數(shù)學(xué)思想方法的意義

1、數(shù)學(xué)思想方法的意義、分類與教育價值作者:南京曉莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院張德勤錄入時間:2014-7-10閱讀次數(shù):654摘要：數(shù)學(xué)思想方法是“緘默知識”，它屬于數(shù)學(xué)知識的范疇，是當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)以及哲學(xué)對知識內(nèi)涵及性質(zhì)研究的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想方法可作如下分類：與一般哲學(xué)的（包括邏輯的）思想方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法；與一般科學(xué)思想方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)中特有的思想方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法有利于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于教師以較高的觀點(diǎn)分析處理教材，幫助學(xué)生科學(xué)地思考問題，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法意義分類價值義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在課程目標(biāo)中提出

2、了“四基”，即“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”。在“數(shù)學(xué)思考”的二級目標(biāo)中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！贝送?，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)中出現(xiàn)的與“知識技能目標(biāo)”并列的“過程性目標(biāo)”，即讓學(xué)生“經(jīng)歷（感受）、體驗(yàn)（體會）、探索”數(shù)學(xué)活動，從而更好地體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想、解決問題以及情感態(tài)度方面的學(xué)習(xí)要求。如何使以上行為性的過程目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)？如何使學(xué)生獲得有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？如何使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法和策略，提高學(xué)生的“元認(rèn)知”水平？要解決這些問題，教師主動學(xué)習(xí)和掌

3、握“數(shù)學(xué)思想方法”，自覺提升數(shù)學(xué)思想方法素養(yǎng)，善于提煉教材中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的因素，有意識地在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，并引導(dǎo)小學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題是解決上述問題的關(guān)鍵性的因素。一、數(shù)學(xué)思想方法屬于數(shù)學(xué)知識的范疇不同學(xué)科對于知識有著不同的分類標(biāo)準(zhǔn)。20世紀(jì)50年代英國哲學(xué)家波蘭尼在研究知識的性質(zhì)時，根據(jù)知識的形態(tài)，將知識分為“顯性知識”（explicitknowledge）和“緘默知識”（tacitknowledge）?！帮@性知識”即用文字、語言明確表述的知識，“緘默知識”指那些不能系統(tǒng)表述、“可意會不可言傳”的知識。認(rèn)知心理學(xué)家為了研究人類的心理機(jī)制，根據(jù)知識的表征的類

4、型將知識分為“陳述性知識”（declarativeknowledge）和“程序性知識”（proceduralknowledge）?！瓣愂鲂灾R”是可以用文字來描述的事實(shí)狀態(tài)的知識，例如關(guān)于整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；“程序性知識”是關(guān)于人如何操作的知識，例如關(guān)于如何根據(jù)問題情境選擇相應(yīng)的解決問題的方法的知識，即認(rèn)知策略。根據(jù)以上標(biāo)準(zhǔn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，人們將數(shù)學(xué)知識劃分為“概念性知識”(conceptualknowledge)和“方法性知識"(methodicalknowledge)。"概念性知識"被定義為"有聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)”，是指那些關(guān)系豐富的知識，只有它是網(wǎng)絡(luò)的一個

5、部分才被稱為概念性知識，它明明白白地寫在書本上；“方法性知識”是指一系列的動作系統(tǒng)，它看不見、摸不著、隱藏在書本的知識之間。因此，數(shù)學(xué)知識可以界定為“數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、定理、公理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”，而數(shù)學(xué)技能則界定為“按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、推理、處理數(shù)據(jù)、畫圖、繪制圖表等”。顯然，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識素養(yǎng)，不僅體現(xiàn)在他所具備的明確性的數(shù)學(xué)知識上，即掌握“算術(shù)”“代數(shù)”“幾何”“三角”“解析幾何”“集合論”“微積分”“概率論”“數(shù)理統(tǒng)計”等學(xué)科的那些陳述性知識體系的掌握上，而且要掌握數(shù)學(xué)的思維策略，比如在解決數(shù)學(xué)問題時如何思考的知識。即掌握必須的數(shù)學(xué)思

6、想方法和必要的數(shù)學(xué)基本技能這些默會性、程序性知識。把數(shù)學(xué)思想方法歸入數(shù)學(xué)知識的范疇，反映了當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)以及哲學(xué)對知識內(nèi)涵及性質(zhì)研究的最新發(fā)展，具有先進(jìn)性，這就使數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展達(dá)到了統(tǒng)一，即應(yīng)該將數(shù)學(xué)知識看作是由理論、方法、問題、語言和觀念等多種成分所組成的一個多元的有機(jī)統(tǒng)一體，將數(shù)學(xué)知識與其產(chǎn)生的過程作為一個整體來認(rèn)識，才能反映數(shù)學(xué)教與學(xué)的本質(zhì)。對于“方法性”知識，作為一種“可意會不可言傳”的知識，教師可以通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}情境，學(xué)生讓“自主探索、動手實(shí)踐、合作交流”，動腦思考，去領(lǐng)悟“數(shù)學(xué)思想方法”，這就是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)中所倡導(dǎo)的“創(chuàng)設(shè)問題情境”的目的之所在。2

7、二、數(shù)學(xué)思想方法的意義與分類“方法”本是一種原概念，如同“直線、平面”等概念一樣，不能邏輯地加以定義，只能粗略地描述。在我國古代墨子天志中，將“方法”釋為“度量方形之法”，所謂“法”，是一種“標(biāo)準(zhǔn)”和“規(guī)則”。英語詞匯“method”譯作“方法”，它來自希臘語，原意指“沿著正確的道路運(yùn)動”。通常認(rèn)為，“方法”是人們在認(rèn)識世界和改造世界的過程中，在思考問題和解決問題時，采用的方式、途徑、手段、工具、規(guī)則或程序，因此，數(shù)學(xué)方法是指解決數(shù)學(xué)問題的策略、途徑和步驟?！八枷搿奔础坝^念”，即社會存在于意識中的“反映”，數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)研究的統(tǒng)一的本質(zhì)性的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識?！八枷搿焙汀胺椒ā?/p>

8、有著密切的關(guān)系。思想是對事物或規(guī)律的認(rèn)識，方法則是認(rèn)識事物或規(guī)律的過程和手段。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法也有著密切聯(lián)系，比如，“極限”用它去求導(dǎo)數(shù)、求積分時，就稱為極限方法；當(dāng)討論它的價值研究有限與無限的矛盾轉(zhuǎn)化時，就稱為極限思想?！八枷搿焙汀胺椒ā庇袝r很難分開，數(shù)學(xué)本身就是一種方法。英國數(shù)學(xué)家M克萊因在他的科學(xué)巨著古今數(shù)學(xué)思想中，將數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法不加區(qū)分，從數(shù)學(xué)家的思想貢獻(xiàn)與文化價值的角度去考慮，將方法納入思想的范疇?！靶W(xué)數(shù)學(xué)思想方法”是在小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用的研究問題的思想和方法。按研究層次不同可作如下分類：（1）與一般哲學(xué)的（包括邏輯的）思想方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法：如分析法、綜合法、演繹法、歸納法

9、、類比法等；（2）與一般科學(xué)思想方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法：如試驗(yàn)法、圖表法、假設(shè)法等；（3）數(shù)學(xué)中特有的思想方法：如化歸法、遞推法、列舉篩選法、公理化方法、關(guān)系映射反演、數(shù)形結(jié)合等。三、數(shù)學(xué)思想方法的教育價值（一）有利于深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)從其萌芽狀態(tài)逐步發(fā)展到今天這樣嚴(yán)密的演繹體系，是幾千年來數(shù)以萬計的數(shù)學(xué)家共同努力而留給后人的精神財富。學(xué)習(xí)、研究于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法有利于我們深刻認(rèn)識與理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法與意義。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)的各個分支中提煉和總結(jié)的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法與進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的方法，只有掌握了隱含在知識體系中的思想方法，才能從整體上深刻地理解數(shù)學(xué)，正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)

10、。（二）有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育包括知識觀念層面、創(chuàng)造能力層面、思維品質(zhì)層面、科學(xué)語言層面四方面。簡單概括為數(shù)學(xué)意識、問題解決、邏輯推理、信息交流。掌握數(shù)學(xué)思想方法能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識是有形的，思想方法是潛在的。數(shù)學(xué)知識離不開數(shù)學(xué)思想方法。知識面廣量大，是無論如何也學(xué)不完的，但思想方法是有限的幾十種，如能掌握，則終生受用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，把過程的數(shù)學(xué)放在主要位置上，就能充分揭示知識的發(fā)生過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的抽象概括過程等，使學(xué)生學(xué)會正確的思維，提高發(fā)現(xiàn)和發(fā)明能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的增強(qiáng)與數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。（三）有利于對學(xué)生進(jìn)行

11、美育滲透和辨證唯物主義的啟蒙教育數(shù)學(xué)美的主要特點(diǎn)是有序性、簡明性、對稱性和統(tǒng)一性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于對學(xué)生進(jìn)行美育滲透。如符號化思想就體現(xiàn)了簡潔美，綜合法與分析法體現(xiàn)了有序美，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了統(tǒng)一美等。教師要善于把握數(shù)學(xué)思想方法中蘊(yùn)含的美育因素，精心挖掘，相機(jī)滲透。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)還有利于對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義啟蒙教育。比如，圓面積公式教學(xué)中采用“化圓為方”“化曲為直”的極限思想，通過“觀察有限分割”“想象無限細(xì)分”，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢想象它們的終極狀態(tài)，不但使學(xué)生掌握了知識，而且進(jìn)行了“變與不變”“曲與直”“近似與精確”“有限與無限”“量變與質(zhì)變”等辯證唯

12、物主義啟蒙教育。（四）有利于教師以較高的觀點(diǎn)分析和處理小學(xué)教材在小學(xué)教學(xué)教材中有兩條線：一是數(shù)學(xué)知識，它明明白白地寫在課本里，是有形的；二是數(shù)學(xué)思想方法，它是滲透在知識體系中的，是潛在的。教師如果掌握了數(shù)學(xué)思想方法的知識，了解它們在教材中是如何滲透的，就能明確教材為什么這么編寫，就能從整體上、本質(zhì)上去理解教材，以較高的觀點(diǎn)分析教材和處理教材，科學(xué)地、靈活地設(shè)計教學(xué)方法，提高課堂教學(xué)效率。例如，圓的周長教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透。教學(xué)過程如下：1 .復(fù)習(xí)：（1）什么是圓？圓的直徑和半徑的長度有什么關(guān)系？（2）什么是正方形的周長？怎樣計算正方形的周長？2 .類比：圍成圓的曲線的長叫作圓的周長。3 .

13、演繹：由正方形的周長意義，得出：正方形的邊長越大，周長越長；正方形的周長總是邊長的4倍。4 .類比猜想：圓的直徑越大，圓的周長越長；圓的周長是圓的直徑的多少倍？5 .實(shí)驗(yàn)：各人量出自己所帶的物品上圓的周長和直徑，記錄圓的周長和直徑，計算圓的周長是直徑的多少倍。6 .歸納：圓的周長總是直徑的3倍多一些。這個倍數(shù)叫作圓周率。7 .符號化：圓的周長公式C=Ttd。再如，“分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)的規(guī)律”，教學(xué)過程如下：1 .研究事例。出示“把3/10,67/100,49/1000化成小數(shù)”，讓學(xué)生歸納出分母10,100,1000的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的法則。潛移默化地滲透“歸納”和“演繹”的思想。再出示“把3/

14、4，7/25，9/40，2/9，5/14化成小數(shù)（除不盡的保留三位小數(shù)）”，引導(dǎo)學(xué)生研究以下問題：分?jǐn)?shù)化小數(shù)時，有哪幾種情況？（滲透“分類思想”）一個分?jǐn)?shù)能不能化為有限小數(shù)取決于它的哪一部分？怎樣取決于分母呢？（滲透合情推理）2 .提出猜想。通過以上引導(dǎo)討論，學(xué)生提出如下猜想：一個分?jǐn)?shù)如果分母中含有2和5，不含其他的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)?！? .檢驗(yàn)猜想并修改猜想。一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5，不含其他的質(zhì)因數(shù)，它就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，它就不能化成有限小數(shù)。4 .論證猜想。以上的教學(xué)過程是以歸納推理為主要的形式得出猜想，具有或然性（如開始的“

15、提出猜想”）。為此，教師向?qū)W生提出：“為什么分母只含有質(zhì)因數(shù)2或5的最簡分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？而分母含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)，就不能化為有限小數(shù)？”上述教學(xué)過程中，教師有意識地挖掘滲透在知識體系中的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法展開知識的形成過程，幫助學(xué)生科學(xué)地思考問題，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。這樣處理教材，有利于學(xué)生更好地理解與掌握相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生在學(xué)校接受的數(shù)學(xué)知識，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想、方法卻能隨時隨地發(fā)揮作用，使他們終生受益。”我國古人也說：“授人