數(shù)值分析試題及答案

1、數(shù)值分析試題填空題(20X2')歡迎共閱1.,X-2設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字”3.2.若f(x)=x7x3+1,則f20,21,22,23,24,25,26,27=l,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=03 .設(shè)，IIAII5,口X|-3,IIAX|qp<1504 .非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=?(x)在有解區(qū)間滿足|?«x)|<1,則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。5 .區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6 .當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，若所求節(jié)

2、點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)a(x)的特點(diǎn)是：工ai(x)=1;所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足a,(x)>1、計(jì)iH算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。；.一；II8 .要使J20的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%,至少要取4位有效數(shù)字。9 .對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1，)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是煙<1。、Ij10.由

3、下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是5.ii-：11x00.511.522.5y=f(x)-I-2-1.75-10.2524.2511 .牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。12 .線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri(i=0,1，,n)來實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri=(bi-ai1x1-aj2x2-包乂?；?(i=0,1，,n)。13 .在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則初始點(diǎn)xo的選取依據(jù)為f(x0)f”(x0)>0。14 .使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初俏、迭代計(jì)算、判斷

4、題(10X1')(X)1、若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解2、解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。(?)3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX=b高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。(X)4、樣條插值一種分段插值。(?)5、如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。(?)6、從實(shí)際問題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差,(：)7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=b。(X)8、迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開始

5、估計(jì)，直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。(X)9、數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差=舍.XLIIII|入誤差。()10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。(X).三、計(jì)算題(5X10，)1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答:(1,5,2)最大元5在第二行，交換第一與第二行:L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化為:(-0.2,2.6)最大元在第三行，交換第二與第三行:回代得:L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化為:X1=3.00005x2=5.99999、x.=1.00010332、用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下

6、列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x),并寫出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f'(xi)15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2111tli-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)(：)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)/IIjB*jI3-對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比

7、迭代法和高斯一一賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。解答:交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu):施1匕迭代公式：=1長潸血3容衰x3(2)»寸直分析試題x24x3-x4=8!x一二單項(xiàng)選擇外竄5x3告共15分)'11.已知準(zhǔn)確值x*與其有41位有效數(shù)字的近似值x=0.0aia2anX10s(ai初的絕對(duì)誤差獷一x?().(A)0.5X10s1t(B)0.5X10st(C)0.5XIO-1t(D)0.5X10s+t(C)一21._101015-12-101,(B)0-12-11-00-121i

8、i02.以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為().21041014101240(D)211410-1413153.過(0,1),(2,4),(3,1)點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(x)=()3x10HxM23x10_x_2(A)2(B)22._一-3x102二x<3-3x102：x<333x-10MxM2x10MxM2(C)12(D)23x+102<x<3-x+42cxM34.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是()(A)一，、1，,、f(xk)=(-yk+yk+)h11.、f(xk1)(yk-yk1)h、1,、f(xk)=(yk-yk+)h1.、f(xk1)(yk-yk1)h(C)一，、1,、f

9、(xk)=丁(-yk+yk+)1f(xk1)(yk1-yk)h(D)5.解常微分方程初值問題的平均形式的改進(jìn)歐拉法公式是那么yp,yc分另)為().，p=Vk+hf(xk,yjjc=yk+hf(x1,yk)"p=yk+hf(xkmYk)yc=yhf國，Yp)Yp=yk+f(xk,yk)Yp=yk+hf(xk,yk)(C)(D)*=yk+f(xk,yp)jc=yk+hf(xk+,yp)二、填空題(每小題3分，共15分)6.設(shè)近似值x1,x2滿足融)=0.05,1x2)=0.005,那么作憶尸.7.三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk尸yk(已知)，k=

10、0,1,2,n,且滿足S(x)在每個(gè)子區(qū)同xk,xk+1上是.bnn8 .牛頓科茨求積公式f(x)dx電£Akf(xk),則工Ak=.ak=0k20II9 .解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)？x)滿足在有根區(qū)間內(nèi)，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂.10.解常微分方程初值問題的改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)一一校正公式是預(yù)報(bào)值：ykHt=yk+hf(xk,yk),校正值：yk+1=.三、計(jì)算題(每小題15分，共60分)11 .用簡單迭代法求線性方程組的X(3).取初始值(0,0,0)T,計(jì)算過程保留4位小數(shù).12 .已知函數(shù)值f(0)=6,f(1)=10,f=46,f=82,f

11、(6)=212,求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差f(4,1,3).13 .將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計(jì)算定積分f1+x2dx,計(jì)算過程保留4位小數(shù).114 .用牛頓法求J而的近似值，取x=10或11為初始值，計(jì)算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15 .證明求常微分方程初值問題在等距節(jié)點(diǎn)a=xo<xi<<xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為y(xk+i)yk+i=yk+f(xk,yk)+f(xk+i,yk+i)2其中h=xk+ixk(k=o,i,2,n1)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)»數(shù)值分析試題答案一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1.

12、A2.B3.A4.B5.D二、填空題(每小題3分，共15分)16 0.05次2,+0.005*xi*7.3次多項(xiàng)式h17 b-a9.陽x)港<ii0.yk+2f函,yj+f乂%y1)hf(xk+1,y.).三、計(jì)算題(每小題15分，共60分)18 .寫出迭代格式X(0)=(0,0,0)T.得到得到得到X(1)=(2.5,3,3)TX(2)=(2.875,2.3637,1.0000)TX(3)=(3.1364,2.0456,0.9716)T.19 .計(jì)算均差列給出.f(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差06,11104,yI,3461814/34823661/362126529/311

13、/151/15“、1f(0,1,3,4,6)=15f(4,1,3)=62.213 .f(x)=V1+x,h=-=0.25.分點(diǎn)Xo=1.0,xi=1.25,x2=1.5,x3=1.75,x4=2.0,x5=2.25,xe=2.50,x7=2.75,x8=3.0.8函數(shù)值：f(1.0)=1.4142,f(1.25)=1.6008,f(1.5)=1.8028,f(1.75)=2.0156,f(2.0)=2.2361,f(2.25)=2.4622,f(2.50)=2.6926,f(2.75)=2.9262,f(3.0)=3.1623.+2(f(xi)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+

14、f(x6)+f(x7)(9分)025X1.4142+3.1623+2X(1.6008+1.8028+2.01562+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)=0.125X(4.5765+2X15.7363)=4.506114 .設(shè)x為所求，即求x2115=0的正根.f(x)=x2115.因?yàn)閒1x)=2x,f7x)=2,f(10)f/10)=(100115)X2<0,f(11)f211)=(121115)X2>0取xo=11.有迭代公式xk+i=xkf=XkJ2-115=吐+些出=0,1,2,)f(Xk)2Xk22Xk11115xi=一十=10.7273221110

15、.7273115X2=+=10.72382210.727310.7238115X3=+=10.72382210.7238x*10.7238四、證明題(本題10分)15 .在子區(qū)間Xk+1,Xk上，對(duì)微分方程兩邊關(guān)于X積分，得xk1y(xk+。-y(Xk尸f(x,y(x)dx用求積梯形公式，有hy(xk+1)-y(xk)=2f(xk,y(x。)+f(xk書，y(xk+)將y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到，、一.h一y(xk+1)%k+kyk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,，n1)2數(shù)值分析期末試題一、填空題(2M10=20分)1 5-21(1)設(shè)

16、A=-210，則ML=13。3 -822x15x2=102.51(2)對(duì)于方程組J,Jacobi迭代法的迭代矩陣是BJ=I10x1-4x2=312.503*(3) Vx的相對(duì)誤差約是x的相對(duì)誤差的xn 1 - xnxn - f(xn)1 f'(xn)WJ.I(4)求方程x=f(x)根的牛頓迭代公式是'I(5)設(shè)f(x)=x3+x1,則差商f0,1,2,3=1(6)設(shè)nMn矩BG的特征值是看,%,，*un，則矩陣G的譜半徑G)=max-已知A J|1一021，則條件數(shù) Condoc(A) =9(8)為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)x充分大時(shí)，應(yīng)將ln(x4x2-1)改寫為ln(x +

17、 Jx2+1)(9)n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n -1次13、(1。)擬合二點(diǎn)(x1,f(xj),(x2,f(x2),(x3,f(x3)的水平直線是y=-Xf(xj。3ij2x1一x2x3=1(10分)證明：方程組(x1十x2+x3=1使用Jacobi迭代法求解不收斂性。x1x2-2x3=1證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為Bj的特征多項(xiàng)式為Bj的特征值為Zi=0,九2=J125i,九3="125i，故P(Bj)=J125>1,因而迭代法不收斂性。三、(10分)定義內(nèi)積試在H1=Span%,x中尋求對(duì)于f(x)=xx的最佳平方逼近元素p(x)。解:1(0,

18、 0)= 0 dx111=1 ,(Q3o) = ( xdx =2 ,(Q,9 1)=12x dxf)= I Xdx=：(1,f)xvxdx =。 05法方程解得c015C112_ 口山、一十,O所求的最佳平方逼近元素為 154 p(x)=1512-+ x , 0 < x < 1 15四、(10分)給定數(shù)據(jù)表試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)一11-2-11110 ,0010010034034034013050x-2-1012y-0.10.10.40.91.6O解：y(x);c0c1xc2x2c3x3法方程的解為 Co =0.4086 , ci =0.39167,C2=0.0857 , C30.00833得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為；:3=0.0001943五.(10分)依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的Lagrange插值多項(xiàng)式，用它計(jì)算f(2.2),并在假設(shè)f(4)(x)M1下，估計(jì)計(jì)算誤差。解:先計(jì)算插值基函數(shù)所求Lagrange插值多項(xiàng)式為1134521口田L(fēng)3(x)=Xf(xi)li(x)=l°(x)十9lx)+2312(x)十313(x)=x+xx+1從而y442f(2.2)-L3(2.2)=25.0683。(4) .據(jù)誤差公式R3(x)=(