隨機變量的數字特征

1、第4章 隨機變量的數字特征一、基本要求1、考試大綱要求理解隨機變量的數字特征（數學期望、方差，標準差、矩、協(xié)方差、相關系數）的概念，并會運用數字特征定義和基本性質計算具體分布的數字特征；掌握常用分布（二項分布、超幾何分布、泊松分布、一維和二維均勻分布、指數分布、一維和二維正態(tài)分布）的數字特征（解題時可以直接利用這些數字特征）2、會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據二維隨機變量的概率分布求其函數的數學期望3、理解有關數字特征的概率意義，例如，對于指數分布，“平均無故障工作的時間”或“平均等待時間”可以理解為相應時間的數學期望二、內容提要 數學期望 表征隨機變量取值的平均水平、“中心

2、”位置或“集中”位置1、數學期望的定義 (1) 定義 離散型和連續(xù)型隨機變量X的數學期望定義為 其中表示對X的一切可能值求和對于離散型變量，若可能值個數無限，則要求級數絕對收斂；對于連續(xù)型變量，要求定義中的積分絕對收斂；否則認為數學期望不存在(2) 隨機變量的函數的數學期望 設為連續(xù)函數或分段連續(xù)函數，而X是任一隨機變量，則隨機變量的數學期望可以通過隨機變量X的概率分布直接來求，而不必先求出的概率分布再求其數學期望；對于二元函數，有類似的公式： 2、數學期望的性質 (1) 對于任意常數c，有(2) 對于任意常數，有(3) 對于任意，有(4) 如果相互獨立，則 方差和標準差 表征隨機變量取值分散

3、或集中程度的數字特征1、方差的定義 稱為隨機變量X的方差，稱為隨機變量X的標準差隨機變量X的方差有如下計算公式： (4.3)2、方差的性質 (1) ，并且當且僅當（以概率）為常數；(2) 對于任意實數，有；(3) 若兩兩獨立或兩兩不相關，則 協(xié)方差和相關系數 考慮二維隨機向量，其數字特征包括每個變量的數學期望和方差，以及和的聯(lián)合數字特征協(xié)方差和相關系數1、協(xié)方差和相關系數的定義 (1) 協(xié)方差 隨機變量和的協(xié)方差定義為， 其中(2) 相關系數 隨機變量X和Y的相關系數定義為 2、協(xié)方差的性質 設隨機變量和的方差存在，則它們的協(xié)方差也存在(1) 若和獨立，則；對于任意常數c，有(2) (3) 對

4、于任意實數a和b，有(4) 對于任意隨機變量，有(5) 對于任意和，有(6) 對于任意和，有3、相關系數的性質 相關系數的如下三條基本性質，決定了它的重要應用設和的相關系數，(1) (2) 若和相互獨立，則=0；但是，當=0時和卻未必獨立(3) 的充分必要條件是和（以概率）互為線性函數三條性質說明，隨著變量和之間的關系由相互獨立到互為線性函數，它們的相關系數的絕對值從0增加到1，說明相關系數可以做兩個變量統(tǒng)計相依程度的度量4、隨機變量的相關性 假設隨機變量和的相關系數存在若= 0，則稱和不相關，否則稱和相關(1) 若兩個隨機變量獨立，則它們一定不相關，而反之未必；(2) 若和的聯(lián)合分布是二維正

5、態(tài)分布，則它們“不相關”與“獨立”等價 矩 在力學和物理學中用矩描繪質量的分布概率統(tǒng)計中用矩描繪概率分布常用的矩有兩大類：原點矩和中心矩數學期望是一階原點矩，而方差是二階中心矩1、原點矩 對任意實數，稱為隨機變量的階原點矩，簡稱階矩原點矩的計算公式為： 2、中心矩 稱為隨機變量的階中心矩 切比雪夫（切貝紹夫）不等式 設隨機變量的數學期望和方差都存在，則對于任意，有 三、典型例題及其分析例 表示同時需要調整的部件數，試求的數學期望和方差.【思路】 關鍵是求出的分布律，然后用定義計算.【解】 引入事件： 根據題設，三部件需要調整的概率分別為 由題設部件的狀態(tài)相互獨立，于是有 于是的分布律為X012

6、3P 0.5040.3980.0920.006從而 故 【解畢】【技巧】 本題的關鍵是引入事件，將的分布律求出，因此，可以發(fā)現求期望和方差的難點轉到了求的分布.同時，方差的計算一般均通過公式來進行.例 對目標進行射擊，直到擊中目標為止.如果每次射擊的命中率為，求射擊次數的數學期望和方差.【解】 由題意可求得的分布律為于是 為了求級數的和，我們利用如下的技巧：由于對此級數逐項求導，得 因此 從而 為了求,我們先求.由于 為了求 得值，注意到 從而因此 【寓意】 本題實質上是求幾何分布的數學期望和方差.本題的主要技巧是利用了級數的逐項求導公式來求期望. 當然同樣可用逐項積分方法來求和，這種手段在級

7、數求和或數學期望和方差的計算是十分奏效的.還有一點，我們在此說明一下，在本題中，由于的取值都是正數，所以只要正項級數收斂，則一定絕對收斂，即的和就為.而實際情況中，可能存在級數是條件收斂的，此時，的數學期望就不存在（雖然本身仍是收斂的），因此判斷離散型隨機變量的期望是否存在，要用關于級數絕對收斂的判斷方法.例 設是一隨機變量，其概率密度為求. (1995年考研題)【解】 于是 【解畢】【技巧】 在計算數學期望和方差時，應首先檢驗一下的奇偶性，這樣可利用對稱區(qū)間上奇偶函數的積分公式簡化求解，比如本題中，為偶函數，故同樣的計算也可直接簡化.例 已知連續(xù)型隨機變量的密度函數為 求與. (1987年考

8、研題)【思路】 一種求法是直接利用數學期望與方差的定義來求.另一種方法是利用正態(tài)分布的形式及其參數的含義.【解】 （方法1）直接法.由數學期望與方差的定義知 （方法2） 利用正態(tài)分布定義. 由于期望為，方差為的正態(tài)分布的概率密度為所以把變形為 易知，為的概率密度，因此有 【解畢】【技巧】 解決本題的關鍵是要善于識別常用分布的密度函數，不然的話，直接計算將會帶來較大的工作量.反過來，用正態(tài)分布的特性也可以來求積分等.(2)若干計算公式的應用主要包括隨機變量函數的數學期望公式，數學期望與方差的性質公式的應用.例 設表示10次獨立重復射擊中命中目標的次數，每次射中目標的概率為0.4，求. (1995

9、年考研題)【解】 由題意知于是由可推知【寓意】 本題考查了兩個內容，一是由題意歸結出隨機變量的分布；二是靈活應用方差計算公式，如果直接求解，那么 的計算是繁瑣的.例 設服從參數的指數分布，求.（1992年考研題）【解】 由題設知，的密度函數為且，又因為從而 【解畢】【寓意】 本題的目的是考查常見分布的分布密度（或分布律）以及它們的數字特征，同時也考查了隨機變量函數的數學期望的求法.例 設二維隨機變量在區(qū)域內服從均勻分布，求隨機變量的方差 【解】 由方差的性質得知又由于的邊緣密度為于是因此 ， 【解畢】【技巧】 盡管本題給出的是二維隨機變量，但在求的期望于方差時，可以從的邊緣密度函數出發(fā)，而不必

10、從與的聯(lián)合密度函數開始.在一般情形下，采用邊緣密度函數較為方便.例 設隨機變量和獨立，且服從均值為1，標準差為的正態(tài)分布，而服從標準正態(tài)分布，試求隨機變量的概率密度函數.（1989年考研題）【思路】 此題看上去好像與數字特征無多大聯(lián)系，但由于和相互獨立且都服從正態(tài)分布，所以作為的線性組合也服從正態(tài)分布.故只需求和，則的概率密度函數就唯一確定了.【解】 由題設知，.從而由期望和方差的性質得 又因是的線性函數，且是相互獨立的正態(tài)隨機變量，故也為正態(tài)隨機變量，又因正態(tài)分布完全由其期望和方差確定，故知，于是，的概率密度為 【解畢】【寓意】 本題主要考查二點內容，一是獨立正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布；

11、其二是正態(tài)分布完全由其期望和方差決定.例 假設隨機變量服從參數為的指數分布，隨機變量 （1） 求和的聯(lián)合概率分布；（2） 求.【解】 顯然，的分布函數為 （1）有四個可能取值：且 于是得到和的聯(lián)合分布律為 0 1 0 0 1 （3） 顯然，的分布律分別為 0 1 0 1P P 因此 故 【解畢】【技巧】 本題中若不要求求與的聯(lián)合分布律，也可直接求出，這是因為 而 因此 不僅如此，我們還能求其他函數的期望.例如求，此時，由于 故 例 設隨機變量服從二維正態(tài)分布，其密度函數為 求隨機變量的期望和方差.【思路】 利用隨機變量函數的期望的求法進行計算.【解】 由于，故令，則而故 【解畢】【技巧】 本題

12、也可先求出的密度函數，再來求的期望與方差，但由于求的密度本身就是一繁瑣的工作，因此我們借助隨機變量函數的期望公式來求解，再此公式中并不需要知道的分布，而只需直接計算一個二重積分即可.因此，對隨機變量函數的期望計算問題，除非它是一線性函數，或者為離散型隨機變量，一般我們往往不直接去求這個函數的分布，而直接按隨機變量函數的期望計算公式來求解.（4） 隨機變量的分解.例 一民航班車上共有20名旅客，自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以表示停車的次數，求（設每位旅客再各車站下車是等可能的）.【解】 引入隨機變量 易見 按題意，任一旅客在第i站不下車的概率是因此，

13、20位旅客都不在第i站下車的概率為，從而，在第i站有人下車的概率為，也就是說，的分布律為 0 1 P ， .于是 進而有也就是說,平均停8.784次.【技巧】 本題中不是直接去求的分布,然后再求的數學期望,而是將表示成數個隨機變量之和,然后,通過算出,這種處理方法具有一定的普遍意義,我們稱之為隨機變量的分解法.這類通過分解手法能將復雜的問題化為較簡單的問題,它是處理概率論問題中常采用的一種方法.這種分解法的關鍵是引入合適的,使.例 對目標進行射擊,每次擊發(fā)一顆子彈,直至擊中次為止,設各次射擊相互獨立,且每次射擊時擊中目標的概率為試求子彈的消耗量的數學期望和方差.【解】 設表示第i-1次擊中到第

14、i次擊中目標所消耗的子彈數，則顯然有.依題設可知，各個獨立同分布，都服從幾何分布，即 于是由本節(jié)例知 因此 另外，又由于 是相互獨立的，故 【解畢】例 設二維離散隨機變量的分布列為X Y -1 0 1 -1 0 0 求：，并問與是否獨立，為什么？【解】 與的邊緣分布列分別為 X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P P 從而 從而 又由于 所以 從而 因為所以與不獨立. 【解畢】【寓意】 由于0，即與不相關，但與不獨立，因此，此題說明了，不相關未必就獨立.例 設是兩隨機事件，隨機變量 試證明隨機變量和不相關的充分必要條件是與獨立. （2000年考研題）【思路】 先計算出，再看是否當且僅當【證

15、明】 記，則的分布律分別為 X -1 1 Y -1 1 P P 可見 現在求,由于只有兩個可能值和，故從而 因此，當且僅當，即與不相關當且僅當與相互獨立.【技巧】 本題是二維離散隨機變量協(xié)方差的綜合題，在這個問題中，不相關恰好與獨立是等價的.一般情形下，沒有這么好的性質.本題的關鍵是計算，我們采用先求的分布律，而后再求的方法，這樣的計算再離散型時是較為簡單的.當然，另一思路是求出的聯(lián)合分布律，再用聯(lián)合分布律直接計算和，這里X Y -1 1 -1 1 1那么，用隨機變量函數的期望公式，仍可算出和.例4.3.3 假設隨機變量和在圓域上服從聯(lián)合均勻分布.（1） 求和的相關系數.（2） 問和是否獨立？

16、 （1991年考研題）【思路】 求相關系數，應求出協(xié)方差；判斷隨機變量獨立性，需求出它們的聯(lián)合密度和邊緣密度.【解】 （1）由假設知，和大的聯(lián)合密度為根據聯(lián)合密度與邊緣密度的關系，有 注意到，均為偶函數，可得 從而，有于是 （2） 因為在上， 所以隨機變量和不獨立. 【解畢】 【寓意】 從該題可見，隨機變量的“獨立性”與“不相關”是兩個不同的概念，需要大家注意，但在二維正態(tài)隨機變量中，“獨立性”與“不相關”具有同一性.例 已知隨機變量與分別服從正態(tài)分布和，且與的相關系數，設求：（1）的數學期望和方差；（2）與的相關系數；（3） 問與是否相互獨立？為什么? （1994年考研題）【解】 （1）由數

17、學期望的運算性質有由有（2）因為所以 （3）因均為正態(tài)，故的線性組合也是正態(tài)隨機變量，由于二正態(tài)分布的獨立性與相關性是等價的，所以由知，與相互獨立. 【解畢】 【寓意】 本題考查的主要有兩點，一是關于協(xié)方差，有性質 另一點為：對于二正態(tài)變量與，與 相互獨立等價于綜例 某人用把鑰匙去開門，其中只有一把能打開門上的鎖，今逐個任取一把試開，求打開此門所需開門次數的均值及方差，假設（1） 打不開的鑰匙不放回；（2） 打不開的鑰匙仍放回.【思路】 本題沒有直接給出的分布律，因而必須先根據題意求出的分布律，再利用期望的定義進行計算.【解】 （1）打不開的鑰匙不放回的情況下，所需開門的次數的可能取值為，注意

18、到意味著從第1次到第次均未能打開門，第次才打開，故由古典概型計算知從而 又 故 (2)由于試開不成功，鑰匙仍放回，故的可能取值為其分布律為 即服從幾何分布，故由例知 【解畢】【技巧】 本題中用到了兩個常用的等式：而第二問是典型的幾何分布的問題，要求讀者熟悉幾何分布的實際背景.綜例 某射手有5發(fā)子彈，射擊一次的命中率為0.9，如果他擊中目標就停止射擊，否則一直射擊到用完5發(fā)子彈為止.求：（1） 所用子彈數的數字期望；（2） 子彈剩余數的數學期望.【思路】 只需求出的分布律，的期望就容易知道，而與之間顯然有關系：因而第2問就迎刃而解了.【解】 （1）顯然，的可能取值為1，2，3，4，5，且由試驗的

19、獨立性知，而 從而 （2）由題意知，.故 【技巧】 與幾何分布不同，本題是一有截止的幾何分布，也就是說，試驗直到擊中目標為止或第5次射擊為止，故的計算也可通過下列方式計算. 綜例 設隨機變量的概率密度為已知求：（1）常數（2）.【思路】 要確定三個常數需三個條件，題設中已有兩個條件，另一條件為而只需利用隨機變量函數的期望計算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性質知，有 又因為 而 解方程 得 （2） 【解畢】【寓意】 本題是考查一維連續(xù)型隨機變量的綜合題，要求大家掌握其中相關的定義和計算公式.綜例 袋中裝有只球，但其中白球數為隨機變量，只知道其數學期望為，試求從該袋中摸一球得到白球的概率.

20、【思路】 摸一球為白球是與袋中有多少個白球緊密相關的，雖然袋中的白球為隨機多個，但當已知袋中白球個數時，那么從袋中換一球為白球的概率是易知的，要建立這一條件概率與要求的問題的概率的橋梁，非全概率公式莫屬.【解】 記為袋中的白球數，則由題設知 由此，若令，利用全概率公式知 【解畢】【技巧】 本題主要是利用了全概率公式的思想來解決題目中的難點的.綜例 假設由自動線加工的某種零件的內徑服從正態(tài)分布內徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品,銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損， 已知銷售利潤（單位：元）與銷售零件的內徑由如下關系： 問平均內徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？ （199

21、4年考研題）【思路】 問題是求，使達到最大，故關鍵使求出的表達式.【解】 由于，故從而由題設條件知，平均利潤為其中為標準正態(tài)分布函數，設為標準正態(tài)密度函數，則有 令其等于0，得 由此得 由題意知當時，平均利潤最大. 【解畢】【技巧】 本題是隨機變量數學期望的應用題，是一的典型的題型，在求最大平均利潤時，應用了微積分中典型的求最大（?。┲档挠嬎惴椒?綜例 設某種商品每周的需求量服從區(qū)間上均勻分布的隨機變量，而經銷商店進貨數量為區(qū)間中的某一整數，商店每銷售一單位可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，則可從外部調劑供應，此時每一單位僅獲利300元，為使商品所

22、獲利潤的期望值不少于9280元，試確定最小進貨量. （1998年考研題）【解】 根據題設，隨機變量的概率分布密度為 設進貨數量為a,則利潤應為 利用隨機變量函數的期望公式知，期望利潤 依題意，要 即 于是 即 故要利潤期望值不少于9280元的最小進貨量為21單位. 【解畢】【技巧】 在利用數學期望求解應用問題時，關鍵在于建立起問題要求的量與某一已知分布的隨機變量之間的函數關系，如本題中與的關系.這樣就可利用已知分布的量來求未知分布的量的數學期望，從而最終確定所求問題的解.綜例 設是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知的分布律為 又設. （1） 求二維隨機變量的分布律；（2） 求隨機變量的

23、數學期望;（3） 求與的相關系數.（前二問是1996年考研題）【思路】 先利用的獨立性求出與的聯(lián)合分布，然后利用期望與相關系數的公式解.【解】 （1）顯然與與的可能取值均為1，2，3，且的取值不可能超過的取值.故：當時 當時 當時 于是與的聯(lián)合分布律與邊緣分布律為X Y 1 2 3 1 0 0 2 0 3 1（2） （3）由于 從而 . 又 故 于是 【解畢】綜例 假設二維隨機變量在矩形上服從均勻分布，記 求 （1）和的聯(lián)合分布； （2）和的相關系數【思路】 由于均為的函數，因此，在計算的聯(lián)合分布時，需利用二維隨機變量的概率計算公式：【解】 由題設知，的聯(lián)合密度函數為（1）有四個可能取值且從而

24、的聯(lián)合分布律及相應的邊緣分布律為 V U 0 1 0 0 1 1 （3） 由于只能取0，1兩個值，且其分布律為 0 1 故 又由上面的聯(lián)合分布律表知故的相關系數為 【解畢】【技巧】 在計算時，由于只取兩個值0，1，因此，這里直接求出的分布律，再來求是方便的.當然，我們也可以用上例的方法，直接利用二維隨機變量函數的期望來計算，此題的關鍵是要將的取值與的取值范圍聯(lián)系起來，從而可利用概率計算公式求出的聯(lián)合分布.綜例 設隨機變量與相互獨立，且都服從正態(tài)分布，試證明：【證明】 令，則與仍相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布,由此，知從而因此，只須證明即可.我們用兩種方法來證明.（方法1） 由于 所以 從而 （

25、方法2）利用 所以 由于,相互獨立，且均服從，故 .從而故 從而 【證畢】【技巧】 本題是正態(tài)變量與的函數的期望問題，在證明過程中，采用了兩種技巧：（1） 將正態(tài)變量與“標準化”，從而將問題轉化成計算的問題.這里，與相互獨立且服從標準正態(tài)分布.（2） 方法1是二維隨機向量的函數的期望，計算時要用到二重積分，由于二重積分中的被積函數呈現出的形狀，而區(qū)域又是全平面（或半平面等），采用極坐標更為方便.方法2是利用的解析表達式 將問題轉化為求的函數的期望，可用一重積分簡單地計算出,這種方法比方法1要簡單得多.同樣，利用 也可以證明綜例 一商店經銷某種商品，每周進貨的數量與顧客對該種商品的需求量是相互獨

26、立的隨機變量，且均服從區(qū)間上的均勻分布，商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過進貨量，商店可從其他商店調劑供應，這時每單位商品獲利潤為500元，試計算此商店經銷該種商品每周利潤的期望值.【解】 設表示商店每周所得的利潤，則由題意 由題設知，的聯(lián)合密度函數為因此，由是的函數可知 【技巧】 本題為一綜合應用題，問題的關鍵是找出利潤與進貨量和需求量之間的函數關系，再利用的獨立性可計算出的期望，值得注意的是，由于是與的分區(qū)域函數，故在計算時，對不同的區(qū)域應代入相應的函數值，否則計算過程會出錯.綜例 數學系某班共有名新生，班長從系里領來他們所有的學生證，隨機地發(fā)給每一同學，試求恰好拿到自己的學生證的人數的數學期望與方差.【思路】 利用隨機變量的分解法來求解.【解】 設