!)1( )0,1,2,.,( )( )( ),1,2,.,( )ln(1l,n( )yxyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknxxxkkx kknkkx ke knkkaaa 對 理由?)對 理1)當(dāng)時 有當(dāng)時 有2)當(dāng)當(dāng)時 有由?時,要2lnln1ln1 ln()00(,( )0,1,2,.).,( )( )xyxaxaxxxx aexxx kknkk當(dāng)當(dāng)有當(dāng)時且僅)e3.4 數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換

22、11( (1), (2),.,( ),( (1), (2),., ( ), ( )=( ) 1( ),1,2,.,( )( ),1( )0,1,2,.,( )( )( )0,1,2,.,( )( ),mmmyxmmyxyxxxxX nyyyy ny kx kx kknkkmx kknkkmx kknkk 1)當(dāng)時 有 當(dāng)時 有2)當(dāng)時 恒有 最后對這些具體修改結(jié)論作適當(dāng)抽象化、一般化，最后對這些具體修改結(jié)論作適當(dāng)抽象化、一般化，如當(dāng)如當(dāng)f單調(diào)增時，縮小序列級比偏差的充分必要條件探單調(diào)增時，縮小序列級比偏差的充分必要條件探詢方法如下詢方法如下:( )()( )( )11()(0 xxFxF aFxFxxaaF aaxx當(dāng)時 ,要()()()()1()0()xxFxFxFaFxxaaFax