計(jì)算流體力學(xué)完整課件

計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics1計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第一章緒論§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義§1.2流體力學(xué)的基本方程§1.3流體力學(xué)方程組的類型判別

2第一章緒論§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義2§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義1、流體運(yùn)動(dòng)遵循3個(gè)基本定律：1)質(zhì)量守恒定律；2)動(dòng)量守恒定律；3)能量守恒定律2、流體的本構(gòu)模型和狀態(tài)方程

控制方程（Governingequations）偏微分方程（方程組）或積分形式的方程（方程組）

流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性主要表現(xiàn)為控制方程的高度非線性和流動(dòng)區(qū)域幾何形狀的復(fù)雜性等，導(dǎo)致對(duì)絕大多數(shù)流動(dòng)問(wèn)題無(wú)法得到解析解。高速計(jì)算機(jī)的發(fā)展，使得計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamics,CFD）逐漸成為一門獨(dú)立學(xué)科。3§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義3計(jì)算流體力學(xué)(CFD)：通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場(chǎng)的離散的定量描述，并以此預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。在CFD中，首先，把控制方程中的積分、微分項(xiàng)近似地表示為離散的代數(shù)形式，把積分、微分形式的控制方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程，這個(gè)過(guò)程稱為控制方程的離散化(discretization)；所采用的離散化方法稱為數(shù)值方法或數(shù)值格式。然后，通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求解這些代數(shù)方程組，得到流場(chǎng)在離散的時(shí)間/空間點(diǎn)上的數(shù)值解(numericalsolution)。CFD也被稱作流場(chǎng)的數(shù)值模擬、數(shù)值計(jì)算、數(shù)值仿真等。4計(jì)算流體力學(xué)(CFD)：通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得計(jì)算流體力學(xué)的研究步驟第一，問(wèn)題的界定和流動(dòng)區(qū)域的幾何描述。

流場(chǎng)的幾何形狀：源于對(duì)已有流動(dòng)區(qū)域的測(cè)量或者新的產(chǎn)品和

工程的設(shè)計(jì)結(jié)果。

流動(dòng)條件：雷諾數(shù)、馬赫數(shù)、邊界處的速度及壓力等

對(duì)數(shù)值模擬的要求：精度、所花費(fèi)的時(shí)間。第二，選擇控制方程和邊界條件。

在牛頓流體范圍內(nèi)，用Navier-Stokes方程描述。

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，可以考慮定?；蚍嵌ǔ?，可壓或不可壓的流動(dòng)模型。簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型：勢(shì)流方程，Euler方程，邊界層方程，

薄層近似的Navier-Stokes方程等。

邊界條件通常依賴于控制方程。

固體壁面條件，來(lái)流、出流條件，周期性條件，對(duì)稱條件等

附加的物理模型：湍流模型，化學(xué)反應(yīng)等。5計(jì)算流體力學(xué)的研究步驟第一，問(wèn)題的界定和流動(dòng)區(qū)域的幾何描述。第三，確定網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法。

網(wǎng)格劃分：結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、組合網(wǎng)格、重疊網(wǎng)格。

網(wǎng)格可以是靜止的，也可以是運(yùn)動(dòng)的，還可以根據(jù)數(shù)值解動(dòng)態(tài)調(diào)整（自

適應(yīng)網(wǎng)格）。數(shù)值方法：有限差分、有限體積、有限元、譜方法等。

數(shù)值方法和網(wǎng)格劃分策略是相互關(guān)聯(lián)的。第四，程序設(shè)計(jì)和調(diào)試。

在網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法的基礎(chǔ)上，編制、調(diào)試數(shù)值求解流體運(yùn)動(dòng)方程

的計(jì)算機(jī)程序或軟件。第五，程序驗(yàn)證和確認(rèn)。

驗(yàn)證(Verification)：Theprocessofdeterminingthatamodelimplementationaccuratelyrepresentsthedeveloper’sconceptualdescriptionofthemodelandthesolutiontothemodel.

確認(rèn)(Validation)：Theprocessofdeterminingthedegreetowhichamodelisanaccuraterepresentationoftherealworldfromtheperspectiveoftheintendedusesofthemodel.6第三，確定網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法。6第六，數(shù)值解的顯示和評(píng)估計(jì)算感興趣的力、力矩等；應(yīng)用流場(chǎng)可視化軟件對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行顯示、分析；對(duì)數(shù)值方法和物理模型的誤差進(jìn)行評(píng)估等。7第六，數(shù)值解的顯示和評(píng)估7計(jì)算流體力學(xué)典型流程物理模型數(shù)學(xué)模型網(wǎng)格生成離散方法選擇時(shí)、空離散邊界條件離散解代數(shù)方程組驗(yàn)證與確認(rèn)流場(chǎng)顯示結(jié)果分析8計(jì)算流體力學(xué)典型流程物理模型數(shù)學(xué)模型網(wǎng)格生成離散方法選擇時(shí)、舉例：自然循環(huán)回路內(nèi)的流動(dòng)與傳熱特性9舉例：自然循環(huán)回路內(nèi)的流動(dòng)與傳熱特性9物理模型：

(1)空間維數(shù)：1D、2D、3D(2)時(shí)間特性：定常、非定常

(3)流動(dòng)性質(zhì)：無(wú)粘/粘性、可壓縮/不可壓縮、層流/湍流

(4)流體物性：常物性、變物性Geometricparameter:HeightHWidthWLengthofheatsink(source)LTubediameterdRayleighnumberRaHeatsourcetemperatureThHeatsinktemperatureTcOperationpressureP10物理模型：Geometricparameter:10數(shù)學(xué)模型：控制方程

定解條件

初始條件：

邊界條件：固體壁面上無(wú)滑移；

恒溫?zé)嵩础⒑銣責(zé)岢粒?/p>

其余為絕熱壁面。11數(shù)學(xué)模型：11網(wǎng)格劃分：12網(wǎng)格劃分：12數(shù)值算法：離散方法：

FDM、FVM、FEM……空間離散：對(duì)流項(xiàng)，粘性項(xiàng)，源項(xiàng)……時(shí)間離散：顯式、隱式邊界離散：來(lái)流、出流、固壁、遠(yuǎn)場(chǎng)、周期性……求解代數(shù)方程組13數(shù)值算法：離散方法：13數(shù)值解的驗(yàn)證與確認(rèn)：14數(shù)值解的驗(yàn)證與確認(rèn)：14流場(chǎng)顯示及結(jié)果分析：15流場(chǎng)顯示及結(jié)果分析：15計(jì)算流體力學(xué)的特點(diǎn)及意義實(shí)驗(yàn)研究理論研究計(jì)算流體力學(xué)優(yōu)點(diǎn)：借助各種先進(jìn)儀器，給出多種復(fù)雜流動(dòng)的準(zhǔn)確、可靠的觀測(cè)結(jié)果，這些結(jié)果對(duì)于流動(dòng)機(jī)理的研究和與流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的機(jī)械和飛行器的設(shè)計(jì)具有不可替代的作用。缺點(diǎn)：費(fèi)用高昂，周期很長(zhǎng)，有些流動(dòng)條件難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段來(lái)模擬。優(yōu)點(diǎn)：可以給出具有一定適用范圍的簡(jiǎn)潔明了的解析解或近似解析解，這些解析解對(duì)于分析流動(dòng)的機(jī)理和預(yù)測(cè)流動(dòng)隨參數(shù)的變化非常有用。缺點(diǎn)：只能研究簡(jiǎn)單流動(dòng)問(wèn)題，能夠得到解析解的流動(dòng)問(wèn)題為數(shù)不多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工程設(shè)計(jì)的需要。發(fā)展CFD的主要?jiǎng)訖C(jī)：利用高速電子計(jì)算機(jī)，克服理論研究和實(shí)驗(yàn)研究的缺點(diǎn)，深化對(duì)于流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)并提高解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力。優(yōu)點(diǎn)：原則上可以研究流體在任何條件下的運(yùn)動(dòng)，使得我們研究流體運(yùn)動(dòng)的范圍和能力都有本質(zhì)的擴(kuò)大和提高。費(fèi)用低，周期短。16計(jì)算流體力學(xué)的特點(diǎn)及意義實(shí)驗(yàn)研究?jī)?yōu)點(diǎn)：借助各種先進(jìn)儀器，給出§1.2流體力學(xué)基本方程守恒型積分方程牛頓流體本構(gòu)關(guān)系Stokes流體假設(shè)17§1.2流體力學(xué)基本方程守恒型積分方程牛頓流體本構(gòu)關(guān)系S守恒型微分方程積分型方程和微分型方程在意義上有微妙差別：積分型方程允許在控制體內(nèi)部流動(dòng)參數(shù)有間斷；微分型方程假定流動(dòng)參數(shù)是可微的，因而是連續(xù)的。因此，積分型方程是比微分型方程更為基本的方程，尤其是流場(chǎng)中確實(shí)存在間斷時(shí)。狀態(tài)方程18守恒型微分方程積分型方程和微分型方程在意義上有微妙差別：狀態(tài)直角坐標(biāo)系下的守恒型方程N(yùn)avier-Stokes

方程19直角坐標(biāo)系下的守恒型方程N(yùn)avier-Stokes方程1920202121Euler方程等價(jià)形式Navier-Stokes

方程中，Euler

方程中，CFD中，守恒型方程是使用最頻繁的一種形式。22Euler方程等價(jià)形式Navier-Stokes方程中，邊界條件黏性流動(dòng)的適定邊界條件：

在固體壁面上速度滿足無(wú)滑移條件：

溫度條件可以是下面三種之一：無(wú)黏流動(dòng)的適定邊界條件在固體壁面上速度滿足不可穿透條件23邊界條件無(wú)黏流動(dòng)的適定邊界條件在固體壁面上速度滿足不可穿透§1.3偏微分方程的分類及數(shù)學(xué)性質(zhì)一階擬線性方程組Euler方程：一階非線性偏微分方程組

Navier-Stokes方程：二階非線性偏微分方程組流體力學(xué)的基本方程都可以寫成一階擬線性方程組的形式。對(duì)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)而言，是線性方程組；如果B,A是U的函數(shù)，則整個(gè)方程組是非線性的，稱之為“擬線性方程組”。24§1.3偏微分方程的分類及數(shù)學(xué)性質(zhì)一階擬線性方程組對(duì)一階考慮一維守恒型Euler方程（一階）25考慮一維守恒型Euler方程（一階）25令26令26考慮Laplace方程（二階）作業(yè)一：根據(jù)類似的方法，將Navier-Stokes方程寫成一階擬線性方程組的形式27考慮Laplace方程（二階）作業(yè)一：根據(jù)類似的方法，將Na特征線理論分析擬線性方程的特征線和相容關(guān)系具有重要意義。通過(guò)引入特征線和相容關(guān)系，可以把偏微分方程的某種線性組合化為常微分方程。在有些情況下，還可以由此得到解析解?？紤]一般形式的有兩個(gè)自變量的擬線性方程組，它的分量形式28特征線理論2829293030雙曲型方程的定義31雙曲型方程的定義3132323333雙曲、拋物和橢圓型方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)不同類型的方程，如雙曲、拋物、橢圓型方程具有不同的數(shù)學(xué)行為，對(duì)應(yīng)著不同的物理過(guò)程；因而，也應(yīng)采用不同的數(shù)值方法求解。34雙曲、拋物和橢圓型方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)不同類型的方程，如雙曲、拋物3535363637373838393940404141424243434444流體力學(xué)方程組的其它類型45流體力學(xué)方程組的其它類型454646474748484949計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics50計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法§2.3差分格式的性質(zhì)§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析51第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述51§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡(jiǎn)單構(gòu)造方法和求解過(guò)程。2.1.1基本方程和定解問(wèn)題方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構(gòu)成了一個(gè)適定的定解問(wèn)題。有限差分方法：對(duì)于一個(gè)偏微分方程，如果把方程中的所有偏導(dǎo)數(shù)近似地用代數(shù)差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，則可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個(gè)偏微分方程，進(jìn)而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。52§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏導(dǎo)數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個(gè)過(guò)程稱為求解域的離散化。

1.空間求解域的離散化把空間求解域分為M段（均勻剖分）

2.時(shí)間變量的離散化把感興趣的時(shí)間段(t=T之前)分為N段（均勻剖分），則時(shí)間方向的求解域可以劃分為532.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分

求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1求解域的離散化

3.解的離散表示目標(biāo)：求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上物理量u的近似解。54求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1

4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代數(shù)形式。554.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代5656575758582.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導(dǎo)數(shù)近似方法導(dǎo)致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用前差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。對(duì)初始條件和邊界條件的離散化式(2.1.9)~(2.1.12)稱為方程(2.1.1)的一個(gè)有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。592.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用后差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。在研究數(shù)值方法時(shí)，通常把tn時(shí)刻的物理量視為已知量，而把tn+1時(shí)刻的物理量作為待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改寫成602.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式中，某一點(diǎn)的數(shù)值解只依賴于前一時(shí)間步的三個(gè)點(diǎn)，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點(diǎn)612.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式的求解過(guò)程62FTCS格式的求解過(guò)程622.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時(shí)涉及到n+1時(shí)刻的多個(gè)未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式(implicitscheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點(diǎn)BTCS格式的求解過(guò)程632.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTC646465652.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問(wèn)題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程和定解條件662.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問(wèn)題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程6767BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程68BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程68§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析在上一節(jié)，我們得到了一階偏導(dǎo)數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導(dǎo)數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進(jìn)行分析。69§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析7070一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。71一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的精度。72例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法732.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法737474757576762.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定義算子，一種前置運(yùn)算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運(yùn)算過(guò)程。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子——移位算子。移位算子的運(yùn)算規(guī)則為移位算子的下標(biāo)表示移位的方向，上標(biāo)表示移位的步數(shù)。772.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：78差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中2.差分算子之間的關(guān)系792.差分算子之間的關(guān)系79所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)。80所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)3.微分算子與差分算子的關(guān)系813.微分算子與差分算子的關(guān)系814.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似公式。即：824.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。83即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。83即：84即：845.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點(diǎn)越多。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)，一般需要5個(gè)點(diǎn)才能得到四階精度的差分近似。模板點(diǎn)數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復(fù)雜，也給邊界附近的處理帶來(lái)一定困難。緊致格式：用較少的模板點(diǎn)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的高階近似。855.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差8686基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compactscheme)。87基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compac88888989§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.向量范數(shù)90§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.2.算子范數(shù)912.算子范數(shù)9192922.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截?cái)嗾`差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。932.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用94949595如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向可達(dá)到二階精度，空間方向可達(dá)到四階精度。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向是一階精度，空間方向是二階精度。96如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的。定義中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成一個(gè)解向量，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的截?cái)嗾`差也構(gòu)成一個(gè)向量。因此，可以用向量范數(shù)來(lái)刻畫差分格式的局部截?cái)嗾`差。972.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：以非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：FTCS格式：解向量記為：考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：982.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形2.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整體截?cái)嗾`差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度992.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整1001003.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收斂的，那么，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格足夠密時(shí)，數(shù)值解將相當(dāng)接近精確解。差分格式的穩(wěn)定性等價(jià)于差分方程數(shù)值解的一致有界性。1013.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解102102上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)，整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差量級(jí)相同。103上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分104104Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分格式的收斂性比較困難，而穩(wěn)定性分析則比較簡(jiǎn)單。Lax定理告訴我們，在一定條件下，收斂性和穩(wěn)定性是等價(jià)的；通過(guò)穩(wěn)定性分析，即可確定差分格式的收斂條件。4.穩(wěn)定性的意義105Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法106§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法1061071071081081091091101102.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論1112.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論1111121121131131141141151151161161171171181181191191201202.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例1212.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例121122122123123124124125125126126127127128128129129130130計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics131計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第三章發(fā)展型模型方程的有限差分

和有限體積方法§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式§3.2拋物型模型方程——對(duì)流擴(kuò)散方程的

差分格式§3.3有限體積方法§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)132第三章發(fā)展型模型方程的有限差分§3.1一階線性對(duì)§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式討論雙曲型模型方程：一階線性對(duì)流方程線性對(duì)流方程的差分格式和流體力學(xué)中Euler方程的差分格式以及Navier-Stokes方程中對(duì)流項(xiàng)的差分格式有密切的關(guān)系，因此，掌握其差分格式的構(gòu)造方法具有非常重要的意義。本節(jié)中，介紹的差分格式構(gòu)造方法包括：基于導(dǎo)數(shù)逼近基于特征理論基于時(shí)間展開基于算子分裂133§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式討論雙曲型模型方程：一3.1.1基于導(dǎo)數(shù)逼近的差分格式構(gòu)造差分格式的最簡(jiǎn)單的方法。采用前差、后差和中心差等離散方法，直接近似微分方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

1.

Euler顯式格式時(shí)間方向：前差?？臻g方向：中心差。1343.1.1基于導(dǎo)數(shù)逼近的差分格式構(gòu)造差分格式的最簡(jiǎn)單的方

2.

Euler隱式格式時(shí)間方向：后差。空間方向：中心差。1352.Euler隱式格式時(shí)間方向：后差?？臻g方向：

3.蛙跳(Leap-Frog)格式時(shí)間方向：中心差分。空間方向：中心差分。1363.蛙跳(Leap-Frog)格式時(shí)間方向：中心在滿足穩(wěn)定性的條件時(shí)，放大因子等于1，格式具有零耗散，稱為中性穩(wěn)定的。

4.一階迎風(fēng)(upwind)和順風(fēng)(downwind)格式時(shí)間方向：前差。空間方向：前差或后差。Courant–Friedrichs–Lewy137在滿足穩(wěn)定性的條件時(shí)，放大因子等于1，格式具有零耗散，稱為中1381383.1.2基于特征線理論的差分格式，CFL條件特征性質(zhì)是雙曲型方程的重要特點(diǎn)。在構(gòu)造差分格式時(shí)，考慮微分方程的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)，有助于得到性態(tài)較好的差分格式。1393.1.2基于特征線理論的差分格式，CFL條件特征性質(zhì)是1401401411411421423.1.3基于時(shí)間展開的差分格式1433.1.3基于時(shí)間展開的差分格式1431441441451453.1.4基于算子分裂方法的格式1463.1.4基于算子分裂方法的格式1461471471481481491491501501511511521523.1.5邊界條件的數(shù)值處理1533.1.5邊界條件的數(shù)值處理153154154§3.2拋物型模型方程—對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式155§3.2拋物型模型方程—對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式1553.2.1求解域的離散和邊界條件的處理1563.2.1求解域的離散和邊界條件的處理1561571573.2.2差分格式1583.2.2差分格式1581591591601601611613.2.3近似因式分解方法1623.2.3近似因式分解方法1621631631641641651651661663.2.4多維問(wèn)題差分格式的穩(wěn)定性分析1673.2.4多維問(wèn)題差分格式的穩(wěn)定性分析167168168§3.3有限體積方法3.3.1積分型守恒方程169§3.3有限體積方法3.3.1積分型守恒方程1693.3.2空間控制體1703.3.2空間控制體1703.3.3有限體積方法的全離散形式1713.3.3有限體積方法的全離散形式1711721721731731741741751753.3.4有限體積方法的半離散形式1763.3.4有限體積方法的半離散形式176177177178178179179§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)3.4.1修正方程180§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)3.4.1修正方程1801811811821823.4.2差分格式的耗散和頻散1833.4.2差分格式的耗散和頻散183184184185185186186187187188188189189190190191191計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics192計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第五章可壓縮流動(dòng)數(shù)值模擬概述§5.1控制方程§5.2激波間斷和廣義解§5.3激波捕捉方法§5.4有限差分和有限體積方法§5.5Navier-Stokes方程中黏性項(xiàng)的離散§5.6時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算§5.7邊界條件的處理193第五章可壓縮流動(dòng)數(shù)值模擬概述§5.1控制方程193§5.1控制方程194§5.1控制方程1941951951961961971971981981991995.1.1守恒型的Navier-Stokes方程2005.1.1守恒型的Navier-Stokes方程2002012015.1.2守恒型Euler方程2025.1.2守恒型Euler方程202§5.2激波間斷和廣義解5.2.1激波的形成203§5.2激波間斷和廣義解5.2.1激波的形成2032042045.2.2廣義解2055.2.2廣義解2052062065.2.3熵條件2075.2.3熵條件207208208209209210210§5.3激波捕捉方法211§5.3激波捕捉方法2115.3.1守恒格式和Lax-Wendroff定理2125.3.1守恒格式和Lax-Wendroff定理2122132132142142152155.3.2人工黏性和格式黏性2165.3.2人工黏性和格式黏性216217217218218219219220220§5.4有限差分方法和有限體積方法221§5.4有限差分方法和有限體積方法2215.4.1有限體積方法–方案A2225.4.1有限體積方法–方案A2222232232242242252255.4.2有限體積方法–方案B2265.4.2有限體積方法–方案B2262272272282285.4.3有限差分方法2295.4.3有限差分方法2295.4.4有限差分方法與有限體積方法的異同2305.4.4有限差分方法與有限體積方法的異同230231231§5.5Navier-Stokes方程中黏性項(xiàng)的離散5.5.1Navier-Stokes方程的有限體積和有限差分格式232§5.5Navier-Stokes方程中黏性項(xiàng)的離散5.5.5.2黏性通量的計(jì)算方法2335.5.2黏性通量的計(jì)算方法233234234235235236236§5.6時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算237§5.6時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算237238238239239240240§5.7邊界條件的處理241§5.7邊界條件的處理2415.7.1特征分析2425.7.1特征分析2422432432442442452455.7.2固壁邊界2465.7.2固壁邊界2462472472482485.7.3遠(yuǎn)場(chǎng)邊界2495.7.3遠(yuǎn)場(chǎng)邊界2492502502512512522525.7.4Navier-Stokes方程的邊界處理2535.7.4Navier-Stokes方程的邊界處理2535.7.5虛擬網(wǎng)格和虛擬控制體2545.7.5虛擬網(wǎng)格和虛擬控制體254計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics255計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第六章可壓縮流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算方法§6.1中心型格式§6.2迎風(fēng)型格式§6.3高分辨率格式256第六章可壓縮流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算方法§6.1中心型格式2§6.1中心型格式257§6.1中心型格式2576.1.1Lax-Wendroff格式2586.1.1Lax-Wendroff格式2582592592602602612612622626.1.2MacCormack格式2636.1.2MacCormack格式2632642642652652662662672676.1.3Jameson的中心型有限體積格式2686.1.3Jameson的中心型有限體積格式268269269270270§6.2迎風(fēng)型格式6.2.1一維線性波動(dòng)方程組的迎風(fēng)格式271§6.2迎風(fēng)型格式6.2.1一維線性波動(dòng)方程組的迎風(fēng)2722722732736.2.2Euler方程的迎風(fēng)型有限差分格式2746.2.2Euler方程的迎風(fēng)型有限差分格式2742752752762762772772782782792792802802812812822826.2.3Euler方程的迎風(fēng)型有限體積格式2836.2.3Euler方程的迎風(fēng)型有限體積格式2832842842852852862866.2.4迎風(fēng)格式在多維問(wèn)題中的推廣2876.2.4迎風(fēng)格式在多維問(wèn)題中的推廣287288288圖6.1：有限體積方法中的控制體和控制體界面上的法向量。289圖6.1：有限體積方法中的控制體和控制289圖6.2：有限體積方法中的典型控制體290圖6.2：有限體積方法中的典型控制體290291291292292§6.3高分辨率格式293§6.3高分辨率格式2936.3.1保單調(diào)性和單調(diào)格式2946.3.1保單調(diào)性和單調(diào)格式2946.3.2TVD格式的概念2956.3.2TVD格式的概念2956.3.3TVD格式的構(gòu)造2966.3.3TVD格式的構(gòu)造296297297298298299299300300301301302302303303304304305305306306307307308308309309310310§6.4求解Euler方程的隱式方法311§6.4求解Euler方程的隱式方法311312312313313314314315315316316317317318318計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics319計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第七章不可壓縮流動(dòng)的數(shù)值方法§7.1基本方程§7.2渦量-流函數(shù)方法§7.3SIMPLE方法320第七章不可壓縮流動(dòng)的數(shù)值方法§7.1基本方程320§7.1基本方程321§7.1基本方程321322322§7.2渦量—流函數(shù)方法7.2.1基本方程323§7.2渦量—流函數(shù)方法7.2.1基本方程3233243247.2.2差分格式3257.2.2差分格式3253263267.2.3邊界條件3277.2.3邊界條件3273283283293297.2.4求解方法3307.2.4求解方法330331331332332333333§7.3SIMPLE方法7.3.1交錯(cuò)網(wǎng)格和非交錯(cuò)網(wǎng)格334§7.3SIMPLE方法7.3.1交錯(cuò)網(wǎng)格和非交錯(cuò)網(wǎng)交錯(cuò)網(wǎng)格335交錯(cuò)網(wǎng)格3357.3.2動(dòng)量方程的離散1.控制方程及有限體積格式3367.3.2動(dòng)量方程的離散1.控制方程及有限體積格式33373373383383393393403403413417.3.3SIMPLE方法3427.3.3SIMPLE方法342343343344344345345346346347347計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics348計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第一章緒論§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義§1.2流體力學(xué)的基本方程§1.3流體力學(xué)方程組的類型判別

349第一章緒論§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義2§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義1、流體運(yùn)動(dòng)遵循3個(gè)基本定律：1)質(zhì)量守恒定律；2)動(dòng)量守恒定律；3)能量守恒定律2、流體的本構(gòu)模型和狀態(tài)方程

控制方程（Governingequations）偏微分方程（方程組）或積分形式的方程（方程組）

流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性主要表現(xiàn)為控制方程的高度非線性和流動(dòng)區(qū)域幾何形狀的復(fù)雜性等，導(dǎo)致對(duì)絕大多數(shù)流動(dòng)問(wèn)題無(wú)法得到解析解。高速計(jì)算機(jī)的發(fā)展，使得計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamics,CFD）逐漸成為一門獨(dú)立學(xué)科。350§1.1計(jì)算流體力學(xué)的概念與意義3計(jì)算流體力學(xué)(CFD)：通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場(chǎng)的離散的定量描述，并以此預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科。在CFD中，首先，把控制方程中的積分、微分項(xiàng)近似地表示為離散的代數(shù)形式，把積分、微分形式的控制方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程，這個(gè)過(guò)程稱為控制方程的離散化(discretization)；所采用的離散化方法稱為數(shù)值方法或數(shù)值格式。然后，通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求解這些代數(shù)方程組，得到流場(chǎng)在離散的時(shí)間/空間點(diǎn)上的數(shù)值解(numericalsolution)。CFD也被稱作流場(chǎng)的數(shù)值模擬、數(shù)值計(jì)算、數(shù)值仿真等。351計(jì)算流體力學(xué)(CFD)：通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得計(jì)算流體力學(xué)的研究步驟第一，問(wèn)題的界定和流動(dòng)區(qū)域的幾何描述。

流場(chǎng)的幾何形狀：源于對(duì)已有流動(dòng)區(qū)域的測(cè)量或者新的產(chǎn)品和

工程的設(shè)計(jì)結(jié)果。

流動(dòng)條件：雷諾數(shù)、馬赫數(shù)、邊界處的速度及壓力等

對(duì)數(shù)值模擬的要求：精度、所花費(fèi)的時(shí)間。第二，選擇控制方程和邊界條件。

在牛頓流體范圍內(nèi)，用Navier-Stokes方程描述。

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，可以考慮定常或非定常，可壓或不可壓的流動(dòng)模型。簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型：勢(shì)流方程，Euler方程，邊界層方程，

薄層近似的Navier-Stokes方程等。

邊界條件通常依賴于控制方程。

固體壁面條件，來(lái)流、出流條件，周期性條件，對(duì)稱條件等

附加的物理模型：湍流模型，化學(xué)反應(yīng)等。352計(jì)算流體力學(xué)的研究步驟第一，問(wèn)題的界定和流動(dòng)區(qū)域的幾何描述。第三，確定網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法。

網(wǎng)格劃分：結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、組合網(wǎng)格、重疊網(wǎng)格。

網(wǎng)格可以是靜止的，也可以是運(yùn)動(dòng)的，還可以根據(jù)數(shù)值解動(dòng)態(tài)調(diào)整（自

適應(yīng)網(wǎng)格）。數(shù)值方法：有限差分、有限體積、有限元、譜方法等。

數(shù)值方法和網(wǎng)格劃分策略是相互關(guān)聯(lián)的。第四，程序設(shè)計(jì)和調(diào)試。

在網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法的基礎(chǔ)上，編制、調(diào)試數(shù)值求解流體運(yùn)動(dòng)方程

的計(jì)算機(jī)程序或軟件。第五，程序驗(yàn)證和確認(rèn)。

驗(yàn)證(Verification)：Theprocessofdeterminingthatamodelimplementationaccuratelyrepresentsthedeveloper’sconceptualdescriptionofthemodelandthesolutiontothemodel.

確認(rèn)(Validation)：Theprocessofdeterminingthedegreetowhichamodelisanaccuraterepresentationoftherealworldfromtheperspectiveoftheintendedusesofthemodel.353第三，確定網(wǎng)格劃分策略和數(shù)值方法。6第六，數(shù)值解的顯示和評(píng)估計(jì)算感興趣的力、力矩等；應(yīng)用流場(chǎng)可視化軟件對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行顯示、分析；對(duì)數(shù)值方法和物理模型的誤差進(jìn)行評(píng)估等。354第六，數(shù)值解的顯示和評(píng)估7計(jì)算流體力學(xué)典型流程物理模型數(shù)學(xué)模型網(wǎng)格生成離散方法選擇時(shí)、空離散邊界條件離散解代數(shù)方程組驗(yàn)證與確認(rèn)流場(chǎng)顯示結(jié)果分析355計(jì)算流體力學(xué)典型流程物理模型數(shù)學(xué)模型網(wǎng)格生成離散方法選擇時(shí)、舉例：自然循環(huán)回路內(nèi)的流動(dòng)與傳熱特性356舉例：自然循環(huán)回路內(nèi)的流動(dòng)與傳熱特性9物理模型：

(1)空間維數(shù)：1D、2D、3D(2)時(shí)間特性：定常、非定常

(3)流動(dòng)性質(zhì)：無(wú)粘/粘性、可壓縮/不可壓縮、層流/湍流

(4)流體物性：常物性、變物性Geometricparameter:HeightHWidthWLengthofheatsink(source)LTubediameterdRayleighnumberRaHeatsourcetemperatureThHeatsinktemperatureTcOperationpressureP357物理模型：Geometricparameter:10數(shù)學(xué)模型：控制方程

定解條件

初始條件：

邊界條件：固體壁面上無(wú)滑移；

恒溫?zé)嵩础⒑銣責(zé)岢粒?/p>

其余為絕熱壁面。358數(shù)學(xué)模型：11網(wǎng)格劃分：359網(wǎng)格劃分：12數(shù)值算法：離散方法：

FDM、FVM、FEM……空間離散：對(duì)流項(xiàng)，粘性項(xiàng)，源項(xiàng)……時(shí)間離散：顯式、隱式邊界離散：來(lái)流、出流、固壁、遠(yuǎn)場(chǎng)、周期性……求解代數(shù)方程組360數(shù)值算法：離散方法：13數(shù)值解的驗(yàn)證與確認(rèn)：361數(shù)值解的驗(yàn)證與確認(rèn)：14流場(chǎng)顯示及結(jié)果分析：362流場(chǎng)顯示及結(jié)果分析：15計(jì)算流體力學(xué)的特點(diǎn)及意義實(shí)驗(yàn)研究理論研究計(jì)算流體力學(xué)優(yōu)點(diǎn)：借助各種先進(jìn)儀器，給出多種復(fù)雜流動(dòng)的準(zhǔn)確、可靠的觀測(cè)結(jié)果，這些結(jié)果對(duì)于流動(dòng)機(jī)理的研究和與流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的機(jī)械和飛行器的設(shè)計(jì)具有不可替代的作用。缺點(diǎn)：費(fèi)用高昂，周期很長(zhǎng)，有些流動(dòng)條件難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段來(lái)模擬。優(yōu)點(diǎn)：可以給出具有一定適用范圍的簡(jiǎn)潔明了的解析解或近似解析解，這些解析解對(duì)于分析流動(dòng)的機(jī)理和預(yù)測(cè)流動(dòng)隨參數(shù)的變化非常有用。缺點(diǎn)：只能研究簡(jiǎn)單流動(dòng)問(wèn)題，能夠得到解析解的流動(dòng)問(wèn)題為數(shù)不多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工程設(shè)計(jì)的需要。發(fā)展CFD的主要?jiǎng)訖C(jī)：利用高速電子計(jì)算機(jī)，克服理論研究和實(shí)驗(yàn)研究的缺點(diǎn)，深化對(duì)于流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)并提高解決工程實(shí)際問(wèn)題的能力。優(yōu)點(diǎn)：原則上可以研究流體在任何條件下的運(yùn)動(dòng)，使得我們研究流體運(yùn)動(dòng)的范圍和能力都有本質(zhì)的擴(kuò)大和提高。費(fèi)用低，周期短。363計(jì)算流體力學(xué)的特點(diǎn)及意義實(shí)驗(yàn)研究?jī)?yōu)點(diǎn)：借助各種先進(jìn)儀器，給出§1.2流體力學(xué)基本方程守恒型積分方程牛頓流體本構(gòu)關(guān)系Stokes流體假設(shè)364§1.2流體力學(xué)基本方程守恒型積分方程牛頓流體本構(gòu)關(guān)系S守恒型微分方程積分型方程和微分型方程在意義上有微妙差別：積分型方程允許在控制體內(nèi)部流動(dòng)參數(shù)有間斷；微分型方程假定流動(dòng)參數(shù)是可微的，因而是連續(xù)的。因此，積分型方程是比微分型方程更為基本的方程，尤其是流場(chǎng)中確實(shí)存在間斷時(shí)。狀態(tài)方程365守恒型微分方程積分型方程和微分型方程在意義上有微妙差別：狀態(tài)直角坐標(biāo)系下的守恒型方程N(yùn)avier-Stokes

方程366直角坐標(biāo)系下的守恒型方程N(yùn)avier-Stokes方程193672036821Euler方程等價(jià)形式Navier-Stokes

方程中，Euler

方程中，CFD中，守恒型方程是使用最頻繁的一種形式。369Euler方程等價(jià)形式Navier-Stokes方程中，邊界條件黏性流動(dòng)的適定邊界條件：

在固體壁面上速度滿足無(wú)滑移條件：

溫度條件可以是下面三種之一：無(wú)黏流動(dòng)的適定邊界條件在固體壁面上速度滿足不可穿透條件370邊界條件無(wú)黏流動(dòng)的適定邊界條件在固體壁面上速度滿足不可穿透§1.3偏微分方程的分類及數(shù)學(xué)性質(zhì)一階擬線性方程組Euler方程：一階非線性偏微分方程組

Navier-Stokes方程：二階非線性偏微分方程組流體力學(xué)的基本方程都可以寫成一階擬線性方程組的形式。對(duì)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)而言，是線性方程組；如果B,A是U的函數(shù)，則整個(gè)方程組是非線性的，稱之為“擬線性方程組”。371§1.3偏微分方程的分類及數(shù)學(xué)性質(zhì)一階擬線性方程組對(duì)一階考慮一維守恒型Euler方程（一階）372考慮一維守恒型Euler方程（一階）25令373令26考慮Laplace方程（二階）作業(yè)一：根據(jù)類似的方法，將Navier-Stokes方程寫成一階擬線性方程組的形式374考慮Laplace方程（二階）作業(yè)一：根據(jù)類似的方法，將Na特征線理論分析擬線性方程的特征線和相容關(guān)系具有重要意義。通過(guò)引入特征線和相容關(guān)系，可以把偏微分方程的某種線性組合化為常微分方程。在有些情況下，還可以由此得到解析解?？紤]一般形式的有兩個(gè)自變量的擬線性方程組，它的分量形式375特征線理論283762937730雙曲型方程的定義378雙曲型方程的定義313793238033雙曲、拋物和橢圓型方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)不同類型的方程，如雙曲、拋物、橢圓型方程具有不同的數(shù)學(xué)行為，對(duì)應(yīng)著不同的物理過(guò)程；因而，也應(yīng)采用不同的數(shù)值方法求解。381雙曲、拋物和橢圓型方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)不同類型的方程，如雙曲、拋物38235383363843738538386393874038841389423904339144流體力學(xué)方程組的其它類型392流體力學(xué)方程組的其它類型4539346394473954839649計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics397計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法§2.3差分格式的性質(zhì)§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析398第二章有限差分方法基礎(chǔ)§2.1有限差分方法概述51§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡(jiǎn)單構(gòu)造方法和求解過(guò)程。2.1.1基本方程和定解問(wèn)題方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構(gòu)成了一個(gè)適定的定解問(wèn)題。有限差分方法：對(duì)于一個(gè)偏微分方程，如果把方程中的所有偏導(dǎo)數(shù)近似地用代數(shù)差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，則可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個(gè)偏微分方程，進(jìn)而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。399§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導(dǎo)方程2.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏導(dǎo)數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個(gè)過(guò)程稱為求解域的離散化。

1.空間求解域的離散化把空間求解域分為M段（均勻剖分）

2.時(shí)間變量的離散化把感興趣的時(shí)間段(t=T之前)分為N段（均勻剖分），則時(shí)間方向的求解域可以劃分為4002.1.2求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化為了用有限差分

求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1求解域的離散化

3.解的離散表示目標(biāo)：求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上物理量u的近似解。401求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn)圖2.1

4.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代數(shù)形式。4024.導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代4035640457405582.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導(dǎo)數(shù)近似方法導(dǎo)致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用前差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。對(duì)初始條件和邊界條件的離散化式(2.1.9)~(2.1.12)稱為方程(2.1.1)的一個(gè)有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。4062.1.3差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時(shí)間方向用后差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。在研究數(shù)值方法時(shí)，通常把tn時(shí)刻的物理量視為已知量，而把tn+1時(shí)刻的物理量作為待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改寫成4072.BTCS(Backwarddifference2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式中，某一點(diǎn)的數(shù)值解只依賴于前一時(shí)間步的三個(gè)點(diǎn)，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點(diǎn)4082.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式的求解過(guò)程409FTCS格式的求解過(guò)程622.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時(shí)涉及到n+1時(shí)刻的多個(gè)未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式(implicitscheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點(diǎn)BTCS格式的求解過(guò)程4102.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTC41164412652.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問(wèn)題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程和定解條件4132.1.5用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問(wèn)題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程41467BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程415BTCS格式的求解過(guò)程FTCS格式的求解過(guò)程68§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析在上一節(jié)，我們得到了一階偏導(dǎo)數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導(dǎo)數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進(jìn)行分析。416§2.2導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析41770一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。418一般來(lái)講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的精度。419例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的2.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法4202.2.2導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法734217442275423762.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定義算子，一種前置運(yùn)算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運(yùn)算過(guò)程。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子——移位算子。移位算子的運(yùn)算規(guī)則為移位算子的下標(biāo)表示移位的方向，上標(biāo)表示移位的步數(shù)。4242.2.3導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：425差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中2.差分算子之間的關(guān)系4262.差分算子之間的關(guān)系79所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)。427所有的差分算子均可用Taylor展開式來(lái)估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)3.微分算子與差分算子的關(guān)系4283.微分算子與差分算子的關(guān)系814.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似公式。即：4294.導(dǎo)數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。430即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。83即：431即：845.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點(diǎn)越多。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)，一般需要5個(gè)點(diǎn)才能得到四階精度的差分近似。模板點(diǎn)數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復(fù)雜，也給邊界附近的處理帶來(lái)一定困難。緊致格式：用較少的模板點(diǎn)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的高階近似。4325.緊致格式從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差43386基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compactscheme)。434基于Pade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compac4358843689§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.向量范數(shù)437§2.3差分格式的性質(zhì)2.3.1范數(shù)的定義及性質(zhì)1.2.算子范數(shù)4382.算子范數(shù)91439922.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截?cái)嗾`差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。4402.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用4419444295如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向可達(dá)到二階精度，空間方向可達(dá)到四階精度。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向是一階精度，空間方向是二階精度。443如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方2.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的。定義中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成一個(gè)解向量，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的截?cái)嗾`差也構(gòu)成一個(gè)向量。因此，可以用向量范數(shù)來(lái)刻畫差分格式的局部截?cái)嗾`差。4442.3.3差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：以非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：FTCS格式：解向量記為：考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：4452.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形2.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整體截?cái)嗾`差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度4462.整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整4471003.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收斂的，那么，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格足夠密時(shí)，數(shù)值解將相當(dāng)接近精確解。差分格式的穩(wěn)定性等價(jià)于差分方程數(shù)值解的一致有界性。4483.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解449102上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)，整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差量級(jí)相同。450上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。當(dāng)差分451104Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分格式的收斂性比較困難，而穩(wěn)定性分析則比較簡(jiǎn)單。Lax定理告訴我們，在一定條件下，收斂性和穩(wěn)定性是等價(jià)的；通過(guò)穩(wěn)定性分析，即可確定差分格式的收斂條件。4.穩(wěn)定性的意義452Lax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法453§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法1064541074551084561094571102.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論4582.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論1114591124601134611144621154631164641174651184661194671202.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例4682.4.3穩(wěn)定性分析實(shí)例121469122470123471124472125473126474127475128476129477130計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics478計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第三章發(fā)展型模型方程的有限差分

和有限體積方法§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式§3.2拋物型模型方程——對(duì)流擴(kuò)散方程的

差分格式§3.3有限體積方法§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)479第三章發(fā)展型模型方程的有限差分§3.1一階線性對(duì)§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式討論雙曲型模型方程：一階線性對(duì)流方程線性對(duì)流方程的差分格式和流體力學(xué)中Euler方程的差分格式以及Navier-Stokes方程中對(duì)流項(xiàng)的差分格式有密切的關(guān)系，因此，掌握其差分格式的構(gòu)造方法具有非常重要的意義。本節(jié)中，介紹的差分格式構(gòu)造方法包括：基于導(dǎo)數(shù)逼近基于特征理論基于時(shí)間展開基于算子分裂480§3.1一階線性對(duì)流方程的差分格式討論雙曲型模型方程：一3.1.1基于導(dǎo)數(shù)逼近的差分格式構(gòu)造差分格式的最簡(jiǎn)單的方法。采用前差、后差和中心差等離散方法，直接近似微分方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

1.

Euler顯式格式時(shí)間方向：前差?？臻g方向：中心差。4813.1.1基于導(dǎo)數(shù)逼近的差分格式構(gòu)造差分格式的最簡(jiǎn)單的方

2.

Euler隱式格式時(shí)間方向：后差?？臻g方向：中心差。4822.Euler隱式格式時(shí)間方向：后差。空間方向：

3.蛙跳(Leap-Frog)格式時(shí)間方向：中心差分。空間方向：中心差分。4833.蛙跳(Leap-Frog)格式時(shí)間方向：中心在滿足穩(wěn)定性的條件時(shí)，放大因子等于1，格式具有零耗散，稱為中性穩(wěn)定的。

4.一階迎風(fēng)(upwind)和順風(fēng)(downwind)格式時(shí)間方向：前差?？臻g方向：前差或后差。Courant–Friedrichs–Lewy484在滿足穩(wěn)定性的條件時(shí)，放大因子等于1，格式具有零耗散，稱為中4851383.1.2基于特征線理論的差分格式，CFL條件特征性質(zhì)是雙曲型方程的重要特點(diǎn)。在構(gòu)造差分格式時(shí)，考慮微分方程的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)，有助于得到性態(tài)較好的差分格式。4863.1.2基于特征線理論的差分格式，CFL條件特征性質(zhì)是4871404881414891423.1.3基于時(shí)間展開的差分格式4903.1.3基于時(shí)間展開的差分格式1434911444921453.1.4基于算子分裂方法的格式4933.1.4基于算子分裂方法的格式1464941474951484961494971504981514991523.1.5邊界條件的數(shù)值處理5003.1.5邊界條件的數(shù)值處理153501154§3.2拋物型模型方程—對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式502§3.2拋物型模型方程—對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式1553.2.1求解域的離散和邊界條件的處理5033.2.1求解域的離散和邊界條件的處理1565041573.2.2差分格式5053.2.2差分格式1585061595071605081613.2.3近似因式分解方法5093.2.3近似因式分解方法1625101635111645121655131663.2.4多維問(wèn)題差分格式的穩(wěn)定性分析5143.2.4多維問(wèn)題差分格式的穩(wěn)定性分析167515168§3.3有限體積方法3.3.1積分型守恒方程516§3.3有限體積方法3.3.1積分型守恒方程1693.3.2空間控制體5173.3.2空間控制體1703.3.3有限體積方法的全離散形式5183.3.3有限體積方法的全離散形式1715191725201735211745221753.3.4有限體積方法的半離散形式5233.3.4有限體積方法的半離散形式176524177525178526179§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)3.4.1修正方程527§3.4差分格式數(shù)值解的性質(zhì)3.4.1修正方程1805281815291823.4.2差分格式的耗散和頻散5303.4.2差分格式的耗散和頻散183531184532185533186534187535188536189537190538191計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComputationalFluidDynamics539計(jì)算流體力學(xué)引論TheElementsofComput第五章可壓縮流動(dòng)數(shù)值模擬概述§5.1控制方程§5.2激波間斷和廣義解§5.3激波捕捉方法§5.4有限差分和有限體積方法§5.5Navier-Stokes方程中黏性項(xiàng)的離散§5.6時(shí)間步長(zhǎng)的計(jì)算§5.7邊界條件的處理540第五章可壓縮流動(dòng)數(shù)值模擬概述§5.1控制方程193§5.1控制方程541§5.1控制方程1945421955431965441975451