第四章平差模型與最小二乘準(zhǔn)則

1、 第四章 最小二乘準(zhǔn)則4.1 測量平差的數(shù)學(xué)模型模型：對客觀事物的高度概括。分類：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地圖、等式、不等式、數(shù)學(xué)模型等。平差中的數(shù)學(xué)模型：函數(shù)模型：觀測值與觀測值之間，或者觀測值與未知參數(shù)之間的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式；隨機模型：觀測值之間可能有的隨機相關(guān)性。是隨機性的，即經(jīng)驗上的一種近似關(guān)系。 一、函數(shù)模型同一個平差問題，建立不同的函數(shù)模型，就有不同的平差方式。經(jīng)典平差中的四種函數(shù)模型：二、隨機模型： 帶約束的間接平差帶參數(shù)的條件平差、條件平差間接平差000XXFLXLFLFXFL12020PDL三、高斯馬爾柯夫（G-M）平差模型 以上簡稱G-M模型，是經(jīng)典平差

2、所依據(jù)的數(shù)學(xué)模型。Gauss用上述模型證明了最小二乘法將得到參數(shù)的最佳估值；Markov用上述模型證明了最小二乘估值的方差最小性。 120200PQDLDEXALL隨機模型：函數(shù)模型：4.2 參數(shù)估計與測量平差一、數(shù)理統(tǒng)計問題總體（母體X：所研究的隨機變量可能取值的全體。個體：組成總體的每一個基本單位。樣本x：從母體中隨機取出的n個個體構(gòu)成一個樣本。子樣容量（子樣大?。簶?gòu)成子樣的個體數(shù)目n。抽樣：獲得子樣的過程。統(tǒng)計量：由子樣構(gòu)成的函數(shù)，不含未知數(shù)。niixnx11無限推斷母體量構(gòu)成統(tǒng)計有限獲得子樣限個抽樣通過有nnxxxn,21212)(1xxnSnii212)(11xxnnii1、常用統(tǒng)

3、計量：子樣均值：子樣方差：子樣無偏方差：數(shù)理統(tǒng)計問題：2、常用數(shù)理統(tǒng)計方法 （1）參數(shù)估計）參數(shù)估計 （2）統(tǒng)計假設(shè)檢驗）統(tǒng)計假設(shè)檢驗 （3）回歸分析）回歸分析 （4）方差分析）方差分析3、對抽樣的要求a、代表性：要求子樣的各個分量 與母體同分布。即b、獨立性：要求 互獨立。二、參數(shù)估計問題參數(shù)估計包括：a、點估計（定值估計）：按某種準(zhǔn)則，求出參數(shù)的一個具體估值。b、區(qū)間估計：以一定的概率，求出參數(shù)的某一取值范圍。 XDxDXExEiiixix三、測量平差的實質(zhì)是參數(shù)估計（1）求最或是值即是求E(X)的估值。（2）精度評定即是求D(X)的估值。 XXEn，時 每一次觀測，就是一次在已知或未知母

4、體內(nèi)的隨機抽樣。觀測誤差i所具有的隨機性，決定了觀測值的隨機性；觀測誤差i服從正態(tài)分布，決定了觀測值也服從正態(tài)分布。4.3 估計值的最優(yōu)性質(zhì)點估計的幾種方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數(shù)法、截尾法用不同的點估計方法對同樣的母體進(jìn)行參數(shù)估計，會產(chǎn)生用不同的點估計方法對同樣的母體進(jìn)行參數(shù)估計，會產(chǎn)生不同的估值。不同的估值。最優(yōu)估值標(biāo)準(zhǔn)：（1）無偏無偏 性性 ； （2）一致性一致性 ；（3）有效性有效性。最優(yōu)估計應(yīng)具有性質(zhì)： 估計量 能在參數(shù)真值 附近擺動，隨著子樣容量的增大，擺幅越來越小，n為 時， 依概率收斂于 。 一、無偏性 的無偏估計。是則稱的估值，若滿足：是參數(shù)真值設(shè)E 的無偏估計

5、？否是母體方差是估計？子樣方差是否是母體均值的無偏問：22xDsx結(jié)論 數(shù)理統(tǒng)計中 平差中 性質(zhì)2122121)(11)(11xxnxxnsxnxniiniinii 122nVVnVVsnLx （使用）無偏（不使用）有偏無偏2222EsEaxE二、一致性 n無限增大時估計量 依概率收斂于 。為子樣容量。為概率，或或，有即對任意小的正數(shù)nPPPPnnn1lim0lim1lim補充：嚴(yán)格一致性滿足嚴(yán)格一致性的估值一定滿足一致性。例：證明子樣均值是母體期望的一致性估值。 的嚴(yán)格一致性估計。為真值則稱滿足：若估值0limlim2EEDEnn 三、有效性有效。較則認(rèn)為估值的無偏估計若均為及設(shè)212121

6、DD 求還應(yīng)有“有效性”要故僅滿足無偏不夠均無偏，不唯一如：中axEaxEaxEi 的方差最小，最有效?？梢娀蚨褐衳xDnxDxDi22222最小方差性： 性。滿足有效性又滿足一致方差），則該估計量即有無偏估值中擁有最?。ㄔ谒谷粲幸粺o偏估計量2minD 是最優(yōu)無偏估值。4.最小二乘準(zhǔn)則一、最小二乘法 設(shè)有誤差方程：在滿足約束： 下，對參數(shù)進(jìn)行估計。二、最大似然法lxAVmin2222112nniivvvv ，即間的協(xié)方差為，觀測值之個觀測值：設(shè)有jiLENLnijiii2,以下為似然函數(shù)（n個子樣聯(lián)合分布的密度函數(shù)）： 221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212最大似然法基本思想：最大似然法與最小二乘法的異同點： 最大似然法：必須知道母體的分布； 最小二乘法：可不知母體的分布。當(dāng)觀測值服從正態(tài)分布時，二者等價。為最或然值。，即此時最接近其真值達(dá)到最大時，參數(shù)估值數(shù)最大，所以，當(dāng)似然函誤差聯(lián)合出現(xiàn)的概率由偶然誤差特性知，小xxxG minminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求 例：不一定是無偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大時