2導(dǎo)熱基本定律和穩(wěn)態(tài)修改

1、1二、 葉定律時間內(nèi)通過 截面積所傳遞的熱量，正比于 當(dāng)?shù)卮怪庇诮孛娣较蛏系臏囟茸兓?，方向指向溫度降低的方向，即q = -lgradt= - l ¶t n¶nqqz kgrad t 空間某點的溫度梯度；n 通過該點的等溫線上法向矢量；該處的熱量密度矢量；* 熱導(dǎo)率 W/(m.K)。2009-10-12傳熱學(xué)64. 熱流量時間內(nèi)，經(jīng)由面積A的傳遞熱量稱為傳熱量，用 F表示，W。5. 熱流密度面積的熱流量稱為熱流密度，W/m2。2009-10-12傳熱學(xué)53. 溫度梯度溫度在法線方向的變化率稱為溫度梯度grad t = n lim Dt = n ¶tDn®

2、0 Dn¶nn是等溫面法線方向上的 矢量。溫度梯度是等溫面法線方向上的溫度變化率與法線方向上溫度矢量的乘積。溫度變化率是標(biāo)量；溫度梯度是矢量，指向溫度增加的方向。grad t = ¶t i + ¶t j + ¶t k¶x¶y¶z式中，i、j 和k分別是 x 、y 和 z 軸方向的矢量。2009-10-12傳熱學(xué)4金屬部件內(nèi)的等溫線80706050403020100010203040506070802009-10-12傳熱學(xué)3三維非穩(wěn)態(tài)溫度場t = f ( x, y, z,t )非穩(wěn)態(tài)溫度場 二維非穩(wěn)態(tài)溫度場t = f ( x

3、, y,t )溫度場一維非穩(wěn)態(tài)溫度場t = f ( x,t )三態(tài)溫度場t = f ( x, y, z)穩(wěn)態(tài)溫度場 二態(tài)溫度場t = f ( x, y)態(tài)溫度場t = f (x)2. 等溫線、等溫面溫度場中同一瞬間同溫度各點連成的面稱為等溫面。在任何一個二維的截面上等溫面表現(xiàn)為等溫線。2009-10-12傳熱學(xué)2第二章導(dǎo)熱基本定律和穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱是在溫度差作用下依靠物質(zhì)內(nèi)部的微觀運動進行的能量傳遞。2-1 導(dǎo)熱的基本定律和熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）一、溫度場和溫度梯度1. 溫度場 某一瞬間物體內(nèi)各點的溫度分布稱為溫度場?？杀硎緸閠 = f (x, y, z,t )2009-10-12傳熱學(xué)12保溫保冷材

4、料的分類分類狀多孔狀層 狀 無機有機無機有機金屬人造人造人造人造天然天然人造人造人造材料及制品形狀200石棉陶瓷纖維玻璃纖維礦渣棉軟木塞硅藻土珍珠巖蛭石硅酸鈣輕質(zhì)耐火材料泡沫玻璃泡沫酚醛樹脂泡沫聚氨乙烯泡沫聚苯乙烯泡沫聚氯乙烯它鋁金板屬或箔其板、筒、帶、繩9-10氈、筒、帶、繩-12氈、筒、帶、繩氈、筒、帶、繩板、粒粉粒、塊粉粒、塊板、筒、傳熱塊學(xué)塊、板、筒、塊、板、筒、塊、板、筒、塊、板、筒、塊、板、筒、薄由板鋁制板成或的其夾它層金1屬2直徑為5m的棉在20時的表觀熱導(dǎo)率0.05l / W/m.K0.04a固體中的導(dǎo)熱；0.03b輻射傳熱；c氣相傳熱；0.02d表觀熱導(dǎo)率。0.0103060

5、902009-10-12傳熱學(xué) r / éëkg/m3 ùû 11dcbal 保溫材料（GB4272- 92）凡平均溫度不高于350 時熱導(dǎo)率不大于0. 12W/( m. K ）的材料稱為保溫材料。l 保溫材料熱導(dǎo)率小的 是：骨架間的空隙和孔腔內(nèi)含有熱導(dǎo)率較小的介質(zhì)；這些介質(zhì)在保溫材料中 或不 。l 一般來說，表觀密度越小，這些材料所含低熱導(dǎo)率介質(zhì)越多，材料的熱導(dǎo)率越小。但密度太小，孔隙變 大，對流傳熱和輻射傳熱的作用增強，熱導(dǎo)率反而增加。2009-10-12傳熱學(xué)102）多孔材料的密度多孔材料的熱傳遞的機理是：骨架和骨 隙內(nèi)的介質(zhì)的導(dǎo)熱、對流和輻射共同

6、作用，其熱導(dǎo)率稱為表觀熱導(dǎo)率，習(xí)慣上也稱為熱導(dǎo)率。多孔材料表觀密度的不同關(guān)系到孔隙內(nèi)部流體的傳熱機理和骨架間的傳熱機理，從而會影響表觀熱導(dǎo)率。abc2009-10-12傳熱學(xué)9三、熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）熱導(dǎo)率是材料固有的熱物理性質(zhì)，表示物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小。1. 影響熱導(dǎo)率的因素1）狀態(tài)、成分、結(jié)構(gòu)狀態(tài) ( 氣態(tài)、液態(tài)和固態(tài))物質(zhì)在三種相態(tài)中其熱導(dǎo)率的大小是：氣態(tài)時熱導(dǎo)率最小，液態(tài)次之，固態(tài)時最大。如： 0. 0183W/(m. K) 、0. 55W/ ( m. K) 、2. 22W/ ( m. K) 。三相點下的冰、水蒸氣的熱導(dǎo)率。成分 金屬的熱導(dǎo)率大于非金屬，純金屬的熱導(dǎo)率大于其合金。結(jié)構(gòu) 同一

7、種物質(zhì)，晶體時的熱導(dǎo)率大于非晶體時的熱導(dǎo)率。2009-10-12傳熱學(xué)8溫度梯度與熱流密度矢量gradtt + DtdAtt - Dtqq = -lgradtq = dFdA等溫線與熱流nt + DtdAtqt - Dt等溫線熱流2009-10-12傳熱學(xué)73按照從前的思路，從體入手可能是一條正確的道路F z + dzFy + dyzF xF x + dxF yyF zOx2009-10-12傳熱學(xué)182-2 導(dǎo)熱微分方程和條件一、熱傳導(dǎo)方程盡管根據(jù)葉定律q = -lgradt我們知道了溫度場中任意一點的熱流密度與物體的熱導(dǎo)率和溫度梯度的關(guān)系，但是如果不知道溫度分布， 我們還是無法知道物體中的

8、熱量傳遞規(guī)律。那么，什么方法能夠幫助我們獲得溫度梯度的信息呢？換言之，怎樣才能知道溫度場的信息呢？有沒有確定溫度分布的一般方法呢？2009-10-12傳熱學(xué)174）含水率多孔材料很容易吸收水分。吸水后，由于熱導(dǎo)率較大的 水代替了熱導(dǎo)率較小的介質(zhì)（如空氣等），且在溫度梯度的推動下引起水分遷移，使多孔材料的表觀熱導(dǎo)率增加。如，礦渣棉含水10. 7%時熱導(dǎo)率增加25%，含水23. 5% 時熱導(dǎo) 率增加500%。例: 露天保溫管道和保溫的設(shè)備外包保護層。2009-10-12傳熱學(xué)16òt2 l (1+ bt )dt0平均熱導(dǎo)率 l = t1t2 - t1= l0 é(t - t )

9、 + b (t2 - t1 ) (t2 + t1 ) ùt - t ê 2 12ú2 1 ëû則l = l æ1+ b t2 + t1 ö0 ç2 ÷èø而熱導(dǎo)率 l = l0 (1+ bt )比較后可知，平均熱導(dǎo)率等于平均溫度下的熱導(dǎo)率。2009-10-12傳熱學(xué)15與 t 的關(guān)系ll = l0 (1+ bt )l = f (t)l (0)l0t1t2 t2009-10-12傳熱學(xué)143) 溫度400銅200鋁溫度對熱導(dǎo)率的影響100鋅60低碳鋼如右圖。鈉鋅合金鋼鉀20工程上為方便使

10、用，10高碳合金鋼鉛6.0習(xí)慣將一定溫度范圍鎂磚2.0冰內(nèi)的熱導(dǎo)率與溫度的1.0硅磚0.6的關(guān)系近似回歸水0.2線表示0.1硅藻土0.06l = l0 (1+ bt )空氣0.02甲烷苯0.01碳酸氣2009-10-120.006 傳熱學(xué)13-150-50 0200600 1000 15004整理能量平衡關(guān)系式得-DFx - DF y - DFz + DFV = DU¶ æ l ¶t ö dydzdx + ¶ æ l ¶t ö dxdzdy + ¶ æ l ¶t ö dxdy

11、dz¶x ç ¶x ÷¶y ç ¶y ÷¶z ç ¶z ÷èøèøèø+F dxdydz = rc ¶t dxdydzv¶trc ¶t = ¶ æ l ¶t ö + ¶ æ l ¶t ö + ¶ æ l ¶t ö +F ¶t ¶x ç &#

12、182;x ÷ ¶y ç ¶y ÷ ¶z ç ¶z ÷vèøèøèø這 迪坐標(biāo)中導(dǎo)熱微分方程的一般形式，其中Fv , r , c, l 均可以是變量。2009-10-12傳熱學(xué)24F = -l ¶t dydz üF= F) üx¶xïx +dxxïﶶtïF = -l ¶t dxdzïF= F + (-l dxdz)dy

13、39;y¶yýy +dyy ¶y¶yýïïF = -l ¶t dxdy ïF= F + ¶ (-l ¶t dxdy)dz ïz¶zïz+ dzz ¶z¶zïþþDF = F- F =-üx x +dxxﶶtïDF = F- F =-(l)dxdzdyïy y+ dyy¶y¶yýïDF = F- F =-

14、¶ (l ¶t )dxdydz ïz z+ dzz¶z¶zïþ2009-10-12傳熱學(xué)23F z+dzFy +dy通過三個表面zx + dx, y + dy, z + dzFxF x +dx導(dǎo)出體的熱流量也可按F yyF z定律寫出xFdF = F¶Ftx dxF= F + d F = F + ¶F y dy = F + ¶ (-l ¶t dxdz)dy (2)y+dyyyy¶yy ¶y¶yF= F + dF = F + ¶Fz dz = F

15、+ ¶ (-l ¶t dxdy)dzz+dz 10-12 zzz¶zz ¶z¶z222009-傳熱學(xué)時間內(nèi)導(dǎo)入導(dǎo)出體內(nèi)能的增量通過 x 、y、z 三個表面導(dǎo)入體的熱流量，可根據(jù)葉定律寫出F z+dzF¶ty +dyFx = qx dydz = -l dydzz¶xF xF x +dxF = -l ¶ty qy dxdz¶y dxdzF yyF z¶tFz = qzdxdy = -l ¶z dxdyx2009-10-12傳熱學(xué)21DU = DFcd + DFVF z + dzFy + d

16、y zF xF x + dx F yyF zOx時間體內(nèi)熱源的生成熱 Fvdxdydz(3)時間內(nèi)體內(nèi)能的增量DU = Dm ¶u = Dmc ¶t = rcdV ¶t = rc ¶t dxdydz （4）2009-10-12¶t¶t 傳熱學(xué)¶t¶t20F z + dzFy + dy 對于體，按能z量守恒定律，在單F xF x + dx 位時間內(nèi)有以下熱FyyFz平衡關(guān)系式Ox傳入系統(tǒng)的總能量從系統(tǒng)傳出的總能量系統(tǒng)內(nèi)熱源生成熱或?qū)懗审w內(nèi)能的增量= 導(dǎo)入導(dǎo)的凈能量體內(nèi)熱源的生成熱2009-10-12傳熱學(xué)19儲存能變

17、化5一維圓柱坐標(biāo)系rc ¶t = 1 ¶ (lr ¶t ) + F¶tr ¶r¶rV一維圓球坐標(biāo)系rc ¶t = 1 ¶ (lr 2 ¶t ) +F ¶t r2 ¶r¶rV常用的形式rc ¶t = 1 ¶ æ l ¶(rt) ö + F¶t r ¶r ç¶r ÷Vèø2009-10-12傳熱學(xué)30圓柱坐標(biāo)系(Cyl indrical coordinates

18、)rc ¶t = 1 ¶ (lr ¶t ) + 1 ¶ (l 1 ¶t ) + ¶ (l ¶t ) +F ¶tr ¶r¶rr ¶fr ¶f¶z¶zV圓球坐標(biāo)系(spheri cal coordinates )rc ¶t = 1 é ¶ (lr 2¶t¶¶t¶1 ¶t ù¶t 2êsinq ) +(l sinq ) + (l) ú + FV

19、si¶q¶q ¶f sinq ¶f û常用的形式rc ¶t = 1 ¶ (lr 2 ¶t ) + 1¶ (l sinq ¶t ) + 1 é ¶ (l ¶t )ù +F ¶t r 2 ¶r¶r r 2 sin ¶qrq ê¶f ¶f ú Vëûrc ¶t = 1 ¶ él ¶(rt) ù + 1¶

20、(l sinq ¶t ) + 1 é ¶ (l ¶t )ù +F ¶t r ¶r êë ¶r úû r2 sin ¶qrq ê¶f ¶f úVëû2009-10-12傳熱學(xué)29常物性、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱¶2t + ¶2t + ¶2t + F =(8) v 0¶x2 ¶y2 ¶z2 l數(shù)學(xué)上稱為泊桑（Poi sson ）方程，是常物性、穩(wěn)態(tài)、三維且有內(nèi)熱源的溫

21、度場方程。常物性、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱¶2t + ¶2t + ¶2t =(9)¶x2 ¶y2 ¶z20對于圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)的導(dǎo)熱問題，采用類似的分析方法也可以得到相應(yīng)坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程。2009-10-12傳熱學(xué)28導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)可簡化成¶t = æ ¶2t + ¶2t + ¶2t ö + Fa ç÷ v （6）¶tè ¶x2 ¶y2 ¶z2 ø rc式中，a = l 稱為熱擴散系數(shù)或?qū)叵禂?shù)。

22、rc物體內(nèi)無內(nèi)熱源、導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)¶t = æ ¶2t + ¶2t + ¶2t ö（7）¶t a ç ¶x2 ¶y2 ¶z 2 ÷èø這就是常物性、無內(nèi)熱源的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程。2009-10-12傳熱學(xué)27ìq = -l gradtïíïrc ¶t = Ñ · (-q) +F î¶tvrc ¶t = ¶ æ l ¶t &#

23、246; + ¶ æ l ¶t ö + ¶ æ l ¶t ö +F ¶t¶x ç¶x ÷¶y ç¶y ÷¶z ç¶z ÷vèøèøèø2009-10-12傳熱學(xué)26rc ¶t = ¶ æ l ¶t ö + ¶ æ l ¶t ö + 

24、2; æ l ¶t ö +F ¶t ¶x ç ¶x ÷ ¶y ç ¶y ÷ ¶z ç ¶z ÷vèøèøèøq = -l gradt = -l ( ¶t i + l ¶t j + ¶t k)¶x¶y¶zqqzk¶t q = -l ¶t¶yz¶zrc ¶t = ¶

25、; (¶ q ) + ¶ ( -q ) +F ¶t ¶x¶yy ¶zzvÑ = ¶ i + ¶ j + ¶ k¶x ¶y¶zrc ¶t = Ñ · (-q) +F ¶tv2009-10-12傳熱學(xué)2562. 多層平板的一態(tài)導(dǎo)熱多層壁也被稱為復(fù)合壁，是由幾種不同材料疊在一起組成 的。 通過各層的熱流密度為2qtq = t1 - t2 = t1 - t2t11 d lR1 11q = t2 - t3 = t2 - t3 2 d l

26、Rt42 22q = t3 - t4 = t3 - t43 d lR3 330x分熱阻： R = d1 ,R = d2 ,R = d31 l2 l3 l123與電學(xué)類比可知，串熱阻等于各分熱阻之和，即2009-10-12傳熱學(xué)36l1t2Fl2t2l3d1d 2d3溫度梯度dt = t2 - t1( 6)dxd熱流密度q = -l dt = -l t2 - t1( 7）dxd如果與電路類比t1t2( ) 式也可寫成q = Dt = Dtd lRd 和 d 分別導(dǎo)熱面積為一個時和A時的導(dǎo)熱熱阻。ll A2009-10-12傳熱學(xué)35Rì x = 0 t = tì t1 = C

27、2(3)1ï代入邊界條件 íx = d t = t 得ít2 - t1î2ïC1 = d(4)î將( 3)(4) 代入(2) 式，得溫度分布函數(shù)t = t2 - t1 x + t(5)d1dtt - t溫度梯度= 21(6)dxd將溫度梯度代入葉定律，可得熱流密度q = -l dt = -l t2 - t1(7)dxd2009-10-12傳熱學(xué)342-3 通過及圓筒壁的一態(tài)導(dǎo)熱一、通過的導(dǎo)熱1. 單層t平板兩個表面的溫度t1，t2 , 平板厚 d m，t1無內(nèi)熱源的一態(tài)導(dǎo)熱微分方程為d 2t =dx2 0qt2邊界條件為ì

28、x = 0 t = t1dxíîx = d t = t2d對此進行一次不定dt = C(1)0xdx1二次不定t = C1 x + C2(2)2009-10-12傳熱學(xué)33三、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍 于一般工程技術(shù)中發(fā)生的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，常常熱流密度不高，而過程經(jīng)歷的時間又足夠長，定律和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程式是完全可以適用的。 但在近年來發(fā)展起來的高新技術(shù)中，有時會遇到在極短 時間內(nèi)（如 10-8 10-10）內(nèi)產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如激光 過程，就不能用上述方程來描述。 . 另外，對于極低溫度（接近）時的導(dǎo)熱問題也不適用。這類問題稱為非導(dǎo)熱問題。2009-10-12

29、傳熱學(xué)32二、導(dǎo)熱微分方程條件（）. 第一類邊界條件 規(guī)定了邊界上的溫度值tw = 常數(shù), 或 t > 0 時，tw = f (t )。（）. 第二類邊界條件 規(guī)定了邊界上的熱流密度值如 qw =常數(shù); 或非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，t > 0 時,q = -l æ ¶t ö = g (t )wç ¶n ÷è øw（）. 第三類邊界條件規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間表面對流換熱系數(shù) 及周圍流體的溫度（實際上是邊界的熱平衡條件）。第三類邊界條件可寫成 -l æ ¶t ö = h(t - t )

30、ç ¶n ÷w fè øw2009-10-12傳熱學(xué)317二、通過圓筒壁的導(dǎo)熱1. 單層圓筒壁tw1此問題可看成是r1ta. 端面絕熱或 L ? d ;w2r1b. 內(nèi)外表面均為等溫面；c. = 常數(shù)；d. 溫度 t = f (r) 的一態(tài)溫度場。d 2t + 1 dt =圓柱坐標(biāo)下的一維熱傳導(dǎo)方程0dr 2 r dr邊界條件：ìr = r1 t = tw1ír = r t = tî2w22009-10-12傳熱學(xué)42解（1）熱流密度ttt t123 4F Dt鋼板q = = 44 d A Rl2 l3=1600

31、- 80= 2000W/(m × K)30.460 + 0.23 + 0.005dd d1.85 0.454012 3（2）界面溫度t2由 q = t1 - t2得t = t - q d1d2 1l 11l1t = 1600 - 2000 ´ 0.460 = 1102.721.85t2 < 1300 ，在安全使用溫度范圍內(nèi)。2009-10-12傳熱學(xué)41 l1l土磚 l2硅磚已知： d1 = 460mm,d 2 = 230mm, d3 = 5mmt1t2t3 t4鋼板l1 = 1.85W/(m ×K),l2 = 0.45W/(m ×K),l3 =

32、40W/(m×K)3t1 =1600，t4 = 80求： q = ?t2 = ?123解 （1）熱流密度q = F = Dt4 4A Rd l2 l3=1600 - 80= 2000W/m20.460 + 0.23 + 0.0051.85 0.45402009-10-12傳熱學(xué)40 l1l土磚 l2ddd硅磚例題2-4 某加熱爐爐墻由厚460 mm的GZ-94硅磚、厚230mm的QN-1.0輕質(zhì)土磚和厚5mm的鋼板組成，爐墻內(nèi)表面的溫度為1600，外表面的溫度為80。三層材料的熱導(dǎo)率分別為1.85W/(m.K)、0.45W/(m.K)和40W/(m.K)。已知QN-1.0輕質(zhì)土磚最高

33、使用溫度為1300，墻散熱的熱流密度，并確定QN-1.0輕質(zhì)土磚是否在安全使用溫度范圍內(nèi)。已知：d1 = 460mm,d2 = 230mm,d3 = 5mmttt t123 4l = 1.85W/(m ×K),鋼板1l2 = 0.45W/(m ×K),l3 = 40W/(m×K)3t1 =1600，t4 = 80求： q = ? t2 = ?12 d32009-10-12傳熱學(xué)39 l1l土磚 l2dd硅磚顯然，對于組合平板的每一層都可看成是一單平板，其內(nèi)部的溫度與厚度呈線性關(guān)系。不同的材料，直線的¶tq斜率 ¶x =- 不等。l¶t

34、1當(dāng) q 為定值時， ¶x µ l ，平板材料的熱導(dǎo)率越大，溫度曲線的斜率愈平緩；平板材料的熱導(dǎo)率越小，溫度曲線的斜率愈陡。2009-10-12傳熱學(xué)38tR1t2R2tR3t與電路類比 134總熱阻R = å Ri = R1 + R2 + R3熱流量F = A Dt = A t1 - t4RR1 + R2 + R3熱流密度q = F = Dt = t1 - t4A R R1 + R2 + R3q 就可得到各接觸面上的溫度t2 = t1 - qR1;t3 = t2 - qR2 ; t3 = t4 + qR3 ;n層平板有其中， R = di i li2009-10

35、-1237q = t1 - tn+1 nå Rii =1傳熱學(xué)8傳熱面積 A傳熱量 F = AhDt傳熱面積A + DA傳熱量F¢ = ( A + DA) hDtt¥傳熱面積A + 2DA2DDAAt傳熱量F¢¢ = ( A + 2DA) hDt0A AAA傳熱面積A + HPH傳熱量 F = ( A + HP) hDt02009-10-12傳熱學(xué)48d討論：傳熱過程的增強措施 t - t 傳熱量 F=f 1 f 2t f 1 1 + d + 1 h1 A l A h2 AFt f 1,t f 2 不變，如何增大傳熱量 F­ ?t f

36、 2F­ 就要使 1 + d + 1 減小h1 A l A h2 A 方法： h1 ­, h2 ­, d ¯, l ­,A ­ .2009-10-12傳熱學(xué)47多層圓筒壁的導(dǎo)熱量計算式F = tw1 - twn+1 = tw1 - twn+1nRå 1 ln ri+1i=1 2pliri多層圓筒壁常見的問題：1. 求熱流量；2. 求某層的壁溫；3. 求某層的厚度；4. 選擇保溫材料（熱流量已知）；5. 保溫層的放置順序（內(nèi)、外）。2009-10-12傳熱學(xué)46通過一個長度的熱流量q = F = tw1 - tw2 = tw1

37、 - tw2LL1 ln r2R2plr1一個長度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻R = 1 ln r22plr1同理，多層圓筒壁的導(dǎo)熱F = tw1 - twn+1 = tw1 - twn+1 nRå 1 ln ri+1i=1 2pliri2009-10-12傳熱學(xué)45t - tr溫度分布為t = tw1 + w2 r w1 ln ln 2r1r1dt C ' 1 t - t溫度梯度= w2 r w1r1drrr ln 2 r1q = -l dt ，得由葉定律drq = -l 1 tw2 - tw1熱流密度r ln r2r11 t - t通過長度的熱流量F = qF = q2p rL =

38、-2p rLl w2 w1r ln r2 r1F= tw1 - tw2 習(xí)慣上，熱流量寫成1 ln r2 2plL r12009-10-12傳熱學(xué)44r2d 2t + 1 dt =這是一個線性齊次微分方程。dr 2 r dr 0d æ dt ö1 dtt用分離變量法，有dr ç dr ÷ =- r drè ø不定1 æ dt ö1tw2ò dt drd ç dr ÷ =-ò rdrè ø得ln dt = -ln r + ln C = ln C1 或 dt

39、= C1 dr1rdrr定，得 t = C ln r + Cìr = r1 t = tw112 代入邊界條件íîr = r2 t = tw2C = tw1 - tw2 , C = t - tw1 - tw2 ln r得1ln r2 w1ln r1 11 r2r22009-10-12傳熱學(xué)43tw19將（5）式代入（4）式，得22-l d t Adx + F = -l d t dx + hPdx(t - t ) = 0dx2cdx2 A¥d 2t hP或2 =(t - t¥ )（）dxl A這是一個關(guān)于溫度t 的齊次常微分方程。為了求解方便，引入

40、過余溫度q = t - t¥ ，并令 hP = m2，就使(6) 式l A變成為一個齊次方程。這樣可得研究問題的完整數(shù)學(xué)描述。d 2肋片熱傳導(dǎo)方程= 0（）dx邊界條件= 0d = 02009-10-12傳熱學(xué)54假定：溫度僅沿長F0d度方向變化。t,qHx2009-10-12傳熱學(xué)53qt0dqq0FcFxFx + dxxdxH從周界面上與周圍流體的換熱量dFc = hPdx(t - t¥ )（）式中,t x 處肋的溫度；t¥ 周圍流體的溫度。依熱力學(xué)第一定律建立該體的能量平衡方程Fx = Fx+dx + dFc即dFx + dFc = 0（）F = q A =

41、 -l dt A由葉定律知xxdxd ædt öd 2t d Fx = dx ç -l dx A÷ dx = -l dx2 Adx（）èø2009-10-12傳熱學(xué)52取一體。其截面積為A，周線長度為P，對流換熱面積為。dFc分析：FxF從左側(cè)面導(dǎo)入體的熱流量Ax + dxF = -l ¶t A周線 Px¶x從體右側(cè)導(dǎo)出的熱流量F= Föx+dxx從周界面上與周圍流體的換熱量dFc = hPdx(t - t¥ )2009-10-12傳熱學(xué)51tdx2-4 通過延伸體的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析一、等截面直肋的

42、導(dǎo)熱通過肋片的導(dǎo)熱特點：t¥在肋片延伸的方向上d有表面的對流換熱，這樣使肋中的溫度沿L 長度方向和寬度方向t0上都是變化的。2009-10-12傳熱學(xué)50 H 問題：延伸體內(nèi)的溫度等于根部的溫度嗎？如果不等于根部的溫度延伸體的傳熱量如何計算？最大傳熱量t¥F = ( A + HP) hDt2DDAA0t0AAAA實際傳熱量F < F0dF肋效率h f = FH0下面的任務(wù)：x計算出加了延伸體肋之后的傳熱量。2009-10-12傳熱學(xué)4910肋片效率h =肋片的實際散熱量= Ff 肋片全部處于根部溫度下的散熱量 F0= hAf (tm - t¥ ) = tm

43、- t¥ hAf (t0 - t¥ ) t0 - t¥對于等截面直肋h = l Aq0m th(mH ) = th(mH )fhPH (t - t )mH0 f在實際計算中，肋片的端部邊界條件應(yīng)該是第三類邊界條件，所以把端面的面積折算成當(dāng)量長度來處理，取H = H + AcP帶入前面的計算公式進行計算。2009-10-12傳熱學(xué)60將上式代入定律，得端部散熱的肋散熱量th(mH ) + hF = -l A dq= l Aq mml dx0Hx =01+th(mH )ml運用類似的方法可得肋端部散熱時的溫度分布chm(x - H ) + H sh m(H - x)=

44、 qml0Hch(mH ) +sh(mH )ml2009-10-12傳熱學(xué)59上面得到的結(jié)論對于任何形狀的等截面直肋的幾何 、與 周圍流體的傳熱系數(shù)、流體的溫度、肋根部的溫度為已知時就可能使用。此式可以算出：a. 距根部 x 處的溫度；b. 傳熱量等。工程上遇到的肋片端部往往散熱。這一類肋端部邊界條件為 -l dq= h q，其中 hH 為端部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。dxH Hx= H 通常認(rèn)為，端部的 hH = h 。2009-10-12傳熱學(xué)58sh(mH )q 0 (-m)= -q 0mth(mH )（12）dx x=0ch(mH )將（12）式代入熱傳導(dǎo)方程（）F = F = -l A dq=

45、-l Aq mth(mH )x=0dx0x=0= 1 hPq0 th(mH )（13）hPl AF = hPq 0 th(mH )m與沒有肋的時候相比F = l Aq0m th(mH ) = lm th(mH ) = lP th( hP H )F0hA(t0 - t f )hhAl A2009-10-12傳熱學(xué)57將（）式代入（8）式mH= q e-mH emx + emH e-mx+ e0emH + e-mHmx + 2mH - mx = q chm( x - H )特解（10）1+ e0 ch(mH )令 x = H , 即可得出肋端的溫度的計算式。因 ch0=1 , 所以得q0 (mH

46、)（11）由肋片散到外界的全部熱量都必須通過x = 0 處的肋根截面q (-m) sh(mH ) = -q mth(mH )（12）dx0ch(mH )0x=02009-10-12傳熱學(xué)56肋片熱傳導(dǎo)方程（）dx邊界條件= 0dq = 0（）式是一個線性齊次常微分方程，其通解為q = C emx + C e-mx（）12其中 C1 , C2 由兩個邊界條件確定，即C + C = q ,C memH - C me-mH = 012012整理兩式得q emH ü 02 e H + e-mH ïq e- mHý（）0ï1+e H + e-mH ï&#

47、254;2009-10-12傳熱學(xué)55討論：對延伸體導(dǎo)熱邊界條件的分析¶2t ¶2t ¶2t¶x2 + ¶y2 + ¶z2 = 0微分方程¶tx = 0, t = t0 其它 - l ¶n = h(t - t¥ )邊界條件¶t將后面一個條件無因次化，例如對-l ¶y = h(t - t¥ )q = t - t¥ ,y = y令則經(jīng)過處理得t0 - t¥dt¥d¶q hd-=q¶ yl無因次量 hdlL越小，顯然上式左邊的溫度變

48、化率t0就越小，在延伸體厚度方向的溫度就越均勻。2009-10-12傳熱學(xué)6511討論：對延伸體導(dǎo)熱的完整描述與邊界條件的分析定義畢奧數(shù) Bi = hdBi 是一無因次量l其意義可理解為物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與邊界對流傳熱熱阻的相對大小d1導(dǎo)熱熱阻 Rcd = l ; 對流傳熱熱阻 Rcv = h兩者的相對大小dhd l R h éëW/(m2 × K)ùû d mBi = = cd= 無因次量l1 Rcvl W/(m×K)h上面得到的公式對于 Bi < 0.1 的等截面直肋具有很好的精度。2009-10-12傳熱學(xué)66 H 例題2- 9 在對流傳熱實驗中壁面等溫線。試分析如何正確用熱電偶測量壁面溫度。（a）（b）L > 20d（c）（d）2009-10-12傳熱學(xué)64不考慮端部散熱時的誤差74.56 - 70.57 ´100% = 5.35%74.56l Aq0m th(mHc )74.56肋效率 h f =hPH q= 12 ´1.612 ´ 0.053´(95 - 20) = 0.970c 0與無肋時相比